{"id":56515,"date":"2025-10-07T13:20:55","date_gmt":"2025-10-07T12:20:55","guid":{"rendered":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/?p=56515"},"modified":"2025-10-08T13:33:00","modified_gmt":"2025-10-08T12:33:00","slug":"fr-approche-par-racine-minimal","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/fr-approche-par-racine-minimal\/","title":{"rendered":"FR – Approche par racine minimal"},"content":{"rendered":"\n\n\n\n\n\n

Retours \u22121\/4<\/code>, squelette MCC et \u00ab distance \u00bb : pourquoi c\u2019est utile (et comment s\u2019en servir)<\/h2>\n\n\n\n

Id\u00e9e g\u00e9n\u00e9rale.<\/strong> Les retours (y\u22121)\/4<\/code> ne sont pas la r\u00e8gle Collatz compress\u00e9e, mais l\u2019inverse<\/em> du pas fratrie NE : x\u21a64x+1<\/code>. Ils permettent de remonter le squelette MCC jusqu\u2019\u00e0 la racine minimale et fournissent des congruences fortes<\/strong> modulo \\(4^{j}\\) qui forcent des poids 2-adiques \u00e9lev\u00e9s pour \\(3y+1\\). Cela m\u00e8ne \u00e0 des barri\u00e8res<\/em> utiles pour l\u2019analytique et pour les certificats min\u2013mean (Karp\/Howard).<\/p>\n\n\n\n

\n

TL;DR (pense-b\u00eate).<\/strong>
\n Pour une \u00ab distance lin\u00e9aire \u00bb \\(D\\) (paire) :
\n r_- = 2D \u2212 1<\/code>, Y_- = 3D \u2212 1<\/code> (classe \\(\u22613\\) ou \\(7\\) mod 8) ;
\n r_+ = 4D + 1<\/code>, Y_+ = 3D + 1<\/code> (classe \\(\u22611\\) mod 8).
\n Les j-retours<\/em> (\u22121\/4<\/code> successifs) correspondent \u00e0 \\(y \\equiv \\frac{4^j-1}{3}\\ (\\mathrm{mod}\\ 4^j)\\) et forcent \\(\\nu_2(3y+1) \\ge 2j\\).<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

1) Rappels MCC : fratries, squelette et \u00ab distance \u00bb<\/h3>\n\n\n\n

Sur les impairs, chaque case du tableau (rep\u00e8re MCC) s\u2019\u00e9crit\n\\[\nL_{r,n}=\\frac{(3r+1)4^{\\,n}-1}{3}=r\\,4^{\\,n}+\\frac{4^{\\,n}-1}{3}.\n\\]\nLe pas fratrie (diagonale NE) est \\(L_{r,n+1}=4L_{r,n}+1\\). Son inverse est le retour<\/em> \\(L_{r,n-1}=(L_{r,n}-1)\/4\\). R\u00e9p\u00e9ter \\(-1\/4\\) jusqu\u2019au non-entier ram\u00e8ne \u00e0 la racine \\(r\\).<\/p>\n\n\n\n

Vocabulaire.<\/strong> Pour rester align\u00e9s avec l\u2019export, on appelle ici \u00ab distance lin\u00e9aire<\/em> \u00bb \\(D\\) (entier pair<\/em> dans les tableaux), \u00e0 ne pas confondre avec la profondeur de colonne \\(4^d\\).<\/p>\n\n\n\n

2) Distance \\(D\\) : deux racines minimales et deux liens<\/h3>\n\n\n\n

Pour une distance paire \\(D\\), il y a exactement deux<\/em> racines minimales compatibles, donnant deux \u00ab branches<\/strong> \u00bb :<\/p>\n\n\n\n

    \n
  • Branche \u2212<\/strong> (inverse via \\(F(y)=(y+1)\/2\\)) : \\(r_-=2D-1\\) (toujours \\(\u22613,7\\pmod 8\\)) et son lien \\(Y_-=\\mathrm{oddize}(3r_-+1)=3D-1\\).<\/li>\n
  • Branche +<\/strong> (parent\u00e9 \u00ab fratrie \u00bb) : \\(r_+=4D+1\\) (toujours \\(\u22611\\pmod 8\\)) et son lien \\(Y_+=\\mathrm{oddize}(3r_+ +1)=3D+1\\).<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n

