{"id":56470,"date":"2025-10-03T12:43:40","date_gmt":"2025-10-03T11:43:40","guid":{"rendered":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/?p=56470"},"modified":"2025-10-22T08:56:07","modified_gmt":"2025-10-22T07:56:07","slug":"fr-variante-universelle","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/fr-variante-universelle\/","title":{"rendered":"FR – Variante universelle"},"content":{"rendered":"\t \n

Variante unifi\u00e9e Fm<\/sub>, pivot 2m\u22121<\/sup> et conjugaison vers Collatz<\/h2>\t \n\t \n\t \n

Pour \\(m \\ge 1\\), on d\u00e9finit :<\/p>\t \n\t \n\t \n

$$\t \nF_m(x)=\t \n\\begin{cases}\t \n\\displaystyle \\frac{x}{2}, & \\nu_2(x)\\ge m,\\\\[6pt]\t \n\\displaystyle 3x+2^{\\,m-1}, & \\nu_2(x)\\le m-1,\t \n\\end{cases}\t \n$$<\/p>\t \n\t \n\t \n

\t \n

Lemme (conjugaison sur \\(S_m\\)).<\/strong> En posant \\(S_m=2^{\\,m-1}\\mathbb{Z}\\) et \\(x=2^{\\,m-1}y\\), on a\t \n$$\t \n\\frac{F_m(2^{\\,m-1}y)}{2^{\\,m-1}}=\t \n\\begin{cases}\t \n\\displaystyle \\frac{y}{2}, & y \\text{ pair},\\\\[6pt]\t \n\\displaystyle 3y+1, & y \\text{ impair}.\t \n\\end{cases}\t \n$$\t \nAutrement dit, sur \\(S_m\\), la dynamique de \\(F_m\\) est exactement la Collatz classique sur \\(y\\).<\/p>\t \n

Corollaire.<\/strong> Le cycle universel est\t \n\\(\\;2^{m-1}\\ \\to\\ 2^{m+1}\\ \\to\\ 2^{m}\\ \\to\\ 2^{m-1}\\), avec \\(2^{m-1}\\) pour pivot (juste sous le seuil \\(\\nu_2\\ge m\\)).<\/p>\t \n

Compl\u00e9ment (hors bassin pour \\(m\\ge 2\\)).<\/strong> Si \\(\\nu_2(x)\\le m-2\\), alors \\(\\nu_2(F_m(x))=\\nu_2(x)\\) et on reste sur la branche \\(3x+2^{m-1}\\) : croissance monotone, pas de retour vers \\(S_m\\).<\/p>\t \n<\/div><\/div>\t \n\t \n\t \n

Cas particuliers.<\/strong><\/p>\t \n\t \n\t \n

    \t \n
  • Semi-entiers<\/em> (r\u00e8gle \u00ab entier \u21d2 \u00f72, sinon \\(3x+\\frac{1}{2}\\) \u00bb) : c\u2019est \\(m=1\\) vu \u00e0 l\u2019\u00e9chelle \\(w=2x\\) (conjugaison globale avec Collatz).<\/li>\t \n\t \n\t \n
  • Variante +2<\/em> (\\(m=2\\)) : bassin \\(S_2=\\{x\\equiv0\\ (\\mathrm{mod}\\ 2)\\}\\) et cycle \\((2,8,4)\\).<\/li>\t \n\t \n\t \n
  • Variante +4<\/em> (\\(m=3\\)) : bassin \\(S_3=\\{x\\equiv0\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)\\}\\) et cycle \\((4,16,8)\\).<\/li>\t \n<\/ul>\t \n\t \n\t \t \n\t \n\t \n

    D\u00e9composition de \\(3x+2^{m-1}\\) et r\u00f4le de l\u2019\u00e9chelle \\(2^{\\,m-1}\\)<\/h3>\t \n\t \n\t \n

    Cas 1 \u2014 sur le bassin \\(S_m\\)<\/strong> (i.e. \\(x=2^{\\,m-1}y\\) avec \\(y\\) impair). Alors\t \n<\/p>\t \n\t \n\t \n

    $$\t \n3x+2^{m-1}\t \n=3\\cdot 2^{\\,m-1}y + 2^{\\,m-1}\t \n=2^{\\,m-1}\\bigl((2+1)y+1\\bigr)\t \n=2^{\\,m-1}\\bigl(2y+(y+1)\\bigr)\t \n=2^{\\,m-1}\\bigl(3y+1\\bigr).\t \n$$<\/p>\t \n\t \n\t \n

    Autrement dit, en posant \\(y=\\frac{x}{2^{\\,m-1}}\\) (ton \u00ab \\(n\\) \u00bb), on obtient directement la conjugaison Collatz<\/em> sur \\(y\\).<\/p>\t \n\t \n\t \n

    Cas 2 \u2014 g\u00e9n\u00e9ral<\/strong> : \u00e9cris \\(x=2^{t}y\\) avec \\(y\\) impair et \\(t=\\nu_2(x)\\). Alors\t \n<\/p>\t \n\t \n\t \n

    $$\t \n3x+2^{m-1}\t \n=2^{t}\\Bigl(3y+2^{\\,m-1-t}\\Bigr)\t \n=2^{t}\\Bigl(2y+\\bigl(y+2^{\\,m-1-t}\\bigr)\\Bigr).\t \n$$<\/p>\t \n\t \n\t \n

    Si \\(t\\le m-2\\), alors \\(m-1-t\\ge 1\\) et \\(y+2^{\\,m-1-t}\\) est impair : on a donc \\(\\nu_2(3x+2^{m-1})=\\nu_2(x)=t\\) (valuation invariante<\/em>). Si \\(t=m-1\\), on retombe sur le Cas 1 (conjugaison). Si \\(t\\ge m\\), on est dans la branche \\(\\,x\\mapsto x\/2\\,\\) qui fait simplement d\u00e9cro\u00eetre \\(\\nu_2\\) d\u2019une unit\u00e9.<\/p>\t \n\t \n\t \n

    \t \n

    Cons\u00e9quence \u00ab localisation des cycles \u00bb.<\/strong> Pour \\(m\\ge 2\\), si \\(\\nu_2(x)\\le m-2\\) alors la branche \\(3x+2^{m-1}\\) conserve \\(\\nu_2\\) et fait cro\u00eetre strictement la taille : aucune orbite cyclique<\/em> ne peut passer par l\u00e0. Tout cycle \u00e9ventuel vit donc dans \\(S_m=2^{\\,m-1}\\mathbb{Z}\\), o\u00f9 la dynamique est exactement celle de Collatz sur \\(y=x\/2^{\\,m-1}\\).<\/p>\t \n<\/div><\/div>\t \n\t \n\t \n

    <\/p>\t \n\t \n\t \n

    \t \n \t \n

    Encadr\u00e9 \u2013 Sous-graphe k<\/em> pair & section +4<\/code> : impossibilit\u00e9 d\u2019un cycle<\/h3>\t \n \t \n \t \n

    Cadre.<\/strong> Dans la dynamique compress\u00e9e classique, on note k = v_2(3y+1)<\/code>. Sur la colonne d=3<\/code> :\t \n \\(\\;y=64r+21\\Rightarrow 3y+1=64(3r+1)\\), donc \\(\\;k=6+v_2(3r+1)\\).\t \n La section<\/em> \\(+4\\) travaille plut\u00f4t sur \\(\\;C^{(4)}_3: y\\equiv 84\\equiv 20\\ (\\bmod 64)\\) avec\t \n \\(\\;y=64r+84\\Rightarrow \\mathrm{oddize}(y+4)=8r+11\\) (retour lin\u00e9aire \\(\\;r\\mapsto 8r+11\\)).<\/p>\t \n \t \n \t \n

    1) Contraction sur le sous-graphe k<\/em> pair.<\/strong>\t \n Si \\(\\;k\\ge 2\\), alors \\(\\;\\displaystyle T(y)=\\frac{3y+1}{2^k}\\le \\frac{3y+1}{4} < 0.75\\,y+0.25[\/latex].\t \n Sur [latex]\\;\\ell[\/latex] pas cons\u00e9cutifs \u00e0 [latex]\\;k[\/latex] pairs : [latex]\\;T^\\ell(y)\\le 0.75^\\ell\\,y + O(1)[\/latex].\t \n Un cycle ne peut exister que sous un petit seuil : au-dessus, la contraction l\u2019interdit. En dessous, on balaie finiment (check machine).<\/p>\t \n \t \n \t \n

