{"id":56428,"date":"2025-10-02T14:30:18","date_gmt":"2025-10-02T13:30:18","guid":{"rendered":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/?p=56428"},"modified":"2025-10-04T13:26:58","modified_gmt":"2025-10-04T12:26:58","slug":"fr-mcc","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/fr-mcc\/","title":{"rendered":"FR > decouverte variante (cas simple)"},"content":{"rendered":"

La formule de MCC est \\( L_{r,n} = r \\cdot 4^n + \\frac{4^n – 1}{3} \\)<\/p>\n\n\n[mathjax]\n

Voici une formule inline : \\\\( E = mc^2 \\\\)<\/p>\n

Et une formule en bloc : \\\n\n\\[ \\int_0^1 x^2 \\, dx \\\\]\n\n<\/p>\n\n\n\n

\n MCC \u2014 recentrage sur le 1er 0 mod 3 (MCC2), racines en 1re colonne, tri par MCC2 croissant<\/u>\n<\/h3>\n\n
\n

R\u00e8gle MCC.<\/strong> Pour une fratrie \\\\( r \\\\) (racine minimale \\\\( r \\equiv 1,3,7 \\pmod{8} \\\\)), soit \\\\( n_\\star \\\\) le plus petit rang avec \\\\( L_{r,n_\\star} \\equiv 0 \\pmod{3} \\\\), o\u00f9 \\\\( L_{r,n} = r \\cdot 4^n + \\frac{4^n – 1}{3} \\\\). On place \\\\( L_{r,n_\\star} \\\\) en MCC2<\/strong>, et les colonnes adjacentes donnent \\\\( L_{r,n_\\star – 1} \\\\) (MCC1) et \\\\( L_{r,n_\\star – 2} \\\\) (MCC0) quand elles existent. On n\u2019affiche que des lignes de racines<\/u> (1,3,7 mod 8) en 1re colonne. Les lignes sont tri\u00e9es par la valeur de MCC2 croissante<\/u>.\n <\/p>\n<\/div>\n\n\n\n\n

MCC \u2014 Classique (impairs) \u2014 tri par MCC2<\/h4>\n\n\n\n
\n \n \n \n
fratrie $latex r$<\/th>MCC0<\/th>MCC1<\/th>MCC2 (1er 0 mod 3)<\/th>MCC3<\/th>MCC4<\/th>MCC5<\/th><\/tr>\n <\/thead>\n
$latex 3$<\/td><\/td><\/td>3<\/strong><\/td>13<\/td>53<\/td>213<\/td><\/tr>\n
$latex 9$<\/td><\/td><\/td>9<\/strong><\/td>37<\/td>149<\/td>597<\/td><\/tr>\n
$latex 15$<\/td><\/td><\/td>15<\/strong><\/td>61<\/td>245<\/td>981<\/td><\/tr>\n\n \n
$latex 1$<\/td>1<\/strong><\/td>5<\/td>21<\/td>85<\/td>341<\/td>1365<\/td><\/tr>\n\n \n
$latex 27$<\/td><\/td><\/td>27<\/strong><\/td>109<\/td>437<\/td>1749<\/td><\/tr>\n \n
$latex 33$<\/td><\/td><\/td>33<\/strong><\/td>133<\/td>533<\/td>2133<\/td><\/tr>\n
$latex 39$<\/td><\/td><\/td>39<\/strong><\/td>157<\/td>629<\/td>2517<\/td><\/tr>\n \n\n \n
$latex 11$<\/td><\/td>11<\/strong><\/td>45<\/td>181<\/td>725<\/td>2901<\/td><\/tr>\n
$latex 17$<\/td><\/td>17<\/strong><\/td>69<\/td>277<\/td>1109<\/td>4437<\/td><\/tr>\n\n \n
$latex 7$<\/td>7<\/strong><\/td>29<\/td>117<\/td>469<\/td>1877<\/td>7509<\/td><\/tr>\n <\/tbody>\n<\/table><\/figure>\n\n\n\n\n

