Id\u00e9e.<\/strong> On remplace l\u2019impair visit\u00e9 x<\/em> par une distance<\/strong> enti\u00e8re D<\/em> et un signe de branche<\/strong> \\( \\sigma\\in\\{-,+\\} \\) tels que \\(\\;x=Y_\\sigma(D)=\\begin{cases} 3D-1 &(\\sigma=-),\\\\ 3D+1 &(\\sigma=+). \\end{cases}\\) Pour tout impair \\(x\\), on peut choisir l\u2019un des deux encodages (au besoin on choisit celui qui donne \\(D\\in\\mathbb Z\\)) : \\(\\qquad(\\sigma,D)=\\begin{cases} (-,\\ \\frac{x+1}{3}) &\\text{si } x\\equiv 2\\pmod 3,\\\\[2pt] (+,\\ \\frac{x-1}{3}) &\\text{si } x\\equiv 1\\pmod 3. \\end{cases}\\).\n<\/p>\n \n\n Parit\u00e9 structurelle (important).<\/strong> Dans le tableau compress\u00e9 classique, on ne manipule que des impairs<\/em>; par cons\u00e9quent, toutes<\/em> les distances que l\u2019on consid\u00e8re sont paires<\/strong> :\n(i) la diff\u00e9rence de deux impairs est paire ;\n(ii) pour la distance \u00ab racine \u2194 lien \u00bb \u00e9crite via \\(Y=3D\\pm1\\) (avec \\(Y\\) impair), on a \\(3D\\equiv0\\pmod2\\) donc \\(D\\) est pair ;\n(iii) au sein d\u2019une fratrie, \\(L_{r,n+1}-L_{r,n}=\\frac{(3r+1)4^{\\,n+1}-1}{3}-\\frac{(3r+1)4^{\\,n}-1}{3}=(3r+1)4^{\\,n}\\), multiple de \\(4\\) pour \\(n\\ge1\\).<\/p>\n\n \u00c9tape 1 \u2014 profondeur de division 2-adique.<\/strong> \u00c0 partir de l\u2019\u00e9tat \\((\\sigma,D)\\), on calcule \\(\\qquad k=\\nu_2\\!\\bigl(3\\,Y_\\sigma(D)+1\\bigr)= \\begin{cases} \\nu_2(9D-2) &(\\sigma=-),\\\\ \\nu_2(9D+4) &(\\sigma=+). \\end{cases}\\) \u00c9tape 2 \u2014 saut de colonnes dans la ligne de \\(D\\).<\/strong> Dans une m\u00eame ligne<\/em> (fixer \\(D\\) de la 1re colonne), la navigation \u00ab colonne \\(\\to\\) colonne \u00bb suit la r\u00e9currence affine \\(\\qquad F_{t+1}=4F_t+\\beta_\\sigma(D),\\qquad \\beta_\\sigma(D)=\\begin{cases} 2-9D &(\\sigma=-),\\\\ 9D-4 &(\\sigma=+). \\end{cases}\\) \u00c9tape 3 \u2014 signe suivant.<\/strong> Le nouvel impair \\(x’=(3x+1)\/2^k\\) v\u00e9rifie \\(x’\\equiv (-1)^k\\pmod 3\\). Donc \\(\\qquad \\sigma’=\\begin{cases} + &\\text{si } k \\text{ est pair},\\\\ – &\\text{si } k \\text{ est impair}. \\end{cases}\\) \u00c9nonc\u00e9.<\/strong> Pour tout \u00e9tat initial \\((\\sigma_0,D_0)\\) issu d\u2019un impair \\(x_0\\), l\u2019it\u00e9ration en distances atteint en un nombre fini d\u2019\u00e9tapes l\u2019\u00e9tat terminal \\( (+,0) \\) (i.e. \\(x=1\\)). Le seul cycle est le cycle trivial autour de \\( (+,0) \\).<\/p> Mod 8 pour le lien<\/strong> \\(Y=3D\\pm1\\) :<\/p> Parit\u00e9 de \\(k\\)<\/strong> (donc signe suivant) : \\(k\\) pair \\(\\Rightarrow \\sigma’=+\\), \\(k\\) impair \\(\\Rightarrow \\sigma’=-\\).<\/p> Seuils \u00ab jump profonds \u00bb pour \\(k\\ge t\\).<\/strong> Ce sont des classes tr\u00e8s fines<\/em> sur \\(D \\bmod 2^t\\) :<\/p> Branche \u201c\u2212\u201d<\/em> : \\(k\\ge t\\iff 9D\\equiv 2\\pmod{2^t}\\iff D\\equiv a_t\\pmod{2^t}\\) avec \\(a_t\\equiv 2\\cdot 9^{-1}\\ (\\bmod 2^t)\\). Branche \u201c+\u201d<\/em> : \\(k\\ge t\\iff 9D\\equiv -4\\pmod{2^t}\\iff D\\equiv b_t\\pmod{2^t}\\) avec \\(b_t\\equiv (-4)\\cdot 9^{-1}\\ (\\bmod 2^t)\\). On voit appara\u00eetre des \u00ab lignes verticales \u00bb ultra-rares de \\(D\\) qui provoquent de gros \\(k\\) : tr\u00e8s utile pour des barri\u00e8res 2-adiques<\/em>.