    2) Pont avec la section +4<\/code>.<\/strong>\t \n La section [latex]\\;\\mathrm{oddize}(y+4)\\) envoie \\(\\;y=64r+84\\) vers \\(\\;8r+11\\), ce qui relocalise<\/em> \\(\\;r\\)\t \n sans r\u00e9introduire d\u2019ar\u00eates k<\/em> impaires. On peut alterner \u201cpaquets\u201d d\u2019\u00e9tapes \u00e0 k<\/em> pairs (contractants) et retours +4<\/code> (recentrants),\t \n ce qui structure<\/em> la trajectoire et emp\u00eache tout cycle 100% k<\/em> pair.<\/p>\t \n \t \n \t \n

    3) Certificat min\u2013moyenne.<\/strong>\t \n En filtrant le graphe sur \\(\\;k\\) pair (ou \\(\\;\\{2,4,6\\}\\)) et en recalculant la moyenne de cycle minimale \t \n \\(\\;\\mu_{\\min}\\) (Howard\/Karp), si \\(\\;\\mu_{\\min}>\\log_2 3\\), alors aucun cycle n\u2019existe dans ce sous-graphe (crit\u00e8re de potentiel moyen).<\/p>\t \n \t \n \t \n

    TL;DR<\/em> : contraction (th\u00e9orie) + section +4<\/code> (ancrage en \\(\\;r\\)) + certificat min\u2013moyenne (machine)\t \n → pas de cycle 100% k<\/em> pair<\/strong>.<\/p>\t \n \t \n \t \n

    EN (short).<\/strong> On the even-k<\/em> subgraph, each step contracts at most by a factor <0.75.\t \n Alternating such blocks with the +4<\/code> section (which maps \\(\\;y=64r+84\\) to \\(\\;8r+11\\)) keeps the dynamics anchored in \\(\\;r\\).\t \n If the filtered graph has \\(\\;\\mu_{\\min}>\\log_2 3\\), no purely even-k<\/em> cycle can exist.<\/p>\t \n \t \n<\/div><\/div>\t \n\t \n\t \n

    \t \n \t \n

    R\u00e9sultat \u2014 D\u00e9composition par parit\u00e9 des valuations k=v_2(3y+1)<\/code><\/h3>\t \n \t \n \t \n
    \t \n \t \n
    Sous-graphe<\/th>\u03bcmin<\/sub><\/th>Cycle argmin<\/th>Marge (\u03bcmin<\/sub>\u2212log\u20823)<\/th><\/tr>\t \n <\/thead>
    k pair<\/strong><\/td>2.000000<\/code><\/td>point fixe 1<\/code> (k=2)<\/td>\u2248 +0.4150375<\/code><\/td><\/tr>\t \n
    k \u2208 {2,4,6}<\/strong><\/td>2.000000<\/code><\/td>point fixe 1<\/code> (k=2)<\/td>\u2248 +0.4150375<\/code><\/td><\/tr>\t \n
    k impair<\/strong><\/td>\u2014<\/em><\/td>aucun<\/em> (acyclique)<\/td>n\/a<\/em><\/td><\/tr>\t \n
    Complet<\/strong><\/td>21\/11 \u2248 1.9090909<\/code><\/td>|cycle|=33<\/td>\u2248 +0.3241284<\/code><\/td><\/tr>\t \n <\/tbody><\/table><\/figure>\t \n \t \n \t \n

    Faits principaux.<\/strong> (i) Le sous-graphe k<\/em> pair n\u2019admet aucun<\/em> cycle non trivial (seul le 1-cycle avec k=2).\t \n (ii) Le sous-graphe k<\/em> impair est acyclique<\/em>. \t \n (iii) Le cycle minimisant global (33 pas) m\u00e9lange des ar\u00eates paires et impaires pour atteindre \u03bcmin<\/sub>=21\/11.<\/p>\t \n \t \n \t \n

    Lyapunov simple (odd-only).<\/strong> Sur le sous-graphe impair (DAG), on d\u00e9finit un niveau topologique odd_level<\/code> qui\t \n cro\u00eet strictement<\/em> le long de chaque ar\u00eate. Toute s\u00e9quence d’\u00e9tapes impaires est donc strictement d\u00e9croissante pour le potentiel\t \n \\(\\;V(y)=-\\mathrm{odd\\_level}(y)\\).<\/p>\t \n \t \n \t \n

    EN (short).<\/strong> Even-k<\/em> subgraph: only the trivial 1-cycle (\u03bc=2 > log\u20823). Odd-only: acyclic DAG.\t \n Hence any non-trivial cycle in the full graph must mix even and odd edges; the global minimizer has length 33 with \u03bc=21\/11.<\/p>\t \n \t \n<\/div><\/div>\t \n\n\n\n\n\n\n

    La loi universelle Fm<\/sub><\/em> (pivot 2m\u22121<\/sup>)\u00a0: comprendre Collatz par les distances<\/em> m\u2011adiques<\/h1>\n\n

    Id\u00e9e.<\/strong> On \u00e9tudie une variante unifi\u00e9e<\/em> \\(F_m\\) param\u00e9tr\u00e9e par un pivot binaire \\(2^{m-1}\\). Mesur\u00e9e \u00e0 l\u2019\u00e9chelle \u00ab\u00a0universelle\u00a0\u00bb \\(U_m=2^{m-1}\\), sa dynamique ne d\u00e9pend que de distances<\/em> (combien on monte\/descend en unit\u00e9s \\(U_m\\)), et non des valeurs pr\u00e9cises. Cette vision \u00ab\u00a0distance\u2011only\u00a0\u00bb\nexplique pourquoi le seul cycle<\/em> possible est universel\u00a0: \\(2^{m-1}\\to 2^{m+1}\\to 2^{m}\\to 2^{m-1}\\).<\/p>\n\n

    \n

    Version courte (grand public)<\/strong><\/p>\n

      \n
    1. La r\u00e8gle universelle.<\/strong> \\(F_m(x)=x\/2\\) si \\(x\\) est assez pair (au moins \\(m\\) facteurs 2), sinon \\(F_m(x)=3x+2^{m-1}\\).<\/li>\n
    2. Le bon \u00ab\u00a0m\u00e8tre\u00a0\u00bb.<\/strong> On mesure tout en unit\u00e9s<\/em> \\(U_m=2^{m-1}\\). Au\u2011dessus du pivot, on divise par 2<\/em> jusqu\u2019au palier\u00a0; en\u2011dessous, on ajoute au moins 1 unit\u00e9<\/em> \u00e0 chaque pas.<\/li>\n
    3. Le palier magique.<\/strong> Sur le palier \\(S_m=2^{m-1}\\mathbb Z\\), la dynamique\n se r\u00e9duit exactement<\/em> \u00e0 la Collatz classique sur \\(y=x\/2^{m-1}\\).<\/li>\n
    4. Exclusion des cycles (id\u00e9e).<\/strong> Hors palier, on diverge (mont\u00e9e) ou on descend vers le palier (entonnoir). Sur le palier, les \u00ab\u00a0blocs\u00a0\u00bb de la forme \u00ab\u00a0\\(\\times3\\) puis \\(\/2^\\kappa\\)\u00a0\u00bb imposent un budget moyen<\/em> impossible \u00e0 boucler,\n sauf pour le petit cycle universel.<\/li>\n <\/ol>\n<\/div>\n\n
      \n\n\n\n\n\n

      A. D\u00e9finition de \\(F_m\\) et d\u00e9coupe en zones<\/h2>\n\n

      A.1 \u2014 R\u00e8gle unifi\u00e9e et \u00ab\u00a0m\u00e8tre\u00a0\u00bb universel<\/h3>\n

      Pour \\(m\\ge1\\), on pose\n\\[\nF_m(x)=\n\\begin{cases}\n\\frac{x}{2},& \\nu_2(x)\\ge m,\\\\[6pt]\n3x+2^{m-1},& \\nu_2(x)\\le m-1.\n\\end{cases}\n\\]\nOn adopte l\u2019unit\u00e9 \\(U_m:=2^{m-1}\\)<\/strong>. Parler \u00ab\u00a0en unit\u00e9s \\(U_m\\)\u00a0\u00bb, c\u2019est remplacer chaque diff\u00e9rence \\(\\Delta x\\) par \\(\\Delta_m=\\Delta x\/2^{m-1}\\).<\/p>\n\n