    Exemples.<\/em> \\(D=10\\Rightarrow (r_-,Y_-)=(19,29),\\ (r_+,Y_+)=(41,31)\\). \\(D=14\\Rightarrow (27,41)\\) et \\((57,43)\\). \\(D=16\\Rightarrow (31,47)\\) et \\((65,49)\\).<\/p>\n\n\n\n

    \n \n
    D (pair)<\/th>r\u2212<\/sub>=2D\u22121<\/th>Y\u2212<\/sub>=3D\u22121<\/th>r+<\/sub>=4D+1<\/th>Y+<\/sub>=3D+1<\/th><\/tr>\n<\/thead>
    10<\/td>19<\/td>29<\/td>41<\/td>31<\/td><\/tr>\n
    14<\/td>27<\/td>41<\/td>57<\/td>43<\/td><\/tr>\n
    16<\/td>31<\/td>47<\/td>65<\/td>49<\/td><\/tr>\n<\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

    3) Lemme \u00ab j-retours \u00bb : congruence et poids 2-adique<\/h3>\n\n\n\n

    Lemme.<\/strong> On peut appliquer \\(-1\/4\\) exactement \\(j\\) fois \u00e0 un impair \\(y\\) ssi\n\\[\ny \\equiv \\frac{4^{j}-1}{3} \\pmod{4^{j}}.\n\\]\nDans ce cas, \\(3y+1=4^{j}(1+3t)\\) et donc \\(\\nu_2(3y+1)\\ge 2j\\).<\/p>\n\n\n\n

    Cons\u00e9quence.<\/em> Les classes \\(j\\) (ex. 1, 5, 21, 85 mod \\(4^j\\)) sont des barri\u00e8res hi\u00e9rarchiques<\/strong> : les traverser force des poids 2-adiques \u00e9lev\u00e9s. C\u2019est la congruence \u00ab plus forte \u00bb qui manque si l\u2019on reste au seul modulo 8.<\/p>\n\n\n\n

    4) Lien direct \u00ab squelette \u2192 poids \u00bb<\/h3>\n\n\n\n

    Pour tout \\(L_{r,n}\\),\n\\[\n3L_{r,n}+1=(3r+1)\\,4^{n}\\quad\\Rightarrow\\quad k=\\nu_2(3L_{r,n}+1)=2n+\\nu_2(3r+1).\n\\]\nAinsi, sur le squelette, le poids<\/em> du pas compress\u00e9 est d\u00e9terministe<\/strong> \u00e0 partir de \\((r,n)\\) : le rang \\(n\\) compte pour \\(2n\\) et la racine ajoute l\u2019offset \\(\\nu_2(3r+1)\\).<\/p>\n\n\n\n

    5) Pas compress\u00e9 (rappel mod 8)<\/h3>\n\n\n\n
      \n
    • \\(y\\equiv 3,7\\ (\\mathrm{mod}\\ 8)\\) : \\(F(y)=\\frac{3y+1}{2}=y+\\frac{y+1}{2}\\).<\/li>\n
    • \\(y\\equiv 1\\ (\\mathrm{mod}\\ 8)\\) : \\(F(y)=\\frac{3y+1}{4}=y-\\frac{y-1}{4}\\).<\/li>\n
    • \\(y\\equiv 5\\ (\\mathrm{mod}\\ 8)\\) : \\(3y+1\\) divisible par \\(8\\) (souvent plus) : faire \\(z\\leftarrow y-\\frac{y-1}{4}\\) puis diviser \\(z\\) par \\(2\\) jusqu\u2019\u00e0 l\u2019impair.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n

      Note.<\/strong> Les retours \\(-1\/4\\) servent \u00e0 naviguer<\/em> dans la fratrie (g\u00e9om\u00e9trie MCC), pas \u00e0 it\u00e9rer Collatz directement ; projet\u00e9e sur le squelette, l\u2019ar\u00eate est la m\u00eame (NE) apr\u00e8s l\u2019effondrement vertical (divisions par 2).<\/p>\n\n\n\n

