But.<\/strong> Mettre en parall\u00e8le la variante \u00c9tape compress\u00e9e (\u00e9monder les 3)<\/strong> : on \u00e9crit Sur les impairs, la version compress\u00e9e est Encadr\u00e9 \u2014 Lecture via l\u2019automate U<\/em>fin<\/sub> et le min-mean<\/strong>. R\u00e9sum\u00e9.<\/em> La variante donne une preuve-\u00e9cole (seuil <1) et la feuille de route pour la classique : tout revient \u00e0 une contrainte de moyenne<\/strong> sur \\(\\nu_2(3x+1)\\). C\u2019est exactement ce que mesurent tes rapports Variante \u00ab \/3 sinon *2\u22121 \u00bb vs Collatz classique : \u00e9quations de cycle et seuils critiques But. Mettre en parall\u00e8le la variante T(n)=n\/3 si 3|n, sinon T(n)=2n\u22121 (o\u00f9 l\u2019on prouve qu\u2019il n\u2019y a aucun cycle non trivial), et la Collatz classique compress\u00e9e (o\u00f9 il faut certifier une marge sur la moyenne des valuations). Les deux […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"saved_in_kubio":false,"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[436],"class_list":["post-56502","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-non-classe","tag-math"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/56502","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=56502"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/56502\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":56504,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/56502\/revisions\/56504"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=56502"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=56502"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=56502"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}T(n)=n\/3<\/code> si 3|n<\/code>, sinon T(n)=2n\u22121<\/code> (o\u00f9 l\u2019on prouve qu\u2019il n\u2019y a aucun<\/em> cycle non trivial), et la Collatz classique compress\u00e9e (o\u00f9 il faut certifier une marge<\/em> sur la moyenne des valuations). Les deux se lisent \u00e0 travers la m\u00eame \u00ab \u00e9quation de cycle \u00bb, mais avec des seuils invers\u00e9s.<\/p> 1) Variante \u00ab \/3 ou *2\u22121 \u00bb : pas de cycles (preuve courte)<\/h3>
\\(\\displaystyle n_{i+1}=\\frac{2n_i-1}{3^{\\kappa_i}},\\qquad \\kappa_i:=\\nu_3(2n_i-1)\\ge 1.\\)
En supposant un cycle de longueur \\(s\\) (i.e. \\(n_s=n_0\\)) et en multipliant, on obtient l\u2019\u00e9quation de cycle<\/em>
\\(\\displaystyle (2^{\\,s}-3^{\\,K})\\,n_0\\;=\\;\\sum_{j=0}^{s-1} 2^{\\,s-1-j}\\,3^{\\,\\kappa_0+\\cdots+\\kappa_{j-1}}\\;>\\;0,\\qquad K:=\\sum_{i=0}^{s-1}\\kappa_i.\\)
Donc \\(2^{\\,s}>3^{\\,K}\\) et, en divisant par \\(s\\) :
\\(\\displaystyle \\frac{K}{s}\\;<\\;\\log_3 2\\;\\approx\\;0{,}63093.[\/latex]
Mais comme chaque [latex]\\kappa_i\\ge 1\\), on a \\(K\/s\\ge 1\\) : contradiction<\/strong>. Aucun cycle non trivial n\u2019existe (seul 1 est fixe).<\/p> 2) Collatz classique (impairs compress\u00e9s) : ce qu\u2019il faut prouver<\/h3>
\\(\\displaystyle x_{i+1}=\\frac{3x_i+1}{2^{k_i}},\\qquad k_i:=\\nu_2(3x_i+1)\\ge 1.\\)
En supposant un cycle de longueur \\(s\\) (i.e. \\(x_s=x_0\\)), l\u2019\u00e9quation de cycle<\/em> analogue donne
\\(\\displaystyle (2^{\\,K}-3^{\\,s})\\,x_0\\;=\\;\\sum_{j=0}^{s-1} 3^{\\,j}\\,2^{\\,K-(k_0+\\cdots+k_j)}\\;>\\;0,\\qquad K:=\\sum_{i=0}^{s-1}k_i.\\)
Donc \\(2^{\\,K}>3^{\\,s}\\) et
\\(\\displaystyle \\frac{K}{s}\\;>\\;\\log_2 3\\;\\approx\\;1{,}5849625.\\)
Or on ne sait a priori que \\(k_i\\ge 1\\) (donc \\(K\/s\\ge 1\\)), ce qui est insuffisant<\/em>. Toute preuve<\/strong> d\u2019absence de cycles doit garantir partout<\/em> une marge \\(\\underline{k}>\\log_2 3\\) sur la moyenne des \\(k_i\\) au sein de toute composante candidate.<\/p> Probl\u00e8me<\/th> Bloc compress\u00e9<\/th> Valuation par pas<\/th> Seuil critique<\/th> Conclusion<\/th><\/tr><\/thead> Variante \/3<\/code> ou *2\u22121<\/code><\/td>\\(n\\mapsto\\dfrac{2n-1}{3^{\\kappa}}\\)<\/td> \\(\\kappa=\\nu_3(2n-1)\\ge 1\\)<\/td> \\(\\log_3 2\\approx 0{,}6309\\)<\/td> Impossible d\u2019avoir \\(K\/s<\\log_3 2[\/latex] alors que [latex]K\/s\\ge 1[\/latex] \u21d2 pas de cycles<\/strong><\/td><\/tr> Collatz classique (impairs)<\/td> [latex]x\\mapsto\\dfrac{3x+1}{2^{k}}\\)<\/td> \\(k=\\nu_2(3x+1)\\ge 1\\)<\/td> \\(\\log_2 3\\approx 1{,}585\\)<\/td> Il faut prouver \\(\\underline{k}>\\log_2 3\\) dans toute CFC<\/em> \u21d2 pas de cycles<\/strong><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>
Dans l\u2019automate (\u00e9tats \\((\\alpha\\bmod 2^m)\\) impairs, \\((\\beta\\bmod 3^b)\\), phases MCC0\/1\/2), chaque ar\u00eate porte le poids \\(k=\\nu_2(3y+1)\\). Pour une composante fortement connexe (CFC), on calcule la moyenne minimale<\/em> \\(\\mu_{\\min}\\) des poids des cycles (Karp\/Howard). Si dans chaque CFC<\/strong> on a \\(\\mu_{\\min}>\\log_2 3\\), alors aucun cycle Collatz non trivial<\/em> ne peut exister dans le graphe (et, via la couverture inverse\/BFS + barri\u00e8res, nulle part ailleurs).<\/p><\/div><\/div> 3) Ce que la variante nous \u201censeigne\u201d pour la classique<\/h3>
min-mean<\/code> sur Ufin<\/sub>.<\/p> ","protected":false},"excerpt":{"rendered":"