MCC \u2014 Variante W (pairs) \u2014 tri par MCC2 (valeurs \u00d72)<\/h4>\n\n\n\n
\n \n \n
fratrie $latex 2r$<\/th>MCC0<\/th>MCC1<\/th>MCC2<\/th>MCC3<\/th>MCC4<\/th>MCC5<\/th><\/tr>\n <\/thead>\n
$latex 6$<\/td><\/td><\/td>6<\/strong><\/td>26<\/td>106<\/td>426<\/td><\/tr>\n
$latex 18$<\/td><\/td><\/td>18<\/strong><\/td>74<\/td>298<\/td>1194<\/td><\/tr>\n
$latex 30$<\/td><\/td><\/td>30<\/strong><\/td>122<\/td>490<\/td>1962<\/td><\/tr>\n\n
$latex 2$<\/td>2<\/strong><\/td>10<\/td>42<\/td>170<\/td>682<\/td>2730<\/td><\/tr>\n\n
$latex 54$<\/td><\/td><\/td>54<\/strong><\/td>218<\/td>874<\/td>3498<\/td><\/tr>\n \n
$latex 66$<\/td><\/td><\/td>66<\/strong><\/td>266<\/td>1066<\/td>4266<\/td><\/tr>\n
$latex 78$<\/td><\/td><\/td>78<\/strong><\/td>314<\/td>1258<\/td>5034<\/td><\/tr>\n \n\n
$latex 22$<\/td><\/td>22<\/strong><\/td>90<\/td>362<\/td>1450<\/td>5802<\/td><\/tr>\n
$latex 34$<\/td><\/td>34<\/strong><\/td>138<\/td>554<\/td>2218<\/td>8874<\/td><\/tr>\n
$latex 14$<\/td>14<\/strong><\/td>58<\/td>234<\/td>938<\/td>3754<\/td>15018<\/td><\/tr>\n <\/tbody>\n<\/table><\/figure>\n\n\n\n\n\n

Diagonales MCC \u2014 formules r\u00e9vis\u00e9es (avec tri par MCC2)<\/h4>\n\n\n\n
    \n
  • Indexation par la colonne MCC.<\/strong> Pour une ligne $latex r$ donn\u00e9e, posons $latex n_\\star(r)$ son 1er z\u00e9ro mod 3. En notant $latex c\\in\\{0,1,2,\\dots\\}$ l\u2019indice de colonne MCC (MCC0\/MCC1\/MCC2\/MCC3\u2026 = 0\/1\/2\/3\u2026), on a la formule locale<\/em> :\n
    $latex \\displaystyle \\mathrm{MCC}[r,c]\\;=\\;L_{r,\\;n_\\star(r)+c-2}\\,.$<\/div>\n (La cellule existe ssi $latex n_\\star(r)+c-2\\ge0$.)<\/li>\n\n
  • Diagonale NE sur une ligne<\/em>.<\/strong> Passer de $latex c$ \u00e0 $latex c{+}1$ :\n
    $latex \\mathrm{MCC}[r,c{+}1]=4\\,\\mathrm{MCC}[r,c]+1$.<\/div>\n Valuation :<\/em> $latex \\nu_2\\!\\bigl(3\\,\\mathrm{MCC}[r,c{+}1]+1\\bigr)=\\nu_2\\!\\bigl(3\\,\\mathrm{MCC}[r,c]+1\\bigr)+2$ (et c\u00f4t\u00e9 W : $latex \\nu_2(3x{+}2)-1$ subit le m\u00eame $latex +2$).<\/li>\n\n
  • P\u00e9riodicit\u00e9 $latex \\bmod 3$ (ancr\u00e9e en MCC2).<\/strong> Comme $latex \\mathrm{MCC}[r,2]\\equiv0\\ (\\bmod 3)$ et $latex \\mathrm{MCC}[r,c{+}1]\\equiv\\mathrm{MCC}[r,c]+1\\ (\\bmod 3)$, on a :\n
    $latex \\mathrm{MCC}[r,c]\\equiv0\\ (\\bmod 3)$ ssi $latex c\\equiv2\\ (\\bmod 3)$<\/u> (z\u00e9ros tous les 3 pas).<\/div><\/li>\n\n
  • Barri\u00e8re $latex \\bmod 64$ (classique).<\/strong> Pour $latex c\\ge5$ (i.e. $latex c{-}2\\ge3$), $latex 4^{\\,c-2}\\equiv0\\ (\\bmod 64)$ et\n
    $latex \\displaystyle \\mathrm{MCC}[r,c]\\equiv\\frac{4^{\\,c-2}-1}{3}\\equiv\\frac{-1}{3}\\equiv21\\pmod{64}$,<\/div>\n car $latex 3^{-1}\\equiv43\\ (\\bmod 64)$ et $latex -43\\equiv21$.<\/li>\n\n
  • Barri\u00e8re W $latex \\bmod 128$.<\/strong> $latex \\mathrm{MCC}_W[r,c]=2\\,\\mathrm{MCC}[r,c]$, donc pour $latex c\\ge5$ :\n
    $latex \\mathrm{MCC}_W[r,c]\\equiv 42\\pmod{128}$.<\/div><\/li>\n\n
  • Effet du tri par MCC2 (propri\u00e9t\u00e9 de monotonie verticale).<\/strong> Comme $latex \\mathrm{MCC}[r,c]=4^{\\,c-2}\\,\\mathrm{MCC}[r,2]+\\tfrac{4^{\\,c-2}-1}{3}$ est croissante en $latex \\mathrm{MCC}[r,2]$, trier les lignes par MCC2 rend chaque colonne<\/em> (c fix\u00e9e) croissante de haut en bas. Les formules NE\/SE ci-dessus restent identiques<\/em> (elles sont locales \u00e0 la ligne), mais la lecture verticale est maintenant ordonn\u00e9e.<\/li>\n\n
  • SE (inverse local).<\/strong> Quand d\u00e9fini : $latex \\mathrm{MCC}[r,c{-}1]=\\dfrac{\\mathrm{MCC}[r,c]-1}{4}$ (et c\u00f4t\u00e9 W : idem avec les valeurs doubl\u00e9es).<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n