      A.2 \u2014 Palier \\(S_m\\) et conjugaison avec Collatz<\/h3>\n

      Soit \\(S_m:=2^{m-1}\\mathbb Z\\) (multiples de \\(U_m\\)). En \u00e9crivant \\(x=2^{m-1}y\\) on obtient\n\\[\n\\frac{F_m(2^{m-1}y)}{2^{m-1}}=\n\\begin{cases}\n\\frac{y}{2},& y\\ \\text{pair},\\\\[6pt]\n3y+1,& y\\ \\text{impair}.\n\\end{cases}\n\\]\nAutrement dit, sur \\(S_m\\)<\/strong> la dynamique de \\(F_m\\) co\u00efncide exactement<\/em> avec la Collatz classique sur \\(y\\).<\/p>\n\n

      A.3 \u2014 Trois zones (lecture m\u2011adique)<\/h3>\n
        \n
      • Zone A\u00a0(au\u2011dessus du pivot)<\/strong>\u00a0: \\(t:=\\nu_2(x)\\ge m\\). Chaque pas fait \\(x\\mapsto x\/2\\). En unit\u00e9s \\(U_m\\), c\u2019est un facteur 1\/2<\/em> par pas jusqu\u2019\u00e0 atteindre \\(t=m-1\\).<\/li>\n
      • Interface\/palier \\(S_m\\)<\/strong>\u00a0: \\(t=m-1\\). C\u2019est la copie conforme<\/em> de Collatz sur \\(y=x\/2^{m-1}\\).<\/li>\n
      • Zone C\u00a0(en\u2011dessous du pivot)<\/strong>\u00a0: \\(t\\le m-2\\). On est forc\u00e9ment<\/em> dans la branche \\(x\\mapsto 3x+2^{m-1}\\) et la valuation reste invariante<\/strong>\u00a0: \\(\\nu_2(F_m(x))=\\nu_2(x)=t\\). En unit\u00e9s \\(U_m\\), l\u2019incr\u00e9ment vaut\n \\[\n \\Delta_m=\\frac{F_m(x)-x}{2^{m-1}}=2^{\\,t-m+2}y+1\\ \\ge\\ 1+2^{\\,2-m}>1,\n \\]\n (avec \\(x=2^t y\\), \\(y\\) impair).\n On monte strictement<\/u> \u00e0 chaque pas et on ne peut jamais<\/em> atteindre \\(S_m\\).<\/li>\n<\/ul>\n\n
        \n

        Cycle universel (imm\u00e9diat).<\/strong> \u00c0 partir de \\(2^{m-1}\\)\u00a0: on applique \\(3x+2^{m-1}\\) et on obtient \\(2^{m+1}\\), puis deux divisions donnent \\(2^m\\) puis \\(2^{m-1}\\). Donc \\(2^{m-1}\\to2^{m+1}\\to2^m\\to2^{m-1}\\)<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n\n

        \n\n\n\n\n\n

        B. Exclure tous les cycles (hors universel) uniquement<\/em> par les distances<\/h2>\n\n

        B.1 \u2014 R\u00e9duction \u00e0 \\(S_m\\)<\/h3>\n

        Par A.3\u00a0: aucune orbite cyclique ne peut s\u00e9journer en zone C (croissance stricte)\u00a0; en zone A on descend en temps fini vers \\(S_m\\).\nTout cycle vit donc dans \\(S_m\\)<\/strong>, o\u00f9 \\(F_m\\) est la Collatz classique sur \\(y\\).<\/p>\n\n

        B.2 \u2014 Comptabilit\u00e9 d\u2019un \u00ab\u00a0bloc impair\u00a0\u00bb (distance seule)<\/h3>\n

        Sur \\(S_m\\), quand \\(y\\) est impair, on note \\(\\kappa:=\\nu_2(3y+1)\\). Un bloc \u00ab\u00a0impair\u00a0\u00bb (\\(\\times3\\) puis \\(\/2^\\kappa\\)) induit sur \\(x=2^{m-1}y\\) la mise \u00e0 jour lin\u00e9aire suivante :<\/p>\n\n

        \n\\[\nx\\ \\longmapsto\\ \\frac{3}{2^{\\kappa}}\\,x\\ +\\ \\frac{1}{2^{\\kappa}}\\,U_m\n\\]\n<\/div>\n\n

        \u2014 une mise \u00e0 jour qui ne d\u00e9pend que de la distance<\/em> \\(\\kappa\\), et non de la valeur de \\(x\\).<\/p>\n\n

        B.3 \u2014 Deux bilans sur un tour<\/h3>\n
          \n
        1. Multiplicatif<\/strong>\u00a0: produit des facteurs \\(\\prod (3\/2^{\\kappa_j})\\). Pour boucler\u00a0:\n \\[\\frac{1}{s}\\sum_{j=1}^s \\kappa_j\\ =\\ \\log_2 3\\ \\approx\\ 1{,}5859.\\]<\/li>\n
        2. Additif<\/strong>\u00a0: somme des termes \\(U_m\\,\\sum 2^{-\\kappa_j}\\)\u00a0>\u00a00.\n Elle doit \u00eatre \u00ab\u00a0auto\u2011compens\u00e9e\u00a0\u00bb dans le tour\u00a0; en pratique cela force une surcompensation<\/em> du multiplicatif\n (moyenne \\(\\kappa\\) l\u00e9g\u00e8rement > \\(\\log_2 3\\)) et\/ou des contraintes modulaires tr\u00e8s strictes.<\/li>\n<\/ol>\n\n

          Encadr\u00e9 \u2013 Condition de divisibilit\u00e9 (version rigoureuse de B.3).<\/strong>\nPour un tour de s blocs impairs avec exponents \\(\\kappa_1,\\dots,\\kappa_s\\) et \\(K=\\sum\\kappa_j\\) :\n\\[\n(2^{K}-3^{s})\\,y=\\sum_{j=1}^s 3^{\\,s-j}\\,2^{\\,K-(\\kappa_j+\\cdots+\\kappa_s)}.\n\\]\nDonc \\(2^{K}-3^{s}\\) divise le membre de droite. En particulier \\(K>s\\log_2 3\\) (strict) :\nl\u2019additif impose une moyenne \\(\\bar\\kappa\\) strictement sup\u00e9rieure \u00e0 \\(\\log_2 3\\).\n<\/p>\n\n

          B.4 \u2014 For\u00e7ages 2\u2011adiques sur \\(\\kappa\\)<\/h3>\n

          Structurellement (arithm\u00e9tique binaire), l\u2019ensemble \\(\\{y:\\ \\nu_2(3y+1)=t\\}\\) est une progression arithm\u00e9tique modulo \\(2^t\\)\u2009:\nles \u00ab\u00a0grands \\(\\kappa\\)\u00a0\u00bb sont in\u00e9vitables<\/em> \u00e0 intervalles r\u00e9guliers.\nCes for\u00e7ages font monter la moyenne \\(\\bar\\kappa\\) au\u2011dessus de \\(\\log_2 3\\) sur tout tour,\nce qui rend le bouclage impossible sans<\/em> tomber dans le petit cycle universel.<\/p>\n\n

          \n

          Conclusion distance\u2011only.<\/strong>\n Zones A\/C interdisent d\u2019embl\u00e9e les cycles\u00a0; sur \\(S_m\\), le budget \u00ab\u00a0\\(\\times3\\) puis \\(\/2^\\kappa\\)\u00a0\u00bb ne peut fermer un tour exact\n (produit = 1 et somme additive = 0)\n que pour le cycle universel<\/em> (image de \\(\\{1,2,4\\}\\)).<\/p>\n<\/div>\n\n

          \n\n\n\n\n\n

          C. Exemples concrets (m=2 et m=3)<\/h2>\n\n

          C.1 \u2014 Variante \u00ab\u00a0+2\u00a0\u00bb (m=2)<\/h3>\n

          R\u00e8gle.<\/strong> \\(F_2(x)=x\/2\\) si \\(\\nu_2(x)\\ge2\\), sinon \\(F_2(x)=3x+2\\).\nBassin \\(S_2=2\\mathbb Z\\) (les pairs) et \\(U_2=2\\).<\/p>\n

            \n
          • Cycle universel.<\/strong> \\(2\\to 8\\to 4\\to 2\\).<\/li>\n
          • Zone C<\/strong> (nombres impairs\u00a0: \\(t=0\\))\u00a0:\n \\(\\Delta_2 = 2^{0-2+2}y+1 = y+1\\ge 2\\). Croissance stricte, jamais de retour au palier.<\/li>\n
          • Zone A<\/strong> (\\(t\\ge2\\))\u00a0: divisions jusqu\u2019\u00e0 \\(t=1\\), puis palier \\(S_2\\) et conjugaison Collatz sur \\(y=x\/2\\).<\/li>\n<\/ul>\n\n

