FR – Distances, liens, fratries, variante universelle F_m

Distances racine↔lien, fratries, et famille universelle F_m

Cadre. On travaille sur les impairs et l’on recentre toute visite d’un membre de fratrie par l’opération (x-1)/4 autant que possible pour revenir à la racine minimale r (i.e. $latex r\equiv 1,3,7\ (\bmod\ 8)$) avant de passer au lien Y. On appelle distance le saut structurel entre racine et lien :

$latex d = \lvert Y-r\rvert$   (toujours pair). On note $latex d^{+}$ quand $latex r<Y$ et $latex d^{-}$ quand $latex r>Y$.

Fratrie issue d’une racine minimale $latex r$ (ligne du tableau, opérateur de colonne x ↦ 4x+1) :

$latex L_{r,n}=r\,4^{n}+\frac{4^{n}-1}{3}=\frac{(3r+1)\,4^{n}-1}{3}\quad(n\ge 0).$

1) Cas classique 3x+1 (m=1, C=1)

Catalogue par distance. Pour chaque $latex d\in\{2,4,6,\dots\}$, il y a exactement deux liens possibles, qui couvrent tous les impairs non multiples de 3 (structurellement 50/50) :

• $latex d^{+}$ (saut vers le haut, $latex v_2(3r+1)=1$) : $latex r=2d-1,\quad Y=3d-1$  ($latex Y\equiv 5\ (\bmod\ 6)$).
• $latex d^{-}$ (saut vers le bas, $latex v_2(3r+1)=2$) : $latex r=4d+1,\quad Y=3d+1$  ($latex Y\equiv 1\ (\bmod\ 6)$).

Inversion depuis un lien. Chaque lien impair $latex Y\not\equiv 0\ (\bmod\ 3)$ provient d’un unique couple $latex (d,\pm)$ :

• Si $latex Y\equiv 5\ (\bmod\ 6)$ : $latex d=\frac{Y+1}{3}$ (pair), $latex r=\frac{2Y-1}{3}$ → branche $latex d^{+}$.
• Si $latex Y\equiv 1\ (\bmod\ 6)$ : $latex d=\frac{Y-1}{3}$ (pair), $latex r=\frac{4Y-1}{3}$ → branche $latex d^{-}$.

Fratries paramétrées par d.

• Depuis $latex d^{+}$ ($latex r=2d-1,\ Y=3d-1$) : $latex L_{+,d}(n)=\frac{2(3d-1)\,4^{n}-1}{3}$.
• Depuis $latex d^{-}$ ($latex r=4d+1,\ Y=3d+1$) : $latex L_{-,d}(n)=\frac{(3d+1)\,4^{n+1}-1}{3}$.

d	d+ : r → Y	d− : r → Y
2	3 → 5	9 → 7
4	7 → 11	17 → 13
6	11 → 17	25 → 19
8	15 → 23	33 → 25

2) Famille universelle F_m (constante $latex C=2^{m}-1$)

On généralise via $latex T_m(x)=\frac{3x+C}{2^{\,v_2(3x+C)}}$ avec $latex C=2^{m}-1$ (impair). Le catalogue par distance $latex d$ (toujours paire) devient :

• $latex d^{+}$ ($latex v_2(3r+C)=1$) : $latex r=2d-C,\quad Y=3d-C$.
• $latex d^{-}$ ($latex v_2(3r+C)=2$) : $latex r=4d+C,\quad Y=3d+C$.

Inversion depuis un lien. Tout lien impair se met de façon unique sous l’une des deux formes $latex Y=3d-C$ ou $latex Y=3d+C$ avec $latex d$ pair. Poser $latex d_{+}=\frac{Y+C}{3}$ et $latex d_{-}=\frac{Y-C}{3}$ :

• Si $latex d_{+}$ est pair → $latex Y=3d_{+}-C$ et $latex (r,Y)=(2d_{+}-C,\ 3d_{+}-C)$ (branche $latex d^{+}$).
• SINON $latex d_{-}$ est pair → $latex (r,Y)=(4d_{-}+C,\ 3d_{-}+C)$ (branche $latex d^{-}$).

Fratrie pour F_m. L’opérateur de colonne reste affine (car $latex 3(4x+C)+C=4(3x+C)$) et l’on a :

$latex L^{(m)}_{r,n}=r\,4^{n}+\frac{C\,(4^{n}-1)}{3}=\frac{(3r+C)\,4^{n}-C}{3}\quad(n\ge 0).$

Remarque mod 3. Si $latex m$ est impair ($latex C\equiv 1\ (\bmod\ 3)$), alors $latex Y\equiv -1\ (\bmod\ 3)$ caractérise la branche $latex d^{+}$ et $latex Y\equiv +1\ (\bmod\ 3)$ la branche $latex d^{-}$. Si $latex m$ est pair ($latex C\equiv 0\ (\bmod\ 3)$), on a $latex Y\equiv 0\ (\bmod\ 3)$ dans les deux cas : on utilise alors directement l’algorithme $latex d_{\pm}=\frac{Y\pm C}{3}$ et (dans tes posts) le périmètre S adapté.

