{"id":56529,"date":"2025-10-10T10:58:33","date_gmt":"2025-10-10T09:58:33","guid":{"rendered":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/?p=56529"},"modified":"2025-10-13T16:29:27","modified_gmt":"2025-10-13T15:29:27","slug":"fr-collatz-distance-et-frere-innaccessibles","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/fr-collatz-distance-et-frere-innaccessibles\/","title":{"rendered":"FR &#8211; Collatz distance et fr\u00e8re innaccessibles"},"content":{"rendered":"<!-- ================================ --> <!-- DOC \u2014 FR\u00c8RES \u00ab -1 \u00bb NON \/3 (MCC) --> <!-- ================================ -->  <h2 class=\"wp-block-heading\">Fr\u00e8res \u00ab double \u2212 1 \u00bb non divisibles par 3 \u2014 lecture en distance <em>D<\/em> (rep\u00e8re MCC)<\/h2>  <p><strong>But.<\/strong> Pour une fratrie impaire \\(r\\), on consid\u00e8re les nombres \\(\\;y_k(r)=r\\cdot4^k-1\\;\\) (<em>les \u00ab fr\u00e8res \u22121 \u00bb<\/em>). On veut : (i) les reclasser par liens \\(Y_\\pm=3D\\pm1\\) (distance \\(D\\) paire), (ii) d\u00e9crire leur dynamique compress\u00e9e \\(T(y)=\\mathrm{oddize}(3y+1)\\) <em>en<\/em> \\(D\\), et (iii) expliquer pourquoi des jalons comme <strong>19<\/strong>, <strong>319<\/strong>, <strong>1279<\/strong> (pour \\(r=5\\)) ou <strong>43<\/strong>, <strong>703<\/strong> (pour \\(r=11\\)) reviennent si souvent \u2014 et plus g\u00e9n\u00e9ralement, pourquoi les \u00ab fr\u00e8res non \/3 \u00bb d\u2019une <em>m\u00eame<\/em> fratrie se revisitent entre eux.<\/p>  <div class=\"wp-block-group has-vivid-cyan-blue-background-color has-background\" style=\"border-left-color:#444;border-left-width:5px;border-radius:4px;padding:0.6rem 1rem;margin:1rem 0;\"><div class=\"wp-block-group__inner-container is-layout-flow wp-block-group-is-layout-flow\"> <p><strong>R\u00e9sum\u00e9 ex\u00e9cutif.<\/strong> Pour toute fratrie \\(r\\not\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\), la famille \\(y_k=r4^k-1\\) est la moiti\u00e9 \u00ab non \/3 \u00bb. Sous \\(T\\), il existe une <em>rampe rigide<\/em> de longueur exacte \\(2k-1\\) \u00e0 valuation \\(\\nu_2=1\\) \u00e0 chaque pas, puis un premier <em>burst<\/em> dont la taille 2-adique ne d\u00e9pend que de \\(r\\ (\\mathrm{mod}\\ 8)\\) (et de \\(k\\) si \\(r\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 8)\\)). En variables \u00ab distance \u00bb \\(D\\), la rampe suit \\(D\\mapsto \\frac{3}{2}D\\) (ou \\(\\frac{3}{2}D+1\\) au tout premier pas), puis un burst contracte \\(D\\) d\u2019un facteur \\(\\approx \\frac{3}{2^\\nu}\\). Cette <em>scie affine<\/em> r\u00e9-aligne p\u00e9riodiquement \\(D\\) sur la <em>grille<\/em> des distances des fr\u00e8res \\(r4^j-1\\), ce qui explique les revisites fr\u00e9quentes de petits jalons (19\/319 pour \\(r=5\\), 43\/703 pour \\(r=11\\), etc.).<\/p> <\/div><\/div>  <!-- ================= --> <!