            C.2 \u2014 Variante \u00ab\u00a0+4\u00a0\u00bb (m=3)<\/h3>\n

            R\u00e8gle.<\/strong> \\(F_3(x)=x\/2\\) si \\(\\nu_2(x)\\ge3\\), sinon \\(F_3(x)=3x+4\\).\nBassin \\(S_3=4\\mathbb Z\\), \\(U_3=4\\).<\/p>\n

              \n
            • Cycle universel.<\/strong> \\(4\\to 16\\to 8\\to 4\\).<\/li>\n
            • Zone C<\/strong> (\\(t\\le1\\))\u00a0:\n \\(\\Delta_3 = 2^{t-3+2}y+1 = 2^{t-1}y+1\\ge 1+\\frac{1}{2}=1{,}5\\).\n Croissance stricte en unit\u00e9s de 4.<\/li>\n
            • Zone A<\/strong> (\\(t\\ge3\\))\u00a0: divisions jusqu\u2019au palier, puis comportement Collatz sur \\(y=x\/4\\).<\/li>\n<\/ul>\n\n
              \n\n\n\n\n\n

              D. Questions fr\u00e9quentes (grand public)<\/h2>\n
              \n Pourquoi parler de \u00ab\u00a0distances\u00a0\u00bb plut\u00f4t que des nombres eux\u2011m\u00eames\u00a0?<\/strong><\/summary>\n

              Parce que la r\u00e8gle ne d\u00e9pend que d\u2019un seuil binaire<\/em> (le pivot) et d\u2019un compteur de divisions par 2<\/em>.\n Vu \u00e0 l\u2019\u00e9chelle \\(U_m\\), on a juste des paliers<\/em> (descente par 2), une marche forc\u00e9e<\/em> (ajouts \\(+U_m\\) et plus), et un palier central<\/em> r\u00e9gi par un petit budget \u00ab\u00a0\\(\\times3\\) \/ \\(\/2^\\kappa\\)\u00a0\u00bb.\n La valeur exacte des nombres est secondaire.<\/p>\n<\/details>\n

              \n Qu\u2019est\u2011ce qui emp\u00eache un grand cycle compliqu\u00e9\u00a0?<\/strong><\/summary>\n

              Hors du palier, on ne peut pas boucler\u00a0: soit on monte tout le temps (zone C), soit on descend jusqu\u2019au palier (zone A).\n Sur le palier, la moyenne des \u00ab\u00a0\\(\\kappa\\)\u00a0\u00bb impos\u00e9e par la g\u00e9om\u00e9trie binaire est trop grande pour un retour exact.\n La seule combinaison qui ferme exactement est le cycle universel.<\/p>\n<\/details>\n

              \n Quel rapport avec la Collatz classique\u00a0?<\/strong><\/summary>\n

              Sur \\(S_m\\), \\(F_m\\) est<\/em> Collatz (appliqu\u00e9e \u00e0 \\(y=x\/2^{m-1}\\)).\n Le cycle universel \\(\\{2^{m-1},2^m,2^{m+1}\\}\\) est l\u2019image de \\(\\{1,2,4\\}\\).<\/p>\n<\/details>\n\n

              \n\n\n\n\n\n

              E. Annexes techniques<\/h2>\n\n

              E.1 \u2014 D\u00e9composition g\u00e9n\u00e9rale et invariance de \\(\\nu_2\\) en zone C<\/h3>\n

              \u00c9cris \\(x=2^t y\\) avec \\(y\\) impair. Alors\n\\[\n3x+2^{m-1}=2^t\\,\\big(3y+2^{m-1-t}\\big)=2^t\\,\\big(2y+(y+2^{m-1-t})\\big).\n\\]\nSi \\(t\\le m-2\\), alors \\(m-1-t\\ge1\\) et \\(y+2^{m-1-t}\\) est impair\u00a0; d\u2019o\u00f9 \\(\\nu_2(3x+2^{m-1})=t\\).\nEn unit\u00e9s \\(U_m\\),\n\\[\n\\Delta_m=\\frac{3x+2^{m-1}-x}{2^{m-1}}=2^{t-m+2}y+1\\ge 1+2^{2-m}.\n\\]\n<\/p>\n\n

              E.2 \u2014 Formule \u00ab\u00a0bloc impair\u00a0\u00bb sur le palier<\/h3>\n

              Sur \\(S_m\\), \\(x=2^{m-1}y\\)\u00a0; si \\(y\\) est impair et \\(\\kappa=\\nu_2(3y+1)\\), alors\n\\[\nF_m^{\\text{bloc}}(x)=\\frac{3x+2^{m-1}}{2^{\\kappa}}=\\frac{3}{2^{\\kappa}}x+\\frac{1}{2^{\\kappa}}U_m.\n\\]\nLa partie multiplicative force la contrainte moyenne \\(\\bar\\kappa=\\log_2 3\\) pour un cycle\u00a0; l\u2019additif est strictement positif et doit \u00eatre compens\u00e9 simultan\u00e9ment.<\/p>\n\n

              E.3 \u2014 Cas particuliers<\/h3>\n
                \n
              • Semi\u2011entiers (m=1).<\/strong> En posant \\(w=2x\\), la r\u00e8gle \u00ab\u00a0entier \u21d2 \u00f72, sinon 3x+1<\/em>\u00a0\u00bb se conjugue globalement avec la Collatz classique.<\/li>\n
              • Variante +2 (m=2).<\/strong> Bassin \\(S_2=2\\mathbb Z\\) et cycle \\((2,8,4)\\).<\/li>\n
              • Variante +4 (m=3).<\/strong> Bassin \\(S_3=4\\mathbb Z\\) et cycle \\((4,16,8)\\).<\/li>\n<\/ul>\n\n
                \n\n\n\n\n\n

                F. Mode d\u2019emploi (papier\u2011crayon, sans code)<\/h2>\n
                  \n
                1. Choisir m<\/strong> (donc \\(U_m=2^{m-1}\\)).<\/li>\n
                2. Classer un x<\/strong> par valuation \\(t=\\nu_2(x)\\)\u00a0:\n
                    \n
                  • si \\(t\\le m-2\\) \u2192 zone C<\/em>\u00a0: incr\u00e9ment \\(\\Delta_m\\ge 1+2^{2-m}\\), on diverge\u00a0;<\/li>\n
                  • si \\(t\\ge m\\) \u2192 zone A<\/em>\u00a0: divisions jusqu\u2019\u00e0 \\(S_m\\)\u00a0;<\/li>\n
                  • si \\(t=m-1\\) \u2192 sur \\(S_m\\)<\/em>\u00a0: passer \u00e0 \\(y=x\/U_m\\) et raisonner en \u00ab\u00a0blocs \\(\\kappa\\)\u00a0\u00bb.<\/li>\n <\/ul>\n <\/li>\n
                  • Sur \\(S_m\\)<\/strong>\u00a0: pour tout tour hypoth\u00e9tique, v\u00e9rifier\n \\(\\prod (3\/2^{\\kappa})=1\\)<\/span> et\n \\(\\sum U_m\/2^{\\kappa}\\)<\/span> = 0 (impossible sauf cycle universel).<\/li>\n<\/ol>\n\n
                    \n\n\n\n\n\n

                    G. Remplissage structurel des colonnes (z\u00e9ro trajectoire, z\u00e9ro proba)<\/h2>\n\n

                    On fige l\u2019\u00e9chelle universelle Um<\/sub>=2m\u22121<\/sup><\/strong> et on construit le tableau compress\u00e9 par
                    \nXr,n<\/sub> = Um<\/sub> \u00b7 Lr,n<\/sub>, avec Lr,n<\/sub> = ((3r+1)\u00b74n<\/sup>\u22121)\/3, r \u2208 {1,3,7} (mod 8), n \u2265 0.
                    \nOn observe le tableau \u00e0 la r\u00e9solution<\/em> binaire Ms<\/sub> := 2m+s<\/sup> (s \u2265 0). Toute la variabilit\u00e9 en r provient du terme Um<\/sub>\u00b74n<\/sup>\u00b7r ; le terme constant Um<\/sub>\u00b7(4n<\/sup>\u22121)\/3 ne d\u00e9pend pas de r.<\/p>\n\n

                    G.1 \u2014 Loi stricte \u00ab 3 \u2192 2 \u2192 1 \u00bb par colonne<\/h3>\n

                    Les trois fratries r\u22611,3,7 (mod 8) diff\u00e8rent par 2, 4, 6 (valuations 2-adiques 1, 2, 1). Les diff\u00e9rences entre deux cellules d\u2019une m\u00eame colonne valent
                    \n\u0394 = Um<\/sub>\u00b74n<\/sup>\u00b7(ri<\/sub>\u2212rj<\/sub>) = 2m+2n\u22121<\/sup>\u00b7(ri<\/sub>\u2212rj<\/sub>).
                    \nElles sont nulles modulo Ms<\/sub>=2m+s<\/sup> d\u00e8s que leur valuation atteint m+s. En examinant les trois paires (1,3), (1,7), (3,7), on obtient la loi d\u00e9terministe suivante\u00a0:<\/p>\n\n