      6) Pourquoi c\u2019est utile pour la preuve<\/h3>\n\n\n\n
        \n
      • Barri\u00e8res empil\u00e9es.<\/strong> Si une trajectoire visite la couche \\(j\\ge J\\) avec fr\u00e9quence \\(p\\), alors \\(\\overline{k}\\ge 2J\\,p\\). D\u00e8s que \\(2J\\,p>\\log_2 3\\approx 1.58496\\), tout cycle est impossible.<\/li>\n
      • Automate plus tranchant.<\/strong> Dans un NFA \u00ab coh\u00e9rent \u00bb, taguer\/forcer les classes \\(j\\) fait monter la moyenne min \\(\\mu_{\\min}\\) au-dessus de \\(\\log_2 3\\) plus vite qu\u2019avec une seule barri\u00e8re (ex. \\(21\\ \\mathrm{mod}\\ 64\\)).<\/li>\n
      • Squelette d\u00e9terministe.<\/strong> Sur \\((r,n)\\), les poids sont connus a priori<\/em> : pruning des \u00e9tats trop faibles et bornes inf\u00e9rieures analytiques de \\(\\mu_{\\min}\\) avant l\u2019exploration compl\u00e8te.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n

        7) Encadr\u00e9 \u00ab impl\u00e9mentation \u00bb<\/h3>\n\n\n\n

        D\u00e9tection du niveau \\(j\\)<\/strong> (nombre de retours \\(-1\/4\\) possibles) :<\/p>\n\n\n\n