-- 1) D\u00c9FINITIONS --> <!-- ================= -->  <h3 class=\"wp-block-heading\">1) D\u00e9finition des \u00ab fr\u00e8res \u22121 \u00bb et reclassement en liens \\(Y_\\pm\\)<\/h3>  <p><strong>Fr\u00e8res \u00ab \u22121 \u00bb d\u2019une fratrie \\(r\\).<\/strong> \\(\\;y_k(r)=r\\cdot4^k-1\\ (k\\ge1)\\).<\/p> <ul> <li>Si \\(r\\equiv2\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\) ou \\(r\\equiv0\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\), alors \\(y_k(r)\\not\\equiv0\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\) pour tout \\(k\\) : c\u2019est la moiti\u00e9 \u00ab non \/3 \u00bb.<\/li> <li>Si \\(r\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\), alors \\(y_k(r)\\equiv0\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\) : c\u2019est la moiti\u00e9 \u00ab \/3 \u00bb (on l\u2019ignore ici).<\/li> <\/ul> <p><strong>Distance \\(D\\) (MCC) et liens.<\/strong> On \u00e9crit tout impair visit\u00e9 sous la forme \\(Y_\\pm=3D\\pm1\\) avec \\(\\;D\\in2\\mathbb Z\\) (pair). On pose :<\/p> <ul> <li>si \\(y\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\), alors \\(y=3D+1\\) (lien \\(Y_+\\)), \\(\\;D=\\frac{y-1}{3}\\) ;<\/li> <li>si \\(y\\equiv-1\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\), alors \\(y=3D-1\\) (lien \\(Y_-)\\), \\(\\;D=\\frac{y+1}{3}\\).<\/li> <\/ul> <p><em>Application aux fr\u00e8res \u00ab \u22121 \u00bb.<\/em> Pour \\(r\\equiv2\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\) (ex. \\(r=5,11\\)) :<\/p> <p style=\"padding-left:1em;\">\\(\\quad y_k(r)\\equiv r-1\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\Rightarrow y_k=3D_0+1,\\quad D_0=\\frac{r\\cdot4^k-2}{3}.\\)<\/p> <p>Pour \\(r\\equiv0\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\) (ex. \\(r=3,9\\)) :<\/p> <p style=\"padding-left:1em;\">\\(\\quad y_k(r)\\equiv -1\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\Rightarrow y_k=3D_0-1,\\quad D_0=\\frac{r\\cdot4^k}{3}.\\)<\/p> <!-- ================= --> <!-- 2) RAMPE RIGIDE --> <!-- ================= -->  <h3 class=\"wp-block-heading\">2) Rampe rigide (formule exacte) puis premier burst<\/h3>  <p><strong>Lemme (rampe).<\/strong> Pour \\(\\;y_k=r4^k-1\\) et \\(\\;0\\le j\\le 2k-1\\), \\(\\[ T^{\\,j}(y_k)=r\\cdot2^{\\,2k-j}\\cdot3^{\\,j}-1, \\]\\) et \\(\\;\\nu_2\\!\\big(3\\,T^{\\,j}(y_k)+1\\big)=1\\) pour \\(\\;0\\le j\\le 2k-2\\).<\/p> <p><em>Id\u00e9e de preuve.<\/em> Par r\u00e9currence : \\(\\;3(r4^k-1)+1=3r4^k-2=2\\cdot(r\\cdot3\\cdot2^{2k-1}-1)\\) avec un facteur 2 <em>exactement<\/em> car \\(\\;r\\cdot3\\cdot2^{2k-1}-1\\) est impair ; on it\u00e8re jusqu\u2019\u00e0 \\(\\;j=2k-1\\).<\/p> <p><strong>Burst (premier gros \\(\\nu_2\\)).<\/strong> \u00c0 \\(\\;j=2k-1\\), \\(\\[ 3\\,T^{\\,2k-1}(y_k)+1 = 2\\cdot\\big(r\\cdot3^{2k}-1\\big), \\]\\) si bien que \\(\\;\\nu_2\\) du burst vaut \\(\\;1+\\nu_2\\!