                    \n

                    Th\u00e9or\u00e8me (effondrement par colonne).<\/strong> Pour chaque colonne n\u22650, le nombre de r\u00e9sidus {Xr,n<\/sub> mod Ms<\/sub>} distincts vaut\u00a0:<\/p>\n

                      \n
                    • 3<\/strong> si s \u2265 2n+2<\/strong> ;<\/li>\n
                    • 2<\/strong> si s = 2n+1<\/strong> (seuil o\u00f9 r\u22613 et r\u22617 fusionnent d\u2019abord) ;<\/li>\n
                    • 1<\/strong> si s \u2264 2n<\/strong>.<\/li>\n <\/ul>\n

                      Autrement dit\u00a0: \u00e0 r\u00e9solution fix\u00e9e, quand on avance la colonne n=0,1,2,\u2026, on voit strictement<\/strong> le sch\u00e9ma 3 \u2192 2 \u2192 1<\/strong> (puis 1 pour toujours).<\/p>\n<\/div>\n\n

                      G.2 \u2014 Exemples compacts (m=2, variante \u00ab\u00a0+2\u00a0\u00bb)<\/h3>\n

                      Ici U2<\/sub>=2. Pour quelques r\u00e9solutions Ms<\/sub>=22+s<\/sup>, on obtient\u00a0:<\/p>\n\n \n \n
                      R\u00e9solution Ms<\/sub><\/th>Param. s<\/th>Col. n=0<\/th>Col. n=1<\/th>Col. n=2<\/th>Col. n\u22653<\/th><\/tr>\n <\/thead>\n
                      8<\/td>s=1<\/td>2<\/strong><\/td>1<\/td>1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
                      16<\/td>s=2<\/td>3<\/strong><\/td>1<\/td>1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
                      32<\/td>s=3<\/td>3<\/strong><\/td>2<\/strong><\/td>1<\/td>1<\/td><\/tr>\n <\/tbody>\n<\/table>\n

                      Lecture\u00a0:<\/em> \u00e0 M=32, on a bien \u00ab\u00a03 classes en 1re<\/sup> colonne, 2 classes en 2e<\/sup>, puis 1 ensuite\u00a0\u00bb.<\/p>\n\n

                      G.3 \u2014 Classe unique et \u00ab\u00a0glissement\u00a0\u00bb de colonne<\/h3>\n

                      Quand s \u2264 2n, on a une classe unique<\/strong> donn\u00e9e par Xr,n<\/sub> \u2261 Um<\/sub>\u00b7(4n<\/sup>\u22121)\/3 (mod Ms<\/sub>), ind\u00e9pendante de r. Le passage n\u2192n+1 effectue x\u21a64x+Um<\/sub>, qui d\u00e9place<\/em> cette classe unique d\u2019une colonne (au sens des colonnes Ck<\/sub>=\u230a\u03ba\/2\u230b). Ce d\u00e9placement est lui\u2011m\u00eame d\u00e9terministe<\/strong> \u00e0 r\u00e9solution fix\u00e9e.<\/p>\n\n

                      \n\n\n\n\n\n

                      H. Superposer les familles (+1, +2, +4, +8, \u2026)\u00a0: m\u00eame r\u00e9solution, m\u00eames gestes<\/h2>\n\n

                      Id\u00e9e \u00ab\u00a0papier calque\u00a0\u00bb.<\/strong> Pour m=1,2,3,4 (familles \u00ab\u00a0+1, +2, +4, +8\u00a0\u00bb), posons Um<\/sub>=2m\u22121<\/sup> et le tableau X(m)<\/sup>r,n<\/sub>=Um<\/sub>\u00b7Lr,n<\/sub>. Si l\u2019on \u00ab\u00a0empile\u00a0\u00bb ces tableaux et qu\u2019on trace au crayon la r\u00e9solution d\u2019une cellule (r,n), alors\u00a0:<\/p>\n

                        \n
                      • les valeurs num\u00e9riques<\/strong> sont diff\u00e9rentes (multipli\u00e9es par Um<\/sub>),<\/li>\n
                      • mais les valeurs universelles<\/em><\/strong> (colonnes Ck<\/sub>, s\u00e9quence des \u03ba, positions r\u00e9siduelles modulo Ms<\/sub>) sont identiques<\/strong> pour tous les m.<\/li>\n<\/ul>\n\n
                        \n

                        Pourquoi\u00a0?<\/strong> Sur le palier Sm<\/sub>, on a x=Um<\/sub>\u00b7y et Fm<\/sub> est conjugu\u00e9e<\/strong> \u00e0 Collatz sur y. Or pour un (r,n) donn\u00e9, y=Lr,n<\/sub> est le m\u00eame<\/em> quel que soit m. Donc\u00a0:<\/p>\n

                          \n
                        • la s\u00e9quence des \u03baj<\/sub>=\u03bd2<\/sub>(3yj<\/sub>+1)<\/strong> est la m\u00eame<\/em> pour tous les m,<\/li>\n
                        • les colonnes visit\u00e9es<\/strong> C\u230a\u03baj<\/sub>\/2\u230b<\/sub> sont les m\u00eames<\/em>,<\/li>\n
                        • \u00e0 r\u00e9solution Ms<\/sub> \u00e9gale, les effondrements 3\u21922\u21921<\/strong> arrivent aux m\u00eames<\/em> colonnes (seuils s=2n, 2n+1).<\/li>\n <\/ul>\n<\/div>\n\n

                          H.1 \u2014 Petite d\u00e9mo (m=1,2,3) sur une m\u00eame cellule (r,n)=(3,1)<\/h3>\n

                          On prend L3,1<\/sub>=4\u00b73+1=13. Alors \u03ba=\u03bd2<\/sub>(3\u00b713+1)=\u03bd2<\/sub>(40)=3. La mise \u00e0 jour \u00ab\u00a0bloc\u00a0\u00bb est
                          \n x \u21a6 (3x+Um<\/sub>)\/23<\/sup> = (3\/8)\u00b7x + (1\/8)\u00b7Um<\/sub>.
                          \nPour m=1,2,3, on obtient des valeurs diff\u00e9rentes (U1<\/sub>=1, U2<\/sub>=2, U3<\/sub>=4), mais la colonne suivante<\/em> et la suite des \u03ba sont identiques\u00a0: c\u2019est le m\u00eame geste<\/strong> de r\u00e9solution \u00ab\u00a0au crayon\u00a0\u00bb, simultan\u00e9ment correct pour toutes les familles.<\/p>\n\n

                          H.2 \u2014 Recette \u00ab\u00a0papier calque\u00a0\u00bb<\/h3>\n
                            \n
                          1. Empiler<\/strong> les tableaux X(m)<\/sup>r,n<\/sub>=Um<\/sub>\u00b7Lr,n<\/sub> pour m\u2208{1,2,3,4}.<\/li>\n
                          2. Choisir<\/strong> une cellule (r,n) et la r\u00e9soudre<\/strong> par blocs\u00a0: d\u00e9terminer \u03ba=\u03bd2<\/sub>(3y+1), puis appliquer x\u21a6(3x+Um<\/sub>)\/2\u03ba<\/sup>.<\/li>\n
                          3. \u00c0 chaque \u00e9tape, reporter le m\u00eame \u03ba<\/strong> dans chaque calque m\u00a0: la colonne<\/strong> visit\u00e9e et la position r\u00e9siduelle<\/strong> modulo Ms<\/sub> co\u00efncident automatiquement.<\/li>\n<\/ol>\n

                            On a ainsi une r\u00e9solution universelle<\/strong> (ind\u00e9pendante des valeurs), valable pour toutes les variantes \u00ab\u00a0+1, +2, +4, +8, \u2026\u00a0\u00bb.<\/p>\n\n