    Exemples guid\u00e9s \u2014 calcul des diagonales en MCC<\/h3>\n\n\n\n

    R\u00e8gle locale (rappel).<\/strong> Pour une fratrie racine $latex r\\equiv1,3,7\\ (\\mathrm{mod}\\ 8)$, note $latex n_\\star(r)$ le plus petit rang tel que $latex L_{r,n_\\star}\\equiv0\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)$ avec $latex L_{r,n}=r4^n+\\frac{4^n-1}{3}$. En MCC : \n$latex \\mathrm{MCC}[r,2]=L_{r,n_\\star}$<\/span>, et pour toute colonne $latex c\\ge0$ :\n<\/p>\n\n\n\n

    $latex \\displaystyle \\mathrm{MCC}[r,c]=L_{r,\\;n_\\star(r)+c-2}$    (la cellule existe ssi $latex n_\\star+c-2\\ge0$).<\/p>\n\n\n\n

      \n
    • Pas NE<\/strong> (une colonne vers la droite) : $latex \\mathrm{MCC}[r,c{+}1]=4\\,\\mathrm{MCC}[r,c]+1$.<\/li>\n
    • Pas SE<\/strong> (inverse, une colonne vers la gauche quand d\u00e9fini) : $latex \\mathrm{MCC}[r,c{-}1]=\\dfrac{\\mathrm{MCC}[r,c]-1}{4}$.<\/li>\n
    • Valuation<\/strong> : $latex k_c=\\nu_2\\!\\bigl(3\\,\\mathrm{MCC}[r,c]+1\\bigr)$ (et c\u00f4t\u00e9 variante W : $latex k’_c=\\nu_2(3\\,\\mathrm{MCC}_W[r,c]+2)-1$). \u00c0 chaque pas NE, $latex k$ gagne syst\u00e9matiquement +2<\/strong>.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
      \n\n\n\n

      Exemple 1 \u2014 racine $latex r=27$ (cas $latex r\\equiv0\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)$, donc $latex n_\\star=0$)<\/h4>\n\n\n\n

      Point d\u2019ancrage.<\/strong> $latex \\mathrm{MCC}[27,2]=L_{27,0}=27$ (MCC0\/MCC1 vides).<\/p>\n\n\n\n

        \n
      • NE vers MCC3<\/em> : $latex 4\\cdot 27+1=109$.<\/li>\n
      • NE vers MCC4<\/em> : $latex 4\\cdot 109+1=437$.<\/li>\n
      • Valuations<\/em> : $latex \\nu_2(3\\cdot27+1)=\\nu_2(82)=1$, puis $latex \\nu_2(3\\cdot109+1)=\\nu_2(328)=3$, puis $latex \\nu_2(3\\cdot437+1)=\\nu_2(1312)=5$ : on gagne bien +2 \u00e0 chaque pas.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n