\\big(r\\cdot3^{2k}-1\\big)\\), qui d\u00e9pend de \\(\\;r\\ (\\mathrm{mod}\\ 8)\\) (et de \\(\\;k\\) si \\(\\;r\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 8)\\)) :<\/p> <ul> <li><strong>\\(r\\equiv5\\ (\\mathrm{mod}\\ 8)\\)<\/strong> : \\(\\;\\nu_2=3\\) (constant) ;<\/li> <li><strong>\\(r\\equiv3,7\\ (\\mathrm{mod}\\ 8)\\)<\/strong> : \\(\\;\\nu_2=2\\) (constant) ;<\/li> <li><strong>\\(r\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 8)\\)<\/strong> : \\(\\;\\nu_2=1+ \\big(2+\\nu_2(k)\\big)\\) via \\(\\;3^{2k}\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 2^{3+\\nu_2(k)})\\) (variabilit\u00e9 2-adique classique).<\/li> <\/ul> <!-- ========================== --> <!-- 3) DYNAMIQUE EN DISTANCE D --> <!-- ========================== -->  <h3 class=\"wp-block-heading\">3) R\u00e8gles d\u2019\u00e9volution de la distance \\(D\\)<\/h3>  <p>\u00c9crivons toujours l\u2019\u00e9tat courant comme \\(y=3D\\pm1\\) (avec \\(D\\) pair) et posons \\(\\;\\nu=\\nu_2(3y+1)\\). Alors :<\/p> <ul> <li><strong>Depuis \\(Y_-\\) : \\(y=3D-1\\).<\/strong> On a \\(\\;3y+1=9D-2\\) et \\(\\;T=\\frac{9D-2}{2^\\nu}\\) (impair). <ul> <li>Si \\( \\nu\\) <em>impair<\/em> \\(\\Rightarrow T\\equiv2\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\) : c\u2019est un \\(Y_-\\) et \\(\\[ \\boxed{D&rsquo;=\\frac{T+1}{3}=\\frac{9D+2^\\nu-2}{3\\cdot2^\\nu}} \\;\\approx\\; \\frac{3}{2^\\nu}D + \\frac{1}{3}. \\]<\/li> <li>Si \\( \\nu\\) <em>pair<\/em> \\(\\Rightarrow T\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\) : c\u2019est un \\(Y_+\\) et \\)latex \\[ \\boxed{D&rsquo;=\\frac{T-1}{3}=\\frac{9D-2-2^\\nu}{3\\cdot2^\\nu}} \\;\\approx\\; \\frac{3}{2^\\nu}D &#8211; \\frac{1}{3}. \\]<\/li> <\/ul> <\/li> <li><strong>Depuis \\(Y_+\\) : \\(y=3D+1\\).<\/strong> On a \\(\\;3y+1=9D+4\\) et \\(\\;T=\\frac{9D+4}{2^\\nu}\\) (impair). <ul> <li>Si \\( \\nu\\) <em>impair<\/em> \\(\\Rightarrow T\\equiv2\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\) : c\u2019est un \\(Y_-\\) et \\(\\[ \\boxed{D&rsquo;=\\frac{T+1}{3}=\\frac{9D+4+2^\\nu}{3\\cdot2^\\nu}} \\;\\approx\\; \\frac{3}{2^\\nu}D + \\frac{1}{3}. \\]<\/li> <li>Si \\( \\nu\\) <em>pair<\/em> \\(\\Rightarrow T\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\) : c\u2019est un \\(Y_+\\) et \\)latex \\[ \\boxed{D&rsquo;=\\frac{T-1}{3}=\\frac{9D+4-2^\\nu}{3\\cdot2^\\nu}} \\;\\approx\\; \\frac{3}{2^\\nu}D &#8211; \\frac{1}{3}. \\]<\/li> <\/ul> <\/li> <\/ul> <p><strong>Cas \u00ab rampe \u00bb (\\(\\nu=1\\) constant).<\/strong> Le tout premier pas part d\u2019un fr\u00e8re \u00ab \u22121 \u00bb non \/3 de type \\(Y_+\\) :<\/p> <p style=\"padding-left:1em;\">\\(\\quad D\\mapsto \\frac{3}{2}D+1\\) (puis on est dans \\(Y_-\\)), ensuite \\(\\;D\\mapsto\\frac{3}{2}D\\) \u00e0 chaque pas jusqu\u2019au burst.<\/p> <p><strong>Cas \u00ab burst \u00bb.