                            Fin du document.<\/p>\n\n

                            \n\n\n\n\n\n

                            I. Tableau de synth\u00e8se\u00a0: effondrement 3\u21922\u21921<\/span> par colonne (r\u00e8gle stricte)<\/h2>\n\n

                            Rappel.<\/em> \u00c0 r\u00e9solution binaire fix\u00e9e Ms<\/sub>=2m+s<\/sup><\/strong>, pour la colonne n<\/strong> on a exactement
                            \n3<\/strong> classes si s \u2265 2n+2<\/strong>\u00a0; 2<\/strong> classes si s = 2n+1<\/strong>\u00a0; 1<\/strong> classe si s \u2264 2n<\/strong>. Le tableau ci\u2011dessous donne les comptages pour n=0\u20265<\/strong> et s=1\u20268<\/strong> (ind\u00e9pendant de m).<\/p>\n\n\n \n \n \n
                            s<\/th>\n n=0<\/th>\n n=1<\/th>\n n=2<\/th>\n n=3<\/th>\n n=4<\/th>\n n=5<\/th>\n <\/tr>\n <\/thead>\n
                            1<\/td>2<\/td>1<\/td>1<\/td>1<\/td>1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
                            2<\/td>3<\/td>1<\/td>1<\/td>1<\/td>1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
                            3<\/td>3<\/td>2<\/td>1<\/td>1<\/td>1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
                            4<\/td>3<\/td>3<\/td>1<\/td>1<\/td>1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
                            5<\/td>3<\/td>3<\/td>2<\/td>1<\/td>1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
                            6<\/td>3<\/td>3<\/td>3<\/td>1<\/td>1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
                            7<\/td>3<\/td>3<\/td>3<\/td>2<\/td>1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
                            8<\/td>3<\/td>3<\/td>3<\/td>3<\/td>1<\/td>1<\/td><\/tr>\n <\/tbody>\n<\/table>\n\n

                            Lecture rapide.<\/em> Pour la \u00ab\u00a0barri\u00e8re\u00a0\u00bb usuelle 64\u00b7Um<\/sub><\/strong> (s=6), la classe unique appara\u00eet d\u00e8s n\u22653<\/strong>. Pour 128\u00b7Um<\/sub><\/strong> (s=7), elle appara\u00eet d\u00e8s n\u22654<\/strong>, etc.<\/p>\n\n

                            I.1 \u2014 R\u00e9sidus de la classe unique (exemples fermes)<\/h3>\n\n \n \n \n \n \n
                            R\u00e9solution<\/th>\n Seuil d\u2019unicit\u00e9<\/th>\n R\u00e9sidu unique (colonne minimale)<\/th>\n Formule g\u00e9n\u00e9rale<\/th>\n <\/tr>\n <\/thead>\n
                            64\u00b7Um<\/sub> (s=6)<\/td>\n n \u2265 3<\/td>\n 21\u00b7Um<\/sub><\/strong> (mod 64\u00b7Um<\/sub>)<\/td>\n Xr,n<\/sub> \u2261 Um<\/sub>\u00b7(4n<\/sup>\u22121)\/3 = 21\u00b7Um<\/sub> (mod 64\u00b7Um<\/sub>) pour n\u22653<\/td>\n <\/tr>\n
                            128\u00b7Um<\/sub> (s=7)<\/td>\n n \u2265 4<\/td>\n 85\u00b7Um<\/sub><\/strong> (mod 128\u00b7Um<\/sub>)<\/td>\n Xr,n<\/sub> \u2261 Um<\/sub>\u00b7(4n<\/sup>\u22121)\/3 = 85\u00b7Um<\/sub> (mod 128\u00b7Um<\/sub>) pour n\u22654<\/td>\n <\/tr>\n <\/tbody>\n<\/table>\n

                            (On peut d\u00e9river de m\u00eame pour 32\u00b7Um<\/sub> (s=5), 256\u00b7Um<\/sub> (s=8), etc. Le r\u00e9sidu se stabilise d\u00e8s qu\u2019on d\u00e9passe le seuil d\u2019unicit\u00e9.)<\/p>\n\n

                            \n\n\n
                            \n\n \n \n \n <\/marker>\n <\/defs>\n \n \n \n \n <\/g>\n M = 64\u00b7U\u2098 (s=6)<\/text>\n C\u2080<\/text>C\u2081<\/text>C\u2082<\/text>C\u2083<\/text>C\u2084<\/text>C\u2085<\/text>\n \n \n \n \n \n \n classe unique qui \u00ab glisse \u00bb quand n \u2191<\/text>\n <\/g>\n \n \n \n \n <\/g>\n M = 128\u00b7U\u2098 (s=7)<\/text>\n C\u2080<\/text>C\u2081<\/text>C\u2082<\/text>C\u2083<\/text>C\u2084<\/text>C\u2085<\/text>\n \n \n \n \n \n \n \n unicit\u00e9 \u00e0 partir de C\u2084<\/text>\n <\/g>\n \n \n = classes distinctes dans la colonne<\/text>\n = autres fratries (m\u00eame colonne)<\/text>\n <\/g>\n<\/svg>\n<\/figure>\n\n\n
                            \n\n M = 64\u00b7U\u2098 (s=6) \u2014 r\u00e9sidu unique 21\u00b7U\u2098 (mod 64\u00b7U\u2098) d\u00e8s C\u2083<\/text>\n \n \n \n <\/g>\n C\u2080<\/text>C\u2081<\/text>C\u2082<\/text>C\u2083<\/text>C\u2084<\/text>C\u2085<\/text>\n \n \n \n \n \n \n \n \n R\u00e9sidu unique pour n \u2265 3 : 21\u00b7U\u2098 (mod 64\u00b7U\u2098)<\/text>\n <\/g>\n <\/g>\n<\/svg>\n<\/figure>\n\n\n\n\n

                            K. Tableau concret (encodage B|u<\/code>) et conversions en distances universelles<\/h2>\n\n

                            Encodage \u00ab bloc | unit\u00e9 \u00bb.<\/strong> Pour un impair \\(y\\), on \u00e9crit \\(y\\equiv\\{1,3,5,7\\}\\pmod 8\\) ; on pose l\u2019unit\u00e9 u<\/code> par 1\u21921, 2\u21923, 3\u21925, 4\u21927, et le bloc<\/strong> B<\/code>=\\(\\lceil\\frac{y}{8}\\rceil\\). Les racines minimales<\/strong> sont \\(u\\in\\{1,2,4\\}\\) (i.e. \\(y\\equiv1,3,7\\pmod8\\)). Le tableau compress\u00e9 d\u2019une racine minimale B|u<\/code> vers la colonne \\(C_n\\) (\\(n\\ge1\\)) est donn\u00e9 par<\/p>\n\n

                            \n\\[\nL_{r,n}=\\frac{(3r+1)4^n-1}{3},\\quad\nr=8(B-1)+\\mathrm{res}(u),\\ \\ \\mathrm{res}(1)=1,\\ \\mathrm{res}(2)=3,\\ \\mathrm{res}(4)=7.\n\\]\n<\/p>\n

                            Fait structurel<\/em> : pour tout \\(n\\ge1\\), \\(L_{r,n}\\equiv5\\pmod8\\) \u21d2 l\u2019unit\u00e9 affich\u00e9e en colonne \\(C_n\\) est toujours 3<\/strong>.<\/p>\n\n

                            K.1 \u2014 Extrait de tableau (blocs 1\u21925, colonnes C1..C6)<\/h3>\n\n \n \n \n
                            RacineMinima<\/th>C1<\/th>C2<\/th>C3<\/th>C4<\/th>C5<\/th>C6<\/th>\n <\/tr>\n <\/thead>\n
                            1|1<\/strong><\/td>1|3<\/td>3|3<\/td>11|3<\/td>43|3<\/td>171|3<\/strong><\/td>683|3<\/td><\/tr>\n
                            1|2<\/strong><\/td>2|3<\/td>7|3<\/td>27|3<\/td>107|3<\/strong><\/td>427|3<\/td>1707|3<\/td><\/tr>\n
                            1|4<\/strong><\/td>4|3<\/td>15|3<\/td>59|3<\/td>235|3<\/td>939|3<\/td>3755|3<\/td><\/tr>\n
                            2|1<\/strong><\/td>5|3<\/td>19|3<\/td>75|3<\/td>299|3<\/td>1195|3<\/td>4779|3<\/td><\/tr>\n
                            2|2<\/strong><\/td>6|3<\/td>23|3<\/td>91|3<\/td>363|3<\/td>1451|3<\/td>5803|3<\/td><\/tr>\n
                            2|4<\/strong><\/td>8|3<\/td>31|3<\/td>123|3<\/td>491|3<\/td>1963|3<\/td>7851|3<\/td><\/tr>\n
                            3|1<\/strong><\/td>9|3<\/td>35|3<\/td>139|3<\/td>555|3<\/td>2211|3<\/td>8851|3<\/td><\/tr>\n
                            3|2<\/strong><\/td>10|3<\/td>39|3<\/td>155|3<\/td>619|3<\/td>2475|3<\/td>9907|3<\/td><\/tr>\n
                            3|4<\/strong><\/td>12|3<\/td>47|3<\/td>187|3<\/td>747|3<\/td>2987|3<\/td>11947|3<\/td><\/tr>\n
                            4|1<\/strong><\/td>13|3<\/td>51|3<\/td>203|3<\/td>811|3<\/td>3243|3<\/td>12971|3<\/td><\/tr>\n
                            4|2<\/strong><\/td>14|3<\/td>55|3<\/td>219|3<\/td>875|3<\/td>3507|3<\/td>14035|3<\/td><\/tr>\n
                            4|4<\/strong><\/td>16|3<\/td>63|3<\/td>251|3<\/td>1003|3<\/td>4027|3<\/td>16123|3<\/td><\/tr>\n
                            5|1<\/strong><\/td>17|3<\/td>67|3<\/td>267|3<\/td>1067|3<\/td>4275|3<\/td>17107|3<\/td><\/tr>\n
                            5|2<\/strong><\/td>18|3<\/td>71|3<\/td>283|3<\/td>1131|3<\/td>4539|3<\/td>18171|3<\/td><\/tr>\n
                            5|4<\/strong><\/td>20|3<\/td>79|3<\/td>315|3<\/td>1259|3<\/td>5067|3<\/td>20259|3<\/td><\/tr>\n <\/tbody>\n<\/table>\n