        \/\/ j = max { t \u2265 0 : y \u2261 (4^t \u2212 1)\/3 (mod 4^t) }\n\/\/ \u00e9quivalent : while ((y \u2212 1) % 4 == 0) { y = (y \u2212 1)\/4; j++; }\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
        Pas compress\u00e9<\/strong> (impairs uniquement) :<\/p>\n\n\n\n
        z = 3*y + 1;\n\/\/ diviser z par 2 jusqu'\u00e0 l'impair\nwhile ((z & 1) == 0) z >>= 1;\nreturn z;  \/\/ = oddize(3y+1)\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
        Pont squelette \u2192 poids.<\/strong> Si l\u2019\u00e9tat est \\((r,n)\\), alors k = 2n + v2(3r+1)<\/code> sans calculer 3y+1<\/code> au vol.<\/p>\n\n\n\n
        8) FAQ rapide<\/h3>\n\n\n\n
        \u00ab Les \u22121\/4 reproduisent-ils Collatz ? \u00bb<\/strong> Non. Ce sont des retours de fratrie (g\u00e9om\u00e9trie), pas la dynamique compress\u00e9e. Projet\u00e9 sur le squelette, l\u2019arc est la m\u00eame NE apr\u00e8s divisions par 2.<\/p>\n\n\n\n
        \u00ab En quoi est-ce nouveau vs \\(21\\ \\mathrm{mod}\\ 64\\) ? \u00bb<\/strong> On peut empiler<\/em> les classes \\(j\\) (mod \\(4^{j}\\)) et obtenir des poids garantis \\(\\ge 2j\\), ce qui fait grimper les moyennes plus vite et simplifie pruning\/certificats.<\/p>\n\n\n\n
        \u00ab O\u00f9 intervient la distance \\(D\\) ? \u00bb<\/strong> Elle indexe un doublet canonique de racines minimales : \\(r_-=2D-1\\) et \\(r_+=4D+1\\), avec liens \\(Y_-=3D-1\\) et \\(Y_+=3D+1\\). C\u2019est le point de jonction entre ta m\u00e9trique pratique et la g\u00e9om\u00e9trie MCC.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
        Conditions n\u00e9cessaires d\u2019un cycle non trivial (compress\u00e9 impair)<\/h2>\n\n\n\n
        Cadre.<\/strong> On travaille en compress\u00e9 impair, avec pas \\(\\ (3y+1)\/2^{k_i}\\) et la g\u00e9om\u00e9trie MCC (distances paires \\(D\\) et branches $\\pm$). Les conditions ci-dessous sont n\u00e9cessaires \u00e0 l\u2019existence d\u2019un cycle non trivial.<\/p>\n\n\n\n
        1) Budget 2-adique exact<\/h3>\n\n\n\n
        \\(\\displaystyle \\prod_{i=1}^{E}\\frac{3}{2^{k_i}}=1 \\iff \\sum_{i=1}^{E}k_i \\;=\\;E\\,\\log_2 3 \\;=:\\; E\\,\\theta,\\quad \\theta\\approx 1.5849625.\\)
        \nAutrement dit, la moyenne<\/em> doit \u00eatre \\(\\bar k=\\theta\\) exactement.<\/p>\n\n\n\n
        2) Fermeture g\u00e9om\u00e9trique (distances \\(D\\))<\/h3>\n\n\n\n
        Pour une distance paire \\(D\\), il y a deux racines minimales compatibles (donc deux branches) :<\/p>\n\n\n\n
          \n
        • Branche \\((-)\\)<\/strong> (retour inverse via \\(F(y)=(y+1)\/2\\)) : \\(\\ r_-=2D-1\\ (\\equiv 3,7\\ \\mathrm{mod}\\ 8)\\), et son lien \\(\\ Y_-=\\mathrm{oddize}(3r_-+1)=3D-1\\).<\/li>\n
        • Branche \\((+)\\)<\/strong> (parent\u00e9 fratrie) : \\(\\ r_+=4D+1\\ (\\equiv 1\\ \\mathrm{mod}\\ 8)\\), et son lien \\(\\ Y_+=\\mathrm{oddize}(3r_++1)=3D+1\\).<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
          Sur un tour complet de longueur \\(E\\), la somme sign\u00e9e des d\u00e9placements doit s\u2019annuler : \\(\\ \\sum_{i=1}^{E}\\varepsilon_i D_i=0\\), avec \\(\\ \\varepsilon_i\\in\\{+1,-1\\}\\) selon la branche \\((+)\\) ou \\((-)\\).<\/p>\n\n\n\n
          \n\n
          D (pair)<\/th>\\(r_-=2D-1\\)<\/th>\\(Y_-=3D-1\\)<\/th>\\(r_+=4D+1\\)<\/th>\\(Y_+=3D+1\\)<\/th>\n<\/tr><\/thead>
          10<\/td>19<\/td>29<\/td>41<\/td>31<\/td><\/tr>\n
          14<\/td>27<\/td>41<\/td>57<\/td>43<\/td><\/tr>\n
          16<\/td>31<\/td>47<\/td>65<\/td>49<\/td><\/tr>\n<\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n
          3) Lemme \u00ab j-retours \u00bb (barri\u00e8res hi\u00e9rarchiques)<\/h3>\n\n\n\n