<\/p> Dans la ligne<\/strong> (1re colonne \\(F_1=D\\)) : \\(F_{t+1}=4F_t+\\beta_\\sigma(D)\\). Forme ferm\u00e9e (aller directement \u00e0 la colonne \\(t\\ge1\\)) :<\/p> Ligne voisine<\/strong> (ta table alterne \\(d\\mapsto d+8\\) pour \u201c\u2212\u201d ; \\(d\\mapsto d-8\\) pour \u201c+\u201d) : le param\u00e8tre de ligne varie simplement de \\( \\beta\\mapsto \\beta-72 \\). En colonne \\(t\\), l\u2019\u00e9cart entre deux lignes adjacentes vaut :<\/p> On part de \\(x=11\\equiv 2\\pmod 3\\Rightarrow (\\sigma,D)=(-,4)\\).<\/p> Lecture \u00ab distances \u00bb : \\((-,4)\\to(-,6)\\to(+,4)\\to(-,2)\\to\\mathbf{(+,0)}\\). Lecture classique (impairs) : \\(11\\to17\\to13\\to5\\to1\\).<\/p> \u00c9quivalence stricte<\/strong> : du point de vue logique, on n\u2019a pas d\u2019information \u00ab en plus \u00bb \u2014 prouver l\u2019absence de cycle en distances est \u00e9quivalent \u00e0 la Collatz classique.<\/p> Mais<\/strong> la formulation \u00ab distance \u00bb rend tr\u00e8s explicites<\/em> deux leviers techniques utiles pour des certificats de type min-moyenne (\u00e0 la Karp\/Howard) et des barri\u00e8res 2-adiques :<\/p> En pratique<\/strong> : on peut b\u00e2tir un NFA\/Graphe sur les \u00e9tats \\((\\sigma,\\ D\\bmod 2^b)\\), ar\u00eates \u00e9tiquet\u00e9es par \\(k=\\nu_2(9D\\pm c)\\), et v\u00e9rifier par Karp\/Howard que la moyenne minimale<\/em> de \\(k\\) sur toute CFC non triviale reste \\(>\\log_2 3\\) (exactement comme dans tes certificats Ufin<\/sub>, mais avec un squelette potentiellement plus \u00e9conome<\/em> gr\u00e2ce aux classes uniques \\(D\\bmod 2^t\\) pour grands \\(k\\)).<\/p> Conclusion<\/strong> : th\u00e9oriquement \u00e7a n\u2019\u00ab avance \u00bb pas la conjecture au sens strict (formulation \u00e9quivalente), mais m\u00e9thodologiquement<\/em> c\u2019est tr\u00e8s payant : on clarifie le squelette 2-adique, on comprend o\u00f9 naissent les grands \\(k\\), et on obtient un cadre lin\u00e9aire pour tes certificats \\(\\mu_{\\min}>\\log_2 3\\). En ce sens, oui, cela ouvre des pistes plus nettes<\/em> pour renforcer les barri\u00e8res et resserrer les CFC.<\/p> Collatz \u00ab en distances \u00bb : d\u00e9finition, it\u00e9ration, exemples et pistes anti-cycle Id\u00e9e. On remplace l\u2019impair visit\u00e9 x par une distance enti\u00e8re D et un signe de branche \\( \\sigma\\in\\{-,+\\} \\) tels que \\(\\;x=Y_\\sigma(D)=\\begin{cases} 3D-1 &(\\sigma=-),\\\\ 3D+1 &(\\sigma=+). \\end{cases}\\) C\u2019est une formulation strictement \u00e9quivalente \u00e0 la Collatz compress\u00e9e classique (impair \\(\\mapsto\\) diviser par \\(2^k\\) jusqu\u2019\u00e0 l\u2019impair suivant), […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"saved_in_kubio":false,"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[436],"class_list":["post-56524","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-non-classe","tag-math"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/56524","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=56524"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/56524\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":56528,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/56524\/revisions\/56528"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=56524"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=56524"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=56524"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