                            Note.<\/em> Dans la copie manuscrite initiale, la cellule 1|1 @ C5<\/code> avait \u00e9t\u00e9 not\u00e9e 107|3 ; la valeur correcte est 171|3<\/strong>. La cellule 107|3<\/code> appara\u00eet bien, mais sur la ligne 1|2<\/code> \u00e0 C4<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n \n \n \n
                            Lien<\/th>\n RacineMinima<\/th>\n C1<\/th>\n C2<\/th>\n C3<\/th>\n C4<\/th>\n C5<\/th>\n C6<\/th>\n <\/tr>\n <\/thead>\n
                            1 (1|1)<\/td>1|1<\/strong><\/td>1|3<\/td>3|3<\/td>11|3<\/td>43|3<\/td>171|3<\/strong><\/td>683|3<\/td><\/tr>\n
                            5 (1|3)<\/td>1|2<\/strong><\/td>2|3<\/td>7|3<\/td>27|3<\/td>107|3<\/strong><\/td>427|3<\/td>1707|3<\/td><\/tr>\n
                            11 (2|2)<\/td>1|4<\/strong><\/td>4|3<\/td>15|3<\/td>59|3<\/td>235|3<\/td>939|3<\/td>3755|3<\/td><\/tr>\n\n
                            7 (1|4)<\/td>2|1<\/strong><\/td>5|3<\/td>19|3<\/td>75|3<\/td>299|3<\/td>1195|3<\/td>4779|3<\/td><\/tr>\n
                            17 (3|1)<\/td>2|2<\/strong><\/td>6|3<\/td>23|3<\/td>91|3<\/td>363|3<\/td>1451|3<\/td>5803|3<\/td><\/tr>\n
                            23 (3|4)<\/td>2|4<\/strong><\/td>8|3<\/td>31|3<\/td>123|3<\/td>491|3<\/td>1963|3<\/td>7851|3<\/td><\/tr>\n\n
                            13 (2|3)<\/td>3|1<\/strong><\/td>9|3<\/td>35|3<\/td>139|3<\/td>555|3<\/td>2211|3<\/td>8851|3<\/td><\/tr>\n
                            29 (4|3)<\/td>3|2<\/strong><\/td>10|3<\/td>39|3<\/td>155|3<\/td>619|3<\/td>2475|3<\/td>9907|3<\/td><\/tr>\n
                            35 (5|2)<\/td>3|4<\/strong><\/td>12|3<\/td>47|3<\/td>187|3<\/td>747|3<\/td>2987|3<\/td>11947|3<\/td><\/tr>\n\n
                            19 (3|2)<\/td>4|1<\/strong><\/td>13|3<\/td>51|3<\/td>203|3<\/td>811|3<\/td>3243|3<\/td>12971|3<\/td><\/tr>\n
                            41 (6|1)<\/td>4|2<\/strong><\/td>14|3<\/td>55|3<\/td>219|3<\/td>875|3<\/td>3507|3<\/td>14035|3<\/td><\/tr>\n
                            47 (6|4)<\/td>4|4<\/strong><\/td>16|3<\/td>63|3<\/td>251|3<\/td>1003|3<\/td>4027|3<\/td>16123|3<\/td><\/tr>\n\n
                            25 (4|1)<\/td>5|1<\/strong><\/td>17|3<\/td>67|3<\/td>267|3<\/td>1067|3<\/td>4275|3<\/td>17107|3<\/td><\/tr>\n
                            53 (7|3)<\/td>5|2<\/strong><\/td>18|3<\/td>71|3<\/td>283|3<\/td>1131|3<\/td>4539|3<\/td>18171|3<\/td><\/tr>\n
                            59 (8|2)<\/td>5|4<\/strong><\/td>20|3<\/td>79|3<\/td>315|3<\/td>1259|3<\/td>5067|3<\/td>20259|3<\/td><\/tr>\n <\/tbody>\n<\/table>\n\n

                            Check.<\/em> 1|2 \u2192 r=3 \u21d2 Lien=oddify(10)=5 \u21d2 5\u22615(mod 8)\u2192(1|3). 1|4 \u2192 r=7 \u21d2 Lien=oddify(22)=11 \u21d2 (2|2). 2|1 \u2192 r=9 \u21d2 Lien=oddify(28)=7 \u21d2 (1|4).<\/p>\n\n

                            Note.<\/em> Dans la copie manuscrite initiale, la cellule 1|1 @ C5<\/code> avait \u00e9t\u00e9 not\u00e9e 107|3 ; la valeur correcte est 171|3<\/strong>. La cellule 107|3<\/code> appara\u00eet bien, mais sur la ligne 1|2<\/code> \u00e0 C4<\/strong>.<\/p>\n\n

                            K.2 \u2014 Conversion \u00ab B|u \u00bb \u2194 valeurs et distances universelles<\/h3>\n
                              \n
                            • Depuis B|u<\/code> vers la valeur compress\u00e9e<\/strong> : \\(r=8(B-1)+\\mathrm{res}(u)\\), puis \\(y_{n}=L_{r,n}\\). \u00c0 l\u2019\u00e9chelle \\(F_m\\), \\(x^{(m)}_{n}=U_m\\,y_{n}\\) avec \\(U_m=2^{m-1}\\).<\/li>\n
                            • Depuis une valeur vers B|u<\/code><\/strong> : \\(u\\) est d\u00e9termin\u00e9 par \\(y\\bmod8\\in\\{1,3,5,7\\}\\), et \\(B=\\lceil\\frac{y}{8}\\rceil\\).<\/li>\n
                            • Distance horizontale (colonnes)<\/strong> : l\u2019indice<\/em> de colonne est \\(n\\). Le saut \\(C_n\\to C_{n+1}\\) r\u00e9alise\n \\[\n \\Delta x=U_m\\,4^n(3r+1)\\quad(\\text{exact, en unit\u00e9s universelles}).\n \\]\n En \u00ab distance de colonne \u00bb, c\u2019est simplement +1<\/strong> dans \\(n\\).<\/li>\n
                            • Distance verticale (lignes, minimal-only)<\/strong> : indexez les racines minimales par \\(J(B,u)=3(B-1)+\\iota(u)\\) avec \\(\\iota(1)=1,\\ \\iota(2)=2,\\ \\iota(4)=3\\). Alors\n \\[\n d_{\\text{lignes}}\\big((B,u),(B’,u’)\\big)=|J(B,u)-J(B’,u’)|.\n \\]\n La distance m\u00e9trique<\/em> correspondante vaut\n \\[\n |x-x’|=U_m\\,\\big|\\,8(B’-B)+\\mathrm{res}(u’)-\\mathrm{res}(u)\\,\\big|.\n \\]\n <\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n\n

                              L. Lien r<\/em> \u2194 racine minimale B|u<\/code> : coalescences \u00ab 2\u21921 \u00bb (preuve 2-adique)<\/h2>\n\n

                              Encodage.<\/strong> Toute racine minimale s\u2019\u00e9crit\n\\(r=8(B-1)+\\mathrm{res}(u)\\) avec u\u2208{1,2,4}<\/code> et\n\\(\\mathrm{res}(1)=1,\\ \\mathrm{res}(2)=3,\\ \\mathrm{res}(4)=7\\).\nLe \u00ab lien \u00bb suivant dans la dynamique compress\u00e9e est\n\\(T(r)=\\frac{3r+1}{2^{\\nu_2(3r+1)}}\\) (acc\u00e9l\u00e9r\u00e9e Collatz).<\/p>\n\n