        Formule ferm\u00e9e (depuis MCC2).<\/strong> Pour $latex c\\ge2$, $latex \\mathrm{MCC}[27,c]=4^{c-2}\\cdot 27+\\dfrac{4^{c-2}-1}{3}$. Par ex. pour $latex c=5$ : $latex 4^3\\cdot27+\\frac{64-1}{3}=64\\cdot27+21=1749$.<\/p>\n\n\n\n

        \n\n\n\n

        Exemple 2 \u2014 racine $latex r=11$ (cas $latex r\\equiv2\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)$, donc $latex n_\\star=1$)<\/h4>\n\n\n\n

        Points d\u2019ancrage.<\/strong> $latex \\mathrm{MCC}[11,1]=L_{11,0}=11$, $latex \\mathrm{MCC}[11,2]=L_{11,1}=4\\cdot11+1=45$.<\/p>\n\n\n\n

          \n
        • NE (MCC2 \u2192 MCC3)<\/em> : $latex 4\\cdot45+1=181$.<\/li>\n
        • NE (MCC3 \u2192 MCC4)<\/em> : $latex 4\\cdot181+1=725$.<\/li>\n
        • Valuations<\/em> : $latex \\nu_2(3\\cdot11+1)=\\nu_2(34)=1$, puis $latex \\nu_2(3\\cdot45+1)=\\nu_2(136)=3$, puis $latex \\nu_2(3\\cdot181+1)=\\nu_2(544)=5$.<\/li>\n
        • SE (inverse)<\/em> : on revient de MCC2 \u00e0 MCC1 par $latex (45-1)\/4=11$.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
          \n\n\n\n

          Exemple 3 \u2014 racine $latex r=7$ (cas $latex r\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)$, donc $latex n_\\star=2$)<\/h4>\n\n\n\n

          Points d\u2019ancrage.<\/strong> $latex \\mathrm{MCC}[7,2]=L_{7,2}=117$. Comme $latex n_\\star=2$, les colonnes de gauche existent : $latex \\mathrm{MCC}[7,1]=L_{7,1}=29$, $latex \\mathrm{MCC}[7,0]=L_{7,0}=7$.<\/p>\n\n\n\n

            \n
          • NE (MCC2 \u2192 MCC3)<\/em> : $latex 4\\cdot117+1=469$.<\/li>\n
          • NE (MCC3 \u2192 MCC4)<\/em> : $latex 4\\cdot469+1=1877$.<\/li>\n
          • Valuations<\/em> : $latex \\nu_2(3\\cdot117+1)=\\nu_2(352)=5$, puis $latex \\nu_2(3\\cdot469+1)=\\nu_2(1408)=7$.<\/li>\n
          • SE (inverse)<\/em> : $latex \\mathrm{MCC}[7,1]=(117-1)\/4=29$, puis $latex \\mathrm{MCC}[7,0]=(29-1)\/4=7$.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
            \n\n\n\n

            Exemple 4 \u2014 calcul direct par la formule ferm\u00e9e (depuis MCC2)<\/h4>\n\n\n\n

            Pour toute ligne, si l\u2019on conna\u00eet $latex \\mathrm{MCC}[r,2]=M_2(r)$, alors pour $latex c\\ge2$ :<\/p>\n\n\n\n

            $latex \\displaystyle \\mathrm{MCC}[r,c]=4^{\\,c-2}\\,M_2(r)\\;+\\;\\frac{4^{\\,c-2}-1}{3}\\,.$<\/p>\n\n\n\n

              \n
            • Ex.<\/em> $latex r=1$ : $latex \\mathrm{MCC}[1,2]=21$. Pour $latex c=5$ : $latex 4^3\\cdot21+\\frac{64-1}{3}=64\\cdot21+21=1344+21=1365$ (c\u2019est bien MCC5 de la ligne $latex r=1$).<\/li>\n
            • Ex.<\/em> $latex r=7$ : $latex \\mathrm{MCC}[7,2]=117$. Pour $latex c=5$ : $latex 4^3\\cdot117+\\frac{64-1}{3}=64\\cdot117+21=7488+21=7509$.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
              \n