          On peut appliquer \\(-\\frac14\\) exactement \\(j\\) fois \u00e0 un impair \\(y\\) ssi<\/em> \\(\\ y\\equiv \\frac{4^j-1}{3}\\pmod{4^j}\\). Alors \\(\\ 3y+1=4^j(1+3t)\\) donc \\(\\ \\nu_2(3y+1)\\ge 2j\\).
          \nCons\u00e9quence.<\/strong> Les classes \\(\\ D_j=\\bigl\\{\\frac{4^j-1}{3}\\ (\\mathrm{mod}\\ 4^j)\\bigr\\}\\) sont des barri\u00e8res<\/em> : les franchir impose \\(\\ k\\ge 2j\\).<\/p>\n\n\n\n
          4) Lien direct \u00ab squelette \u2192 poids \u00bb<\/h3>\n\n\n\n
          Pour \\(\\ L_{r,n}=\\frac{(3r+1)4^{\\,n}-1}{3}\\) (colonne MCC \\(2+n\\)) : \\(\\ 3L_{r,n}+1=(3r+1)4^n\\) donc \\(\\ k=\\nu_2(3L_{r,n}+1)=2n+\\nu_2(3r+1)\\).
          \n\u00c0 colonne fix\u00e9e, la valuation est d\u00e9terministe<\/em> (le rang donne \\(2n\\), la racine donne l\u2019offset).<\/p>\n\n\n\n
          5) Rappels \\(\\bmod 8\\) (s\u00e9lection des pas)<\/h3>\n\n\n\n
            \n
          • \\(y\\equiv 3,7\\pmod 8\\) : \\(\\ F(y)=3y+1\\) (pas compress\u00e9 \u00ab direct \u00bb).<\/li>\n
          • \\(y\\equiv 1\\pmod 8\\) : \\(\\ k\\ge 2\\) (au moins une division suppl\u00e9mentaire).<\/li>\n
          • \\(y\\equiv 5\\pmod 8\\) : \\(\\ k\\ge 3\\) (souvent plus).<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
            \n\n
            Test de faisabilit\u00e9 (checklist rapide)<\/h3>\n\n\n\n
              \n
            • (A) Fermeture MCC<\/strong> : v\u00e9rifier \\(\\sum \\varepsilon_i D_i=0\\). Sinon \u2192 \u00e9limin\u00e9.<\/li>\n
            • (B) Minorant 2-adique<\/strong> : via les colonnes \\(D_{j_i}\\) (ou via le squelette), imposer \\(k_i^{\\min}\\in\\{2j_i\\ \\text{ou}\\ 2n_i+\\nu_2(3r_i+1)\\}\\). Si \\(\\ K_{\\min}=\\sum k_i^{\\min} > E\\,\\theta\\), impossible.<\/li>\n
            • (C) Raffiner avec \\(\\bmod 8\\)<\/strong> : beaucoup de \\(\\equiv 1\\) \u21d2 \\(k\\ge 2\\), des \\(\\equiv 5\\) \u21d2 \\(k\\ge 3\\). Re-tester (B).<\/li>\n
            • (D) Option squelette<\/strong> : un seul contact avec \\(n\\ge 3\\) donne \\(k\\ge 6\\) ; pour garder \\(\\bar k=\\theta\\), il faudrait \u00ab compenser \u00bb par une masse de pas \u00e0 \\(k=1\\), souvent impossible en (5).<\/li>\n<\/ul>\n\n<\/div><\/div>\n\n\n\n
              Corollaires utiles<\/h3>\n\n\n\n
                \n
              • Confinement<\/strong> : un cycle hypoth\u00e9tique doit rester dans de petites colonnes (typiquement \\(j\\le 2\\)). Toucher r\u00e9guli\u00e8rement \\(D_3\\) (ex. \\(21\\ (\\mathrm{mod}\\ 64)\\)) force \\(\\bar k\\) au-dessus de \\(\\theta\\).<\/li>\n
              • Version machine<\/strong> : c\u2019est exactement ce que certifie le min\u2013moyenne (Karp\/Howard) sur ton automate : si toute CFC v\u00e9rifie \\(\\mu_{\\min}>\\theta\\), aucun cycle non trivial.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
                Exemples (distances)<\/h3>\n\n\n\n
                Pour \\(D=10\\) : \\((r_-,Y_-)=(19,29)\\) et \\((r_+,Y_+)=(41,31)\\). Pour \\(D=14\\) : \\((27,41)\\) et \\((57,43)\\). Pour \\(D=16\\) : \\((31,47)\\) et \\((65,49)\\).<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n
                Distances racine\u2194lien, fratries, et famille universelle Fm<\/sub><\/em><\/h2>\n\n\n\n
                Cadre.<\/strong> On travaille sur les impairs et l\u2019on recentre toute visite d\u2019un membre de fratrie par l\u2019op\u00e9ration (x-1)\/4<\/code> autant que possible pour revenir \u00e0 la racine minimale<\/em> r<\/em> (i.e. \\(r\\equiv 1,3,7\\ (\\bmod\\ 8)\\)<\/span>) avant de passer au lien<\/em> Y<\/em>. On appelle distance<\/strong> le saut structurel entre racine et lien :<\/p>\n\n\n\n
                \\(d = \\lvert Y-r\\rvert\\)<\/span>   (toujours pair<\/strong>). On note \\(d^{+}\\)<\/span> quand \\(r<Y\\)<\/span> et \\(d^{-}\\)<\/span> quand \\(r>Y\\)<\/span>.<\/p>\n\n\n\n