                              Valuations cl\u00e9s.<\/strong> Pour \\(r\\equiv1,3,7\\pmod 8\\) on a\n\\(\\nu_2(3r+1)=2,1,1\\) respectivement.\nAutrement dit : les classes u=2<\/code> (r\u00e9sidu 3) et u=4<\/code> (r\u00e9sidu 7)\ndivisent par 2 (m\u00eame puissance 1), alors que u=1<\/code> (r\u00e9sidu 1) divise par 4.<\/p>\n\n

                              L.1 \u2014 R\u00e8gles exactes \\( (B,u)\\mapsto(B’,u’) \\)<\/h3>\n

                              \u00c9crivons \\(r=8(B-1)+\\mathrm{res}(u)\\) et \\(r’=T(r)\\).\nAlors :<\/p>\n\n

                                \n
                              • Branche u=2<\/code> (r\u22613 mod 8, k=1)<\/b> :\n
                                \n Si \\(B\\) est pair<\/em> : \\(B’= \\frac{3B}{2}\\) et \\(u’=1\\).\n Si \\(B\\) est impair<\/em> : \\(B’= \\frac{3B-1}{2}\\) et \\(u’=3\\) (r\u00e9sidu 5, non-minimal).\n <\/div>\n <\/li>\n
                              • Branche u=4<\/code> (r\u22617 mod 8, k=1)<\/b> :\n
                                \n Si \\(B\\) est pair<\/em> : \\(B’= \\frac{3B}{2}\\) et \\(u’=4\\).\n Si \\(B\\) est impair<\/em> : \\(B’= \\frac{3B+1}{2}\\) et \\(u’=2\\).\n <\/div>\n <\/li>\n
                              • Branche u=1<\/code> (r\u22611 mod 8, k=2)<\/b> :\n
                                \n \\(r’=\\frac{3r+1}{4}=6B-5\\). (Pas de coalescence avec un autre u<\/code> dans le paquet de 4.)\n <\/div>\n <\/li>\n<\/ul>\n\n
                                \n

                                Cons\u00e9quence \u00ab coalescences 2\u21921 \u00bb.<\/b>\n Dans chaque paquet de 4 liens (i.e. quand \\(B\\) avance d\u2019une unit\u00e9), on observe :<\/p>\n

                                  \n
                                • si B est pair<\/b> : les deux racines (B,2)<\/code> et (B,4)<\/code> aboutissent au m\u00eame bloc<\/em> \\(B’=\\frac{3B}{2}\\) (les unit\u00e9s diff\u00e8rent : \\(u’=1\\) vs \\(u’=4\\)) ;<\/li>\n
                                • si B est impair<\/b> : les images de (B,2)<\/code> et (B,4)<\/code> tombent sur des blocs adjacents<\/em>,\n \\(B’=\\frac{3B-1}{2}\\) et \\(B’=\\frac{3B+1}{2}\\).<\/li>\n <\/ul>\n

                                  Ind\u00e9pendant de \\(m\\)<\/i> : ce motif vit dans la couche \u00ab compress\u00e9e \u00bb sur \\(y\\), donc il est valable pour toutes les variantes \u00ab +1,+2,+4,+8,\\dots \u00bb (sur \\(S_m\\), \\(x=2^{m-1}y\\)).<\/p>\n<\/div>\n\n

                                  L.2 \u2014 Exemple chiffr\u00e9 (variante \u00ab +4 \u00bb, m=3)<\/h3>\n

                                  On illustre avec \\(U_3=4\\) (mais les \u00e9quations se font sur \\(r\\), donc sans<\/em> d\u00e9pendre de \\(m\\)).<\/p>\n\n\n \n \n \n
                                  D\u00e9part (B|u)<\/th>\n r<\/th>\n k=\u03bd\u2082(3r+1)<\/th>\n r’ = (3r+1)\/2^k<\/th>\n Arriv\u00e9e (B’|u’)<\/th>\n R\u00e8gle K.1<\/th>\n <\/tr>\n <\/thead>\n
                                  2|2<\/b><\/td>11<\/td>1<\/td>17<\/td>3|1<\/b><\/td>B pair \u2192 \\(3B\/2,\\,u’=1\\)<\/td><\/tr>\n
                                  2|4<\/b><\/td>15<\/td>1<\/td>23<\/td>3|4<\/b><\/td>B pair \u2192 \\(3B\/2,\\,u’=4\\)<\/td><\/tr>\n
                                  3|2<\/b><\/td>19<\/td>1<\/td>29<\/td>4|3<\/b><\/td>B impair \u2192 \\((3B-1)\/2,\\,u’=3\\)<\/td><\/tr>\n
                                  3|4<\/b><\/td>23<\/td>1<\/td>35<\/td>5|2<\/b><\/td>B impair \u2192 \\((3B+1)\/2,\\,u’=2\\)<\/td><\/tr>\n
                                  4|2<\/b><\/td>27<\/td>1<\/td>41<\/td>6|1<\/b><\/td>B pair \u2192 \\(3B\/2,\\,u’=1\\)<\/td><\/tr>\n
                                  4|4<\/b><\/td>31<\/td>1<\/td>47<\/td>6|4<\/b><\/td>B pair \u2192 \\(3B\/2,\\,u’=4\\)<\/td><\/tr>\n <\/tbody>\n<\/table>\n\n

                                  Lecture.<\/em> Pour B pair<\/b> (ici 2 et 4), les deux unit\u00e9s u=2<\/code> et u=4<\/code> coalescent<\/b> vers le m\u00eame<\/em> bloc \\(B’=\\frac{3B}{2}\\).\nPour B impair<\/b> (ici 3), elles tombent sur deux blocs adjacents<\/em> \\(B’=\\frac{3B-1}{2}\\) et \\(B’=\\frac{3B+1}{2}\\).<\/p>\n\n

                                  L.3 \u2014 Esquisse de preuve (cas u=2<\/code> et u=4<\/code>)<\/h3>\n

                                  u=2<\/b>. Poser \\(r=8(B-1)+3=8B-5\\).\nAlors \\(r’=\\frac{3r+1}{2}=12B-7\\).\nR\u00e9duction mod 8 : \\(r’\\equiv 4B-7\\pmod 8\\), donc \\(u’=1\\) si \\(B\\) est pair, \\(u’=3\\) si \\(B\\) est impair.\nL\u2019\u00e9criture \\(r’=8(B’-1)+\\mathrm{res}(u’)\\) donne\n\\(B’=\\frac{3B}{2}\\) (B pair) et \\(B’=\\frac{3B-1}{2}\\) (B impair).<\/p>\n\n

                                  u=4<\/b>. Poser \\(r=8(B-1)+7=8B-1\\).\nAlors \\(r’=\\frac{3r+1}{2}=12B-1\\).\nR\u00e9duction mod 8 : \\(r’\\equiv 4B-1\\pmod 8\\), donc \\(u’=4\\) si \\(B\\) est pair, \\(u’=2\\) si \\(B\\) est impair.\nOn obtient \\(B’=\\frac{3B}{2}\\) (B pair) et \\(B’=\\frac{3B+1}{2}\\) (B impair).<\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

                                  Variante unifi\u00e9e Fm, pivot 2m\u22121 et conjugaison vers Collatz Pour \\(m \\ge 1\\), on d\u00e9finit : $$ F_m(x)= \\begin{cases} \\displaystyle \\frac{x}{2}, & \\nu_2(x)\\ge m,\\\\[6pt] \\displaystyle 3x+2^{\\,m-1}, & \\nu_2(x)\\le m-1, \\end{cases} $$ Lemme (conjugaison sur \\(S_m\\)). En posant \\(S_m=2^{\\,m-1}\\mathbb{Z}\\) et \\(x=2^{\\,m-1}y\\), on a $$ \\frac{F_m(2^{\\,m-1}y)}{2^{\\,m-1}}= \\begin{cases} \\displaystyle \\frac{y}{2}, & y \\text{ pair},\\\\[6pt] \\displaystyle 3y+1, & y \\text{ […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"saved_in_kubio":false,"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[436],"class_list":["post-56470","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-non-classe","tag-math"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/56470","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=56470"}],"version-history":[{"count":25,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/56470\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":56562,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/56470\/revisions\/56562"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=56470"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=56470"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=56470"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}