FR – Distances, liens, fratries, variante universelle F_m

Distances racine↔lien, fratries, et famille universelle F_m

Cadre. On travaille sur les impairs et l’on recentre toute visite d’un membre de fratrie par l’opération (x-1)/4 autant que possible pour revenir à la racine minimale r (i.e. \(r\equiv 1,3,7\ (\bmod\ 8)\)) avant de passer au lien Y. On appelle distance le saut structurel entre racine et lien :

\(d = \lvert Y-r\rvert\)   (toujours pair). On note \(d^{+}\) quand \(r<Y\) et \(d^{-}\) quand \(r>Y\).

Fratrie issue d’une racine minimale \(r\) (ligne du tableau, opérateur de colonne x ↦ 4x+1) :

\(L_{r,n}=r\,4^{n}+\frac{4^{n}-1}{3}=\frac{(3r+1)\,4^{n}-1}{3}\quad(n\ge 0).\)

1) Cas classique 3x+1 (m=1, C=1)

Catalogue par distance. Pour chaque \(d\in\{2,4,6,\dots\}\), il y a exactement deux liens possibles, qui couvrent tous les impairs non multiples de 3 (structurellement 50/50) :

• \(d^{+}\) (saut vers le haut, \(v_2(3r+1)=1\)) : \(r=2d-1,\quad Y=3d-1\)  (\(Y\equiv 5\ (\bmod\ 6)\)).
• \(d^{-}\) (saut vers le bas, \(v_2(3r+1)=2\)) : \(r=4d+1,\quad Y=3d+1\)  (\(Y\equiv 1\ (\bmod\ 6)\)).

Inversion depuis un lien. Chaque lien impair \(Y\not\equiv 0\ (\bmod\ 3)\) provient d’un unique couple \((d,\pm)\) :

• Si \(Y\equiv 5\ (\bmod\ 6)\) : \(d=\frac{Y+1}{3}\) (pair), \(r=\frac{2Y-1}{3}\) → branche \(d^{+}\).
• Si \(Y\equiv 1\ (\bmod\ 6)\) : \(d=\frac{Y-1}{3}\) (pair), \(r=\frac{4Y-1}{3}\) → branche \(d^{-}\).

Fratries paramétrées par d.

• Depuis \(d^{+}\) (\(r=2d-1,\ Y=3d-1\)) : \(L_{+,d}(n)=\frac{2(3d-1)\,4^{n}-1}{3}\).
• Depuis \(d^{-}\) (\(r=4d+1,\ Y=3d+1\)) : \(L_{-,d}(n)=\frac{(3d+1)\,4^{n+1}-1}{3}\).

d	d+ : r → Y	d− : r → Y
2	3 → 5	9 → 7
4	7 → 11	17 → 13
6	11 → 17	25 → 19
8	15 → 23	33 → 25

2) Famille universelle F_m (constante \(C=2^{m}-1\))

On généralise via \(T_m(x)=\frac{3x+C}{2^{\,v_2(3x+C)}}\) avec \(C=2^{m}-1\) (impair). Le catalogue par distance \(d\) (toujours paire) devient :

• \(d^{+}\) (\(v_2(3r+C)=1\)) : \(r=2d-C,\quad Y=3d-C\).
• \(d^{-}\) (\(v_2(3r+C)=2\)) : \(r=4d+C,\quad Y=3d+C\).

Inversion depuis un lien. Tout lien impair se met de façon unique sous l’une des deux formes \(Y=3d-C\) ou \(Y=3d+C\) avec \(d\) pair. Poser \(d_{+}=\frac{Y+C}{3}\) et \(d_{-}=\frac{Y-C}{3}\) :

• Si \(d_{+}\) est pair → \(Y=3d_{+}-C\) et \((r,Y)=(2d_{+}-C,\ 3d_{+}-C)\) (branche \(d^{+}\)).
• SINON \(d_{-}\) est pair → \((r,Y)=(4d_{-}+C,\ 3d_{-}+C)\) (branche \(d^{-}\)).

Fratrie pour F_m. L’opérateur de colonne reste affine (car \(3(4x+C)+C=4(3x+C)\)) et l’on a :

\(L^{(m)}_{r,n}=r\,4^{n}+\frac{C\,(4^{n}-1)}{3}=\frac{(3r+C)\,4^{n}-C}{3}\quad(n\ge 0).\)

Remarque mod 3. Si \(m\) est impair (\(C\equiv 1\ (\bmod\ 3)\)), alors \(Y\equiv -1\ (\bmod\ 3)\) caractérise la branche \(d^{+}\) et \(Y\equiv +1\ (\bmod\ 3)\) la branche \(d^{-}\). Si \(m\) est pair (\(C\equiv 0\ (\bmod\ 3)\)), on a \(Y\equiv 0\ (\bmod\ 3)\) dans les deux cas : on utilise alors directement l’algorithme \(d_{\pm}=\frac{Y\pm C}{3}\) et (dans tes posts) le périmètre S adapté.