                Fratrie<\/strong> issue d\u2019une racine minimale \\(r\\)<\/span> (ligne du tableau, op\u00e9rateur de colonne x \u21a6 4x+1<\/code>) :<\/p>\n\n\n\n
                \\(L_{r,n}=r\\,4^{n}+\\frac{4^{n}-1}{3}=\\frac{(3r+1)\\,4^{n}-1}{3}\\quad(n\\ge 0).\\)<\/span><\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n
                1) Cas classique 3x+1<\/code> (m=1, C=1)<\/h3>\n\n\n\n
                Catalogue par distance.<\/strong> Pour chaque \\(d\\in\\{2,4,6,\\dots\\}\\)<\/span>, il y a exactement deux liens possibles, qui couvrent tous<\/em> les impairs non multiples de 3 (structurellement 50\/50) :<\/p>\n\n\n\n
                  \n
                • \\(d^{+}\\)<\/span> (saut vers le haut, \\(v_2(3r+1)=1\\)<\/span>) : \\(r=2d-1,\\quad Y=3d-1\\)<\/span>  (\\(Y\\equiv 5\\ (\\bmod\\ 6)\\)<\/span>).<\/li>\n
                • \\(d^{-}\\)<\/span> (saut vers le bas, \\(v_2(3r+1)=2\\)<\/span>) : \\(r=4d+1,\\quad Y=3d+1\\)<\/span>  (\\(Y\\equiv 1\\ (\\bmod\\ 6)\\)<\/span>).<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
                  Inversion depuis un lien.<\/strong> Chaque lien impair \\(Y\\not\\equiv 0\\ (\\bmod\\ 3)\\)<\/span> provient d\u2019un unique couple \\((d,\\pm)\\)<\/span> :<\/p>\n\n\n\n
                    \n
                  • Si \\(Y\\equiv 5\\ (\\bmod\\ 6)\\)<\/span> : \\(d=\\frac{Y+1}{3}\\)<\/span> (pair), \\(r=\\frac{2Y-1}{3}\\)<\/span>  → branche \\(d^{+}\\)<\/span>.<\/li>\n
                  • Si \\(Y\\equiv 1\\ (\\bmod\\ 6)\\)<\/span> : \\(d=\\frac{Y-1}{3}\\)<\/span> (pair), \\(r=\\frac{4Y-1}{3}\\)<\/span>  → branche \\(d^{-}\\)<\/span>.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
                    Fratries param\u00e9tr\u00e9es par d.<\/strong><\/p>\n\n\n\n
                      \n
                    • Depuis \\(d^{+}\\)<\/span> (\\(r=2d-1,\\ Y=3d-1\\)<\/span>) : \\(L_{+,d}(n)=\\frac{2(3d-1)\\,4^{n}-1}{3}\\)<\/span>.<\/li>\n
                    • Depuis \\(d^{-}\\)<\/span> (\\(r=4d+1,\\ Y=3d+1\\)<\/span>) : \\(L_{-,d}(n)=\\frac{(3d+1)\\,4^{n+1}-1}{3}\\)<\/span>.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
                      \n
                      d<\/th>d+<\/sup> : r \u2192 Y<\/th>d\u2212<\/sup> : r \u2192 Y<\/th><\/tr><\/thead>
                      2<\/td>3 \u2192 5<\/td>9 \u2192 7<\/td><\/tr>\n
                      4<\/td>7 \u2192 11<\/td>17 \u2192 13<\/td><\/tr>\n
                      6<\/td>11 \u2192 17<\/td>25 \u2192 19<\/td><\/tr>\n
                      8<\/td>15 \u2192 23<\/td>33 \u2192 25<\/td><\/tr>\n<\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n\n\n\n\n\n
                      2) Famille universelle Fm<\/sub><\/em> (constante \\(C=2^{m}-1\\)<\/span>)<\/h3>\n\n\n\n
                      On g\u00e9n\u00e9ralise via \\(T_m(x)=\\frac{3x+C}{2^{\\,v_2(3x+C)}}\\)<\/span> avec \\(C=2^{m}-1\\)<\/span> (impair). Le catalogue par distance \\(d\\)<\/span> (toujours paire) devient :<\/p>\n\n\n\n
                        \n
                      • \\(d^{+}\\)<\/span> (\\(v_2(3r+C)=1\\)<\/span>) : \\(r=2d-C,\\quad Y=3d-C\\)<\/span>.<\/li>\n
                      • \\(d^{-}\\)<\/span> (\\(v_2(3r+C)=2\\)<\/span>) : \\(r=4d+C,\\quad Y=3d+C\\)<\/span>.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
                        Inversion depuis un lien.<\/strong> Tout lien impair se met de fa\u00e7on unique sous l\u2019une des deux formes \\(Y=3d-C\\)<\/span> ou \\(Y=3d+C\\)<\/span> avec \\(d\\)<\/span> pair. Poser \\(d_{+}=\\frac{Y+C}{3}\\)<\/span> et \\(d_{-}=\\frac{Y-C}{3}\\)<\/span> :<\/p>\n\n\n\n
                          \n