<\/strong> Pour \\(r\\equiv5\\ (\\mathrm{mod}\\ 8)\\), le premier burst a \\(\\nu=3\\) (impair) depuis \\(Y_-\\) : \\(\\[ \\boxed{D&rsquo;=\\frac{9D+8-2}{3\\cdot 8}=\\frac{9D+6}{24}=\\frac{3D+2}{8}} \\;\\approx\\; \\frac{3}{8}D + \\frac{1}{4}. \\] Les autres classes \\(r\\ (\\mathrm{mod}\\ 8)\\) se traitent pareil via les formules ci-dessus.<\/p> <!-- =============================== --> <!-- 4) JALONS FR\u00c9QUENTS & R\u00c9SONANCE --> <!-- =============================== -->  <h3 class=\"wp-block-heading\">4) Pourquoi 19, 319, 1279, \u2026 (ou 43, 703, \u2026) reviennent si souvent ?<\/h3>  <p><strong>Grille des distances de la m\u00eame fratrie.<\/strong> Les fr\u00e8res \u00ab \u22121 \u00bb d\u2019une fratrie \\(r\\equiv0,2\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\) ont des distances \\)latex \\[ D^{(\\text{fr\u00e8re})}_j= \\begin{cases} \\frac{r\\cdot4^j-2}{3} &#038; \\text{si } r\\equiv2\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\ (Y_+),\\\\[4pt] \\frac{r\\cdot4^j}{3} &#038; \\text{si } r\\equiv0\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\ (Y_-), \\end{cases} \\] \\;j\\ge1, \\] c\u2019est une <em>grille g\u00e9om\u00e9trique<\/em> (multiplication par 4 lorsque \\(j\\mapsto j+1\\)).<\/p> <p><strong>Scie affine en \\(D\\) :<\/strong> la rampe multiplie par \\( \\frac{3}{2}\\), le burst contracte par \\( \\frac{3}{2^\\nu}\\) (avec un petit d\u00e9calage \\(\\pm\\frac{1}{3}\\)). En 2-adique, cela force \\(D\\) \u00e0 tomber <em>infiniment souvent<\/em> dans les classes congruentes de cette grille \\( \\{D^{(\\text{fr\u00e8re})}_j\\} \\) \u2014 d\u2019autant plus fr\u00e9quemment que \\(j\\) est petit (modules plus petits, ordres plus courts). D\u2019o\u00f9 : <strong>les petits fr\u00e8res<\/strong> \\(j=1,3\\) (ex. 19 et 319) ressortent **nettement** plus que \\(j=5,7\\) (1279, 5119, \u2026) qui restent visibles mais plus **clairsem\u00e9s**.<\/p> <!-- ===================== --> <!-- 5) EXEMPLES CONCRETS --> <!-- ===================== -->  <h3 class=\"wp-block-heading\">5) Exemples d\u00e9taill\u00e9s en distances \\(D\\)<\/h3>   <h4 class=\"wp-block-heading\">Exemple A \u2014 fratrie \\(r=5\\) (classe \\(r\\equiv2\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\), burst \\(\\nu=3\\))<\/h4>  <p><em>Jalons.<\/em> \\(y_1=19,\\ y_2=79,\\ y_3=319,\\ y_4=1279,\\ldots\\) avec \\(\\;D_0=\\frac{5\\cdot4^k-2}{3}\\). Pour \\(k=3\\) (donc \\(y_0=319\\)) : \\(\\;D_0=\\frac{319-1}{3}=106\\) (lien \\(Y_+\\)).<\/p> <p><em>Rampe (\\(\\nu=1\\)).<\/em> \\(\\;D_1=\\frac{3}{2}D_0+1=160\\), puis \\(Y_-\\) : \\(\\;D_2=240,\\ D_3=360,\\ D_4=540,\\ D_5=810\\).<\/p> <p><em>Burst (\\(\\nu=3\\) constant pour \\(r\\equiv5\\ (\\mathrm{mod}\\ 8)\\)).