But.<\/strong> Mettre en parall\u00e8le la variante \u00c9tape compress\u00e9e (\u00e9monder les 3)<\/strong> : on \u00e9crit Sur les impairs, la version compress\u00e9e est Encadr\u00e9 \u2014 Lecture via l\u2019automate U<\/em>fin<\/sub> et le min-mean<\/strong>. R\u00e9sum\u00e9.<\/em> La variante donne une preuve-\u00e9cole (seuil <1) et la feuille de route pour la classique : tout revient \u00e0 une contrainte de moyenne<\/strong> sur $latex \\nu_2(3x+1)$. C\u2019est exactement ce que mesurent tes rapports Variante \u00ab \/3 sinon *2\u22121 \u00bb vs Collatz classique : \u00e9quations de cycle et seuils critiques But. Mettre en parall\u00e8le la variante T(n)=n\/3 si 3|n, sinon T(n)=2n\u22121 (o\u00f9 l\u2019on prouve qu\u2019il n\u2019y a aucun cycle non trivial), et la Collatz classique compress\u00e9e (o\u00f9 il faut certifier une marge sur la moyenne des valuations). Les deux […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[436],"class_list":["post-56502","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-non-classe","tag-math"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/56502","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=56502"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/56502\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":56504,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/56502\/revisions\/56504"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=56502"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=56502"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=56502"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}T(n)=n\/3<\/code> si 3|n<\/code>, sinon T(n)=2n\u22121<\/code> (o\u00f9 l\u2019on prouve qu\u2019il n\u2019y a aucun<\/em> cycle non trivial), et la Collatz classique compress\u00e9e (o\u00f9 il faut certifier une marge<\/em> sur la moyenne des valuations). Les deux se lisent \u00e0 travers la m\u00eame \u00ab \u00e9quation de cycle \u00bb, mais avec des seuils invers\u00e9s.<\/p> 1) Variante \u00ab \/3 ou *2\u22121 \u00bb : pas de cycles (preuve courte)<\/h3>
$latex \\displaystyle n_{i+1}=\\frac{2n_i-1}{3^{\\kappa_i}},\\qquad \\kappa_i:=\\nu_3(2n_i-1)\\ge 1.$
En supposant un cycle de longueur $latex s$ (i.e. $latex n_s=n_0$) et en multipliant, on obtient l\u2019\u00e9quation de cycle<\/em>
$latex \\displaystyle (2^{\\,s}-3^{\\,K})\\,n_0\\;=\\;\\sum_{j=0}^{s-1} 2^{\\,s-1-j}\\,3^{\\,\\kappa_0+\\cdots+\\kappa_{j-1}}\\;>\\;0,\\qquad K:=\\sum_{i=0}^{s-1}\\kappa_i.$
Donc $latex 2^{\\,s}>3^{\\,K}$ et, en divisant par $latex s$ :
$latex \\displaystyle \\frac{K}{s}\\;<\\;\\log_3 2\\;\\approx\\;0{,}63093.$
Mais comme chaque $latex \\kappa_i\\ge 1$, on a $latex K\/s\\ge 1$ : contradiction<\/strong>. Aucun cycle non trivial n\u2019existe (seul 1 est fixe).<\/p> 2) Collatz classique (impairs compress\u00e9s) : ce qu\u2019il faut prouver<\/h3>
$latex \\displaystyle x_{i+1}=\\frac{3x_i+1}{2^{k_i}},\\qquad k_i:=\\nu_2(3x_i+1)\\ge 1.$
En supposant un cycle de longueur $latex s$ (i.e. $latex x_s=x_0$), l\u2019\u00e9quation de cycle<\/em> analogue donne
$latex \\displaystyle (2^{\\,K}-3^{\\,s})\\,x_0\\;=\\;\\sum_{j=0}^{s-1} 3^{\\,j}\\,2^{\\,K-(k_0+\\cdots+k_j)}\\;>\\;0,\\qquad K:=\\sum_{i=0}^{s-1}k_i.$
Donc $latex 2^{\\,K}>3^{\\,s}$ et
$latex \\displaystyle \\frac{K}{s}\\;>\\;\\log_2 3\\;\\approx\\;1{,}5849625.$
Or on ne sait a priori que $latex k_i\\ge 1$ (donc $latex K\/s\\ge 1$), ce qui est insuffisant<\/em>. Toute preuve<\/strong> d\u2019absence de cycles doit garantir partout<\/em> une marge $latex \\underline{k}>\\log_2 3$ sur la moyenne des $latex k_i$ au sein de toute composante candidate.<\/p> Probl\u00e8me<\/th> Bloc compress\u00e9<\/th> Valuation par pas<\/th> Seuil critique<\/th> Conclusion<\/th><\/tr><\/thead> Variante \/3<\/code> ou *2\u22121<\/code><\/td>$latex n\\mapsto\\dfrac{2n-1}{3^{\\kappa}}$<\/td> $latex \\kappa=\\nu_3(2n-1)\\ge 1$<\/td> $latex \\log_3 2\\approx 0{,}6309$<\/td> Impossible d\u2019avoir $latex K\/s<\\log_3 2$ alors que $latex K\/s\\ge 1$ \u21d2 pas de cycles<\/strong><\/td><\/tr> Collatz classique (impairs)<\/td> $latex x\\mapsto\\dfrac{3x+1}{2^{k}}$<\/td> $latex k=\\nu_2(3x+1)\\ge 1$<\/td> $latex \\log_2 3\\approx 1{,}585$<\/td> Il faut prouver $latex \\underline{k}>\\log_2 3$ dans toute CFC<\/em> \u21d2 pas de cycles<\/strong><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>
Dans l\u2019automate (\u00e9tats $latex (\\alpha\\bmod 2^m)$ impairs, $latex (\\beta\\bmod 3^b)$, phases MCC0\/1\/2), chaque ar\u00eate porte le poids $latex k=\\nu_2(3y+1)$. Pour une composante fortement connexe (CFC), on calcule la moyenne minimale<\/em> $latex \\mu_{\\min}$ des poids des cycles (Karp\/Howard). Si dans chaque CFC<\/strong> on a $latex \\mu_{\\min}>\\log_2 3$, alors aucun cycle Collatz non trivial<\/em> ne peut exister dans le graphe (et, via la couverture inverse\/BFS + barri\u00e8res, nulle part ailleurs).<\/p><\/div><\/div> 3) Ce que la variante nous \u201censeigne\u201d pour la classique<\/h3>
min-mean<\/code> sur Ufin<\/sub>.<\/p> ","protected":false},"excerpt":{"rendered":"