                        • Si \\(d_{+}\\)<\/span> est pair → \\(Y=3d_{+}-C\\)<\/span> et \\((r,Y)=(2d_{+}-C,\\ 3d_{+}-C)\\)<\/span> (branche \\(d^{+}\\)<\/span>).<\/li>\n
                        • SINON \\(d_{-}\\)<\/span> est pair → \\((r,Y)=(4d_{-}+C,\\ 3d_{-}+C)\\)<\/span> (branche \\(d^{-}\\)<\/span>).<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
                          Fratrie pour Fm<\/sub>.<\/strong> L\u2019op\u00e9rateur de colonne reste affine (car \\(3(4x+C)+C=4(3x+C)\\)<\/span>) et l\u2019on a :<\/p>\n\n\n\n
                          \\(L^{(m)}_{r,n}=r\\,4^{n}+\\frac{C\\,(4^{n}-1)}{3}=\\frac{(3r+C)\\,4^{n}-C}{3}\\quad(n\\ge 0).\\)<\/span><\/p>\n\n\n\n
                          Remarque mod 3.<\/em> Si \\(m\\)<\/span> est impair (\\(C\\equiv 1\\ (\\bmod\\ 3)\\)<\/span>), alors \\(Y\\equiv -1\\ (\\bmod\\ 3)\\)<\/span> caract\u00e9rise la branche \\(d^{+}\\)<\/span> et \\(Y\\equiv +1\\ (\\bmod\\ 3)\\)<\/span> la branche \\(d^{-}\\)<\/span>. Si \\(m\\)<\/span> est pair (\\(C\\equiv 0\\ (\\bmod\\ 3)\\)<\/span>), on a \\(Y\\equiv 0\\ (\\bmod\\ 3)\\)<\/span> dans les deux cas : on utilise alors directement l\u2019algorithme \\(d_{\\pm}=\\frac{Y\\pm C}{3}\\)<\/span> et (dans tes posts) le p\u00e9rim\u00e8tre S<\/em> adapt\u00e9.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n
                          3) Structure 50\/50 vs fr\u00e9quences dynamiques<\/h3>\n\n\n\n
                          Structurellement<\/strong> (catalogue par \\(d\\)<\/span>) : exactement moiti\u00e9 des liens sont de la forme \\(3d-C\\)<\/span> (branche \\(d^{+}\\)<\/span>) et moiti\u00e9 de la forme \\(3d+C\\)<\/span> (branche \\(d^{-}\\)<\/span>).<\/p>\n\n\n\n
                          Dynamiquement<\/strong> (le long d\u2019une trajectoire), pour le cas classique, les racines minimales \\(r\\equiv 3,7\\ (\\bmod\\ 8)\\)<\/span> (branche \\(+\\)<\/span>) se pr\u00e9sentent typiquement environ deux fois plus que \\(r\\equiv 1\\ (\\bmod\\ 8)\\)<\/span> (branche \\(-\\)<\/span>) : on observe souvent ~2\/3<\/span> de pas \u201c+\u201d pour ~1\/3<\/span> de pas \u201c\u2212\u201d. Cela n\u2019affecte pas le 50\/50 structurel.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n
                          4) Translation inter-fratries \\(\\Delta=r’-r\\)<\/span><\/h3>\n\n\n\n
                          Apr\u00e8s le saut \\(r\\to Y\\)<\/span>, on recentre \\(Y\\)<\/span> par (x-1)\/4<\/code> autant que possible jusqu\u2019\u00e0 la racine minimale \\(r’\\)<\/span>. Posons \\(q=\\left\\lfloor \\frac{v_2(3Y+C)}{2}\\right\\rfloor\\)<\/span>, alors<\/p>\n\n\n\n
                          \\(r’=\\frac{\\,3Y+C\\,-\\,C\\,4^{q}\\,}{\\,3\\cdot 4^{q}\\,}\\)<\/span>,   d\u2019o\u00f9 \\(\\Delta=r’-r\\)<\/span>.<\/p>\n\n\n\n
                            \n
                          • Branche<\/strong> \\(d^{+}\\)<\/span> (\\(r=2d-C,\\ Y=3d-C\\)<\/span>) :\n\\(\\ \\Delta=\\frac{\\,9d-2C\\,-\\,C\\,4^{q}\\,}{\\,3\\cdot 4^{q}\\,}-(2d-C)\\)<\/span>, avec \\(q=\\left\\lfloor \\frac{v_2(9d-2C)}{2}\\right\\rfloor\\)<\/span>.<\/li>\n
                          • Branche<\/strong> \\(d^{-}\\)<\/span> (\\(r=4d+C,\\ Y=3d+C\\)<\/span>) :\n\\(\\ \\Delta=\\frac{\\,9d+4C\\,-\\,C\\,4^{q}\\,}{\\,3\\cdot 4^{q}\\,}-(4d+C)\\)<\/span>, avec \\(q=\\left\\lfloor \\frac{v_2(9d+4C)}{2}\\right\\rfloor\\)<\/span>.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
                            Cas g\u00e9n\u00e9rique<\/em> \\(q=0\\)<\/span> (pas de recentrage suppl\u00e9mentaire apr\u00e8s le saut) : \\(\\Delta=+d\\)<\/span> pour la branche \\(d^{+}\\)<\/span>, et \\(\\Delta=-d\\)<\/span> pour la branche \\(d^{-}\\)<\/span>. Si \\(q\\ge 1\\)<\/span>, les recentrages (x-1)\/4<\/code> rabaisseront \\(r’\\)<\/span> et feront d\u00e9vier \\(\\Delta\\)<\/span> de \\(\\pm d\\)<\/span>.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n