              Cons\u00e9quences rapides.<\/strong> (i) P\u00e9riodicit\u00e9 mod 3<\/em> : $latex \\mathrm{MCC}[r,c]\\equiv0$ ssi $latex c\\equiv2\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)$ ; (ii) barri\u00e8re mod 64<\/em> : pour $latex c\\ge5$, toutes les lignes tombent en $latex 21\\ (\\mathrm{mod}\\ 64)$ ; (iii) valutions<\/em> : \u00e0 chaque pas NE, $latex k$ augmente de $latex +2$.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

              Variante W (pairs) \u2014 m\u00eame diagonale, valeurs \u00d72<\/h4>\n\n\n\n

              On double toutes les valeurs : $latex \\mathrm{MCC}_W[r,c]=2\\,\\mathrm{MCC}[r,c]$ et $latex k’_c=\\nu_2(3\\,\\mathrm{MCC}_W[r,c]+2)-1=\\nu_2(3\\,\\mathrm{MCC}[r,c]+1)=k_c$.<\/p>\n\n\n\n

                \n
              • Ex.<\/em> Ligne $latex r=1$ : $latex \\mathrm{MCC}[1,2]=21 \\mapsto \\mathrm{MCC}_W[2,2]=42$. Valuation : $latex \\nu_2(3\\cdot42+2)-1=\\nu_2(128)-1=7-1=6$, identique \u00e0 $latex \\nu_2(3\\cdot21+1)=6$.<\/li>\n
              • Ex.<\/em> Puis NE : $latex 42\\mapsto 4\\cdot42+2=170$ ; $latex \\nu_2(3\\cdot170+2)-1=\\nu_2(512)-1=9-1=8$ (on a bien gagn\u00e9 +2, comme c\u00f4t\u00e9 impair).<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n

                Fratries  Lr,n<\/sub> (n = 0\u20266)<\/h3>
                r \\ n<\/th> 0<\/th>1<\/th>2<\/th>3<\/th>4<\/th>5<\/th>6<\/th> <\/tr> <\/thead>
                r = 1<\/strong><\/td> 1 (C)<\/em><\/td> 5 (P)<\/strong><\/td> 21 (C)<\/em><\/td> 85 (C)<\/em><\/td> 341 (C)<\/em><\/td> 1365 (C)<\/em><\/td> 5461 (C)<\/em><\/td> <\/tr>
                r = 3<\/strong><\/td> 3 (P)<\/strong><\/td> 13 (P)<\/strong><\/td> 53 (P)<\/strong><\/td> 213 (C)<\/em><\/td> 853 (P)<\/strong><\/td> 3413 (P)<\/strong><\/td> 13653 (C)<\/em><\/td> <\/tr>
                r = 7<\/strong><\/td> 7 (P)<\/strong><\/td> 29 (P)<\/strong><\/td> 117 (C)<\/em><\/td> 469 (C)<\/em><\/td> 1877 (P)<\/strong><\/td> 7509 (C)<\/em><\/td> 30037 (C)<\/em><\/td> <\/tr> <\/tbody> <\/table>

                Image en 2 pas : G2<\/sub>(Lr,n<\/sub>)<\/h3>

                Pour lecture rapide : P → \\((3y+1)\/2\\), C → \\(9y+2\\). Les valeurs ci-dessous sont des entiers<\/em> (pairs ou impairs) atteints en deux pas<\/strong> depuis chaque cellule du tableau ci-dessus.<\/p>
                r \\ n<\/th> 0<\/th>1<\/th>2<\/th>3<\/th>4<\/th>5<\/th>6<\/th> <\/tr> <\/thead>
                r = 1<\/strong><\/td> 11<\/td>8<\/td>191<\/td>767<\/td>3071<\/td>12287<\/td>49151<\/td> <\/tr>
                r = 3<\/strong><\/td> 5<\/td>20<\/td>80<\/td>1919<\/td>1280<\/td>5120<\/td>122879<\/td> <\/tr>
                r = 7<\/strong><\/td> 11<\/td>44<\/td>1055<\/td>4223<\/td>2816<\/td>67583<\/td>270335<\/td> <\/tr> <\/tbody> <\/table> \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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