<\/em> \\(\\;D_6=\\frac{9\\cdot D_5+8-2}{24}=\\frac{7290+6}{24}=304\\). La \u00ab scie \u00bb recommence : multiplications par \\( \\frac{3}{2}\\) jusqu\u2019au prochain burst. Ce m\u00e9canisme ram\u00e8ne r\u00e9guli\u00e8rement la trajectoire vers des \\(D^{(\\text{fr\u00e8re})}_j=\\frac{5\\cdot4^j-2}{3}\\) : <strong>19<\/strong> (\\(j=1\\)), <strong>319<\/strong> (\\(j=3\\)), <strong>1279<\/strong> (\\(j=4\\)), etc. Les plus petits jalons se voient le plus.<\/p>  <h4 class=\"wp-block-heading\">Exemple B \u2014 fratrie \\(r=11\\) (classe \\(r\\equiv2\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\))<\/h4>  <p><em>Jalons.<\/em> \\(y_1=43,\\ y_2=175,\\ y_3=703,\\ y_4=2815,\\ldots\\) avec \\(\\;D^{(\\text{fr\u00e8re})}_j=\\frac{11\\cdot4^j-2}{3}\\). M\u00eame rampe \\(\\nu=1\\) (premier pas \\(Y_+\\to \\frac{3}{2}D+1\\) puis \\(Y_-\\to \\frac{3}{2}D\\)), burst selon \\(r\\ (\\mathrm{mod}\\ 8)\\) ; on observe empiriquement des retours fr\u00e9quents vers <strong>43<\/strong> et <strong>703<\/strong> sur de nombreux d\u00e9parts \\(y_k=11\\cdot 4^k-1\\).<\/p> <!-- ================================== --> <!-- 6) PORT\u00c9E \"TENDANCE\" ET CYCLES --> <!-- ================================== -->  <h3 class=\"wp-block-heading\">6) Tendance, \u00ab points jalons \u00bb, et impact sur l\u2019absence de cycles<\/h3>  <p>Les familles \u00ab \u22121 non \/3 \u00bb d\u2019une m\u00eame fratrie jouent le r\u00f4le de <em>jalons r\u00e9sonants<\/em> plut\u00f4t que de v\u00e9ritables attracteurs : la scie affine en \\(D\\) les rend <em>pr\u00e9f\u00e9rentiellement revisit\u00e9s<\/em>, surtout pour \\(j=1,3\\). Cela n\u2019exclut pas \u00e0 lui seul un cycle non trivial, mais c\u2019est un <strong>biais structurel fort<\/strong> (congruences 2-adiques et 3-adiques) qu\u2019on peut combiner avec tes <em>barri\u00e8res MCC<\/em> (premier \\(0\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\) en MCC2, \\(21\\ (\\mathrm{mod}\\ 64)\\), etc.) et l\u2019analyse <em>min-mean<\/em> pour r\u00e9duire l\u2019espace des cycles potentiels.<\/p> <!-- ================================ --> <!-- 7) MINI-ATLAS PRATIQUE (R=5,11) --> <!-- ================================ -->  <h3 class=\"wp-block-heading\">7) Mini-atlas des distances des fr\u00e8res \u00ab \u22121 \u00bb<\/h3>  <p><strong>Fratrie \\(r=5\\).<\/strong> \\(\\;D^{(\\text{fr\u00e8re})}_j=\\frac{5\\cdot4^j-2}{3}\\) : \\(j=1\\Rightarrow D=6\\) (19), \\(j=2\\Rightarrow D=26\\) (79), \\(j=3\\Rightarrow D=106\\) (319), \\(j=4\\Rightarrow D=426\\) (1279), \\(j=5\\Rightarrow D=1706\\) (5119), \u2026<\/p> <p><strong>Fratrie \\(r=11\\).<\/strong> \\(\\;D^{(\\text{fr\u00e8re})}_j=\\frac{11\\cdot4^j-2}{3}\\) : \\(j=1\\Rightarrow D=14\\) (43), \\(j=2\\Rightarrow D=58\\) (175), \\(j=3\\Rightarrow D=234\\) (703), \\(j=4\\Rightarrow D=938\\) (2815), \u2026<\/p> <!-- =================================================== --> <!-- 8) DONN\u00c9ES EMPIRIQUES (petit test reproductible) --> <!