                            5) Unit\u00e9 universelle B | u<\/code> (rappel concis, m=1)<\/h3>\n\n\n\n
                            Tout impair \\(x\\)<\/span> s\u2019\u00e9crit \\(x=8B+u\\)<\/span> avec \\(u\\in\\{1,3,5,7\\}\\)<\/span>. Pour \\(d=2k\\)<\/span> :<\/p>\n\n\n\n
                              \n
                            • Branche<\/strong> \\(d^{+}\\)<\/span> (\\(r=4k-1,\\ Y=6k-1\\)<\/span>) : \n\\(u_r=3\\)<\/span> si \\(k\\)<\/span> impair, \\(u_r=7\\)<\/span> si \\(k\\)<\/span> pair; et\n\\(u_Y=7,5,3,1\\)<\/span> pour \\(d\\equiv 0,2,4,6\\ (\\bmod\\ 8)\\)<\/span>.<\/li>\n
                            • Branche<\/strong> \\(d^{-}\\)<\/span> (\\(r=8k+1,\\ Y=6k+1\\)<\/span>) : \n\\(u_r=1\\)<\/span>; et \\(u_Y=1,7,5,3\\)<\/span> pour \\(d\\equiv 0,2,4,6\\ (\\bmod\\ 8)\\)<\/span>.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
                              Dans une fratrie \\(L_{r,n}\\)<\/span> : l\u2019unit\u00e9 vaut \\(u_r\\)<\/span> en \\(n=0\\)<\/span>, puis 1<\/strong> en \\(n=1\\)<\/span>, puis 5<\/strong> pour tout \\(n\\ge 2\\)<\/span>.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n
                              6) R\u00e9sum\u00e9 express<\/h3>\n\n\n\n
                                \n
                              • Distance paire<\/strong> \\(d\\)<\/span> → deux liens et seulement deux : \n\\(d^{+}:(r,Y)=(2d-C,\\ 3d-C)\\)<\/span>,\n\\(d^{-}:(r,Y)=(4d+C,\\ 3d+C)\\)<\/span>.<\/li>\n
                              • Inversion unique<\/strong> depuis \\(Y\\)<\/span> par \\(d_{\\pm}=\\frac{Y\\pm C}{3}\\)<\/span> (exactement l\u2019un est pair).<\/li>\n
                              • Fratrie<\/strong> : \\(L^{(m)}_{r,n}=r\\,4^{n}+\\frac{C(4^{n}-1)}{3}=\\frac{(3r+C)\\,4^{n}-C}{3}\\)<\/span>.<\/li>\n
                              • Structure vs dynamique<\/strong> : 50\/50 entre \\(3d\\pm C\\)<\/span> au niveau catalogue; \u22482\/3 \u201c+\u201d et \u22481\/3 \u201c\u2212\u201d le long d\u2019une trajectoire classique.<\/li>\n
                              • Translation inter-fratries<\/strong> : g\u00e9n\u00e9riquement \\(\\Delta=\\pm d\\)<\/span> (si \\(v_2(3Y+C)=1\\)<\/span>), sinon d\u00e9viation gouvern\u00e9e par \\(q=\\left\\lfloor \\frac{v_2(3Y+C)}{2}\\right\\rfloor\\)<\/span>.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
                                Retours \u22121\/4, squelette MCC et \u00ab distance \u00bb : pourquoi c\u2019est utile (et comment s\u2019en servir) Id\u00e9e g\u00e9n\u00e9rale. Les retours (y\u22121)\/4 ne sont pas la r\u00e8gle Collatz compress\u00e9e, mais l\u2019inverse du pas fratrie NE : x\u21a64x+1. Ils permettent de remonter le squelette MCC jusqu\u2019\u00e0 la racine minimale et fournissent des congruences fortes modulo \\(4^{j}\\) qui forcent des poids 2-adiques […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"saved_in_kubio":false,"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[436],"class_list":["post-56515","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-non-classe","tag-math"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/56515","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=56515"}],"version-history":[{"count":7,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/56515\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":56523,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/56515\/revisions\/56523"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=56515"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=56515"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=56515"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}