C\u2019est une formulation strictement \u00e9quivalente<\/em> \u00e0 la Collatz compress\u00e9e classique (impair \\(\\mapsto\\) diviser par \\(2^k\\) jusqu\u2019\u00e0 l\u2019impair suivant), mais \u00e9crite uniquement<\/em> en distances.<\/p> \n\n\n\n\n 1) Encodage \u00ab distance \u00bb d\u2019un impair<\/h3>
2) Une it\u00e9ration 100 % distances<\/h3>
C\u2019est exactement le nombre de divisions par 2 que l\u2019on ferait apr\u00e8s \\(3x+1\\) dans la version classique.<\/p>
En encha\u00eenant \\(k\\) colonnes \u00e0 droite d\u2019un coup, on obtient la forme ferm\u00e9e \\(\\qquad D’ \\;=\\; 4^{\\,k}D \\;+\\; \\frac{4^{\\,k}-1}{3}\\,\\beta_\\sigma(D).\\)<\/p>
On recode alors \\(x’\\) sous la forme \\(x’=3D’\\pm1\\) avec ce \\(\\sigma’\\). R\u00e9sum\u00e9 de l\u2019it\u00e9ration : \\(\\qquad (\\sigma,D)\\ \\longmapsto\\ (\\sigma’,D’).\\)<\/p> 3) Conjecture de Collatz \u2014 version \u00ab distances \u00bb<\/h3>
4) Lois r\u00e9siduelles utiles (lecture rapide)<\/h3>
\\(D\\bmod 8\\)<\/th> branche \u201c\u2212\u201d \\(3D-1\\)<\/th> branche \u201c+\u201d \\(3D+1\\)<\/th><\/tr><\/thead> 0<\/td> 7<\/td> 1<\/td><\/tr> 2<\/td> 5<\/strong><\/td> 7<\/td><\/tr> 4<\/td> 3<\/td> 5<\/strong><\/td><\/tr> 6<\/td> 1<\/td> 3<\/td><\/tr> <\/tbody><\/table><\/figure>
Valeurs initiales : \\(a_3\\equiv 2,\\ a_4\\equiv 2,\\ a_5\\equiv 18,\\ a_6\\equiv 50\\) (donc \\(D\\equiv 50\\pmod{64}\\Rightarrow k\\ge 6\\)).<\/p> <\/div>
Valeurs initiales : \\(b_3\\equiv 4,\\ b_4\\equiv 12,\\ b_5\\equiv 28,\\ b_6\\equiv 60\\).<\/p> <\/div><\/div> 5) Navigation dans une ligne et changement de ligne<\/h3>
6) Exemple complet : r\u00e9solution de 11<\/h3>
\u00e9tape<\/th> \\((\\sigma,D)\\)<\/th> \\(k\\)<\/th> impair suivant \\(x’=(3x+1)\/2^k\\)<\/th> \\(\\sigma’\\)<\/th> \\(D’\\)<\/th><\/tr><\/thead> 0<\/td> \\((-,4)\\)<\/td> \\(\\nu_2(34)=1\\)<\/td> 17<\/td> \u2212 (impair)<\/td> \\((17+1)\/3=6\\)<\/td><\/tr> 1<\/td> \\((-,6)\\)<\/td> \\(\\nu_2(52)=2\\)<\/td> 13<\/td> + (pair)<\/td> \\((13-1)\/3=4\\)<\/td><\/tr> 2<\/td> \\((+,4)\\)<\/td> \\(\\nu_2(40)=3\\)<\/td> 5<\/td> \u2212 (impair)<\/td> \\((5+1)\/3=2\\)<\/td><\/tr> 3<\/td> \\((-,2)\\)<\/td> \\(\\nu_2(16)=4\\)<\/td> 1<\/td> + (pair)<\/td> \\((1-1)\/3=\\mathbf{0}\\)<\/td><\/tr> <\/tbody><\/table><\/figure> 7) Est-ce que cette variante ouvre de nouvelles portes anti-cycle ?<\/h3>
8) Annexe \u2014 Algorithme \u00ab distance only \u00bb<\/h3>
Entr\u00e9e : impair x Si x \u2261 2 (mod 3) : \u03c3 \u2190 \u2212 ; D \u2190 (x+1)\/3 Sinon (x \u2261 1 (mod 3)) : \u03c3 \u2190 + ; D \u2190 (x\u22121)\/3 R\u00e9p\u00e9ter : k \u2190 \u03bd\u2082(9D \u2212 2) si \u03c3=\u2212, autrement k \u2190 \u03bd\u2082(9D + 4) \u03b2 \u2190 (2 \u2212 9D) si \u03c3=\u2212, autrement \u03b2 \u2190 (9D \u2212 4) D \u2190 4^k \u00b7 D + ((4^k \u2212 1)\/3) \u00b7 \u03b2 \u03c3 \u2190 + si k pair, sinon \u03c3 \u2190 \u2212 Jusqu\u2019\u00e0 atteindre (\u03c3, D) = (+, 0)<\/code><\/pre> ","protected":false},"excerpt":{"rendered":"