3) Structure 50/50 vs fréquences dynamiques

Structurellement (catalogue par \(d\)) : exactement moitié des liens sont de la forme \(3d-C\) (branche \(d^{+}\)) et moitié de la forme \(3d+C\) (branche \(d^{-}\)).

Dynamiquement (le long d’une trajectoire), pour le cas classique, les racines minimales \(r\equiv 3,7\ (\bmod\ 8)\) (branche \(+\)) se présentent typiquement environ deux fois plus que \(r\equiv 1\ (\bmod\ 8)\) (branche \(-\)) : on observe souvent ~2/3 de pas “+” pour ~1/3 de pas “−”. Cela n’affecte pas le 50/50 structurel.

4) Translation inter-fratries \(\Delta=r’-r\)

Après le saut \(r\to Y\), on recentre \(Y\) par (x-1)/4 autant que possible jusqu’à la racine minimale \(r’\). Posons \(q=\left\lfloor \frac{v_2(3Y+C)}{2}\right\rfloor\), alors

\(r’=\frac{\,3Y+C\,-\,C\,4^{q}\,}{\,3\cdot 4^{q}\,}\),   d’où \(\Delta=r’-r\).

• Branche \(d^{+}\) (\(r=2d-C,\ Y=3d-C\)) : \(\ \Delta=\frac{\,9d-2C\,-\,C\,4^{q}\,}{\,3\cdot 4^{q}\,}-(2d-C)\), avec \(q=\left\lfloor \frac{v_2(9d-2C)}{2}\right\rfloor\).
• Branche \(d^{-}\) (\(r=4d+C,\ Y=3d+C\)) : \(\ \Delta=\frac{\,9d+4C\,-\,C\,4^{q}\,}{\,3\cdot 4^{q}\,}-(4d+C)\), avec \(q=\left\lfloor \frac{v_2(9d+4C)}{2}\right\rfloor\).

Cas générique \(q=0\) (pas de recentrage supplémentaire après le saut) : \(\Delta=+d\) pour la branche \(d^{+}\), et \(\Delta=-d\) pour la branche \(d^{-}\). Si \(q\ge 1\), les recentrages (x-1)/4 rabaisseront \(r’\) et feront dévier \(\Delta\) de \(\pm d\).

5) Unité universelle B | u (rappel concis, m=1)

Tout impair \(x\) s’écrit \(x=8B+u\) avec \(u\in\{1,3,5,7\}\). Pour \(d=2k\) :

• Branche \(d^{+}\) (\(r=4k-1,\ Y=6k-1\)) : \(u_r=3\) si \(k\) impair, \(u_r=7\) si \(k\) pair; et \(u_Y=7,5,3,1\) pour \(d\equiv 0,2,4,6\ (\bmod\ 8)\).
• Branche \(d^{-}\) (\(r=8k+1,\ Y=6k+1\)) : \(u_r=1\); et \(u_Y=1,7,5,3\) pour \(d\equiv 0,2,4,6\ (\bmod\ 8)\).

Dans une fratrie \(L_{r,n}\) : l’unité vaut \(u_r\) en \(n=0\), puis 1 en \(n=1\), puis 5 pour tout \(n\ge 2\).

6) Résumé express

• Distance paire \(d\) → deux liens et seulement deux : \(d^{+}:(r,Y)=(2d-C,\ 3d-C)\), \(d^{-}:(r,Y)=(4d+C,\ 3d+C)\).
• Inversion unique depuis \(Y\) par \(d_{\pm}=\frac{Y\pm C}{3}\) (exactement l’un est pair).
• Fratrie : \(L^{(m)}_{r,n}=r\,4^{n}+\frac{C(4^{n}-1)}{3}=\frac{(3r+C)\,4^{n}-C}{3}\).
• Structure vs dynamique : 50/50 entre \(3d\pm C\) au niveau catalogue; ≈2/3 “+” et ≈1/3 “−” le long d’une trajectoire classique.
• Translation inter-fratries : génériquement \(\Delta=\pm d\) (si \(v_2(3Y+C)=1\)), sinon déviation gouvernée par \(q=\left\lfloor \frac{v_2(3Y+C)}{2}\right\rfloor\).