3) Structure 50/50 vs fréquences dynamiques

Structurellement (catalogue par $latex d$) : exactement moitié des liens sont de la forme $latex 3d-C$ (branche $latex d^{+}$) et moitié de la forme $latex 3d+C$ (branche $latex d^{-}$).

Dynamiquement (le long d’une trajectoire), pour le cas classique, les racines minimales $latex r\equiv 3,7\ (\bmod\ 8)$ (branche $latex +$) se présentent typiquement environ deux fois plus que $latex r\equiv 1\ (\bmod\ 8)$ (branche $latex -$) : on observe souvent ~2/3 de pas “+” pour ~1/3 de pas “−”. Cela n’affecte pas le 50/50 structurel.

4) Translation inter-fratries $latex \Delta=r’-r$

Après le saut $latex r\to Y$, on recentre $latex Y$ par (x-1)/4 autant que possible jusqu’à la racine minimale $latex r’$. Posons $latex q=\left\lfloor \frac{v_2(3Y+C)}{2}\right\rfloor$, alors

$latex r’=\frac{\,3Y+C\,-\,C\,4^{q}\,}{\,3\cdot 4^{q}\,}$,   d’où $latex \Delta=r’-r$.

• Branche $latex d^{+}$ ($latex r=2d-C,\ Y=3d-C$) : $latex \ \Delta=\frac{\,9d-2C\,-\,C\,4^{q}\,}{\,3\cdot 4^{q}\,}-(2d-C)$, avec $latex q=\left\lfloor \frac{v_2(9d-2C)}{2}\right\rfloor$.
• Branche $latex d^{-}$ ($latex r=4d+C,\ Y=3d+C$) : $latex \ \Delta=\frac{\,9d+4C\,-\,C\,4^{q}\,}{\,3\cdot 4^{q}\,}-(4d+C)$, avec $latex q=\left\lfloor \frac{v_2(9d+4C)}{2}\right\rfloor$.

Cas générique $latex q=0$ (pas de recentrage supplémentaire après le saut) : $latex \Delta=+d$ pour la branche $latex d^{+}$, et $latex \Delta=-d$ pour la branche $latex d^{-}$. Si $latex q\ge 1$, les recentrages (x-1)/4 rabaisseront $latex r’$ et feront dévier $latex \Delta$ de $latex \pm d$.

5) Unité universelle B | u (rappel concis, m=1)

Tout impair $latex x$ s’écrit $latex x=8B+u$ avec $latex u\in\{1,3,5,7\}$. Pour $latex d=2k$ :

• Branche $latex d^{+}$ ($latex r=4k-1,\ Y=6k-1$) : $latex u_r=3$ si $latex k$ impair, $latex u_r=7$ si $latex k$ pair; et $latex u_Y=7,5,3,1$ pour $latex d\equiv 0,2,4,6\ (\bmod\ 8)$.
• Branche $latex d^{-}$ ($latex r=8k+1,\ Y=6k+1$) : $latex u_r=1$; et $latex u_Y=1,7,5,3$ pour $latex d\equiv 0,2,4,6\ (\bmod\ 8)$.

Dans une fratrie $latex L_{r,n}$ : l’unité vaut $latex u_r$ en $latex n=0$, puis 1 en $latex n=1$, puis 5 pour tout $latex n\ge 2$.

6) Résumé express

• Distance paire $latex d$ → deux liens et seulement deux : $latex d^{+}:(r,Y)=(2d-C,\ 3d-C)$, $latex d^{-}:(r,Y)=(4d+C,\ 3d+C)$.
• Inversion unique depuis $latex Y$ par $latex d_{\pm}=\frac{Y\pm C}{3}$ (exactement l’un est pair).
• Fratrie : $latex L^{(m)}_{r,n}=r\,4^{n}+\frac{C(4^{n}-1)}{3}=\frac{(3r+C)\,4^{n}-C}{3}$.
• Structure vs dynamique : 50/50 entre $latex 3d\pm C$ au niveau catalogue; ≈2/3 “+” et ≈1/3 “−” le long d’une trajectoire classique.
• Translation inter-fratries : génériquement $latex \Delta=\pm d$ (si $latex v_2(3Y+C)=1$), sinon déviation gouvernée par $latex q=\left\lfloor \frac{v_2(3Y+C)}{2}\right\rfloor$.