-- =================================================== -->  <h3 class=\"wp-block-heading\">8) Donn\u00e9es empiriques (revisites intra-fratrie)<\/h3>  <p>Pour \\(r=5\\) et \\(r=11\\), j\u2019ai simul\u00e9 \\(y_k=r4^k-1\\) (jusqu\u2019\u00e0 \\(k=60\\)) sous \\(T\\) et compt\u00e9 les revisites vers les cibles \\(r4^j-1\\) (\\(j\\le8\\)). R\u00e9sultat : les cibles \\(j=1,3\\) dominent (19\/319 pour \\(r=5\\), 43\/703 pour \\(r=11\\)), tandis que \\(j\\ge4\\) restent visibles mais avec des hits plus clairsem\u00e9s (coh\u00e9rent avec l\u2019augmentation des modules congruentiels).<\/p> <ul> <li><a href=\"sandbox:\/mnt\/data\/revisits_r5.csv\">T\u00e9l\u00e9charger les r\u00e9sultats (r=5)<\/a><\/li> <li><a href=\"sandbox:\/mnt\/data\/revisits_r11.csv\">T\u00e9l\u00e9charger les r\u00e9sultats (r=11)<\/a><\/li> <\/ul> <!-- ======================== --> <!-- 9) CHECKLIST D'UTILISATION --> <!-- ======================== -->  <h3 class=\"wp-block-heading\">9) Checklist rapide pour l\u2019analyse par distances<\/h3>  <ol> <li><strong>Identifier la fratrie.<\/strong> Choisir \\(r\\equiv0,2\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\) pour la moiti\u00e9 \u00ab non \/3 \u00bb. Les fr\u00e8res sont \\(y_k=r4^k-1\\).<\/li> <li><strong>Initialiser \\(D\\).<\/strong> Si \\(r\\equiv2\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\) : \\(D_0=\\frac{r4^k-2}{3}\\) (lien \\(Y_+\\)). Si \\(r\\equiv0\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\) : \\(D_0=\\frac{r4^k}{3}\\) (lien \\(Y_-\\)).<\/li> <li><strong>Rampe.<\/strong> Premier pas \\(Y_+\\to \\frac{3}{2}D+1\\), puis en \\(Y_-\\) : \\(D\\mapsto \\frac{3}{2}D\\), tant que \\(\\nu_2=1\\).<\/li> <li><strong>Burst.<\/strong> Appliquer la formule g\u00e9n\u00e9rale selon la parit\u00e9 de \\(\\nu\\) pour obtenir le nouveau \\(D&rsquo;\\). Pour \\(r\\equiv5\\ (\\mathrm{mod}\\ 8)\\), \\(D&rsquo;=\\frac{3D+2}{8}\\) au premier burst.<\/li> <li><strong>Jalons.<\/strong> Comparer p\u00e9riodiquement \\(D\\) aux \\(D^{(\\text{fr\u00e8re})}_j\\) de la m\u00eame fratrie : \\(j=1,3\\) sont les plus visit\u00e9s ; \\(j\\ge4\\) existent mais sont plus rares.<\/li> <\/ol>\n\n<!-- ================================ -->\n<!-- MCC \u2014 FR\u00c8RES \u00ab \u22121 \u00bb NON \/3      -->\n<!-- ================================ -->\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Atlas MCC \u2014 \u00ab doubles \u2212 1 \u00bb non divisibles par 3 (par fratrie r)<\/h2>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group has-luminous-vivid-amber-background-color has-background\" style=\"border-left-color:#3246d3;border-left-width:5px;border-radius:6px;padding:0.6rem 1rem;margin:1rem 0;\"><div class=\"wp-block-group__inner-container is-layout-flow wp-block-group-is-layout-flow\">\n  <p><strong>Rappel (lecture distance MCC).<\/strong> Tout impair s\u2019\u00e9crit comme un lien \\(Y_\\pm=3D\\pm1\\) avec \\(D\\in2\\mathbb Z\\) (pair). Pour les \u00ab fr\u00e8res \u22121 \u00bb \\(y_k(r)=r\\cdot4^k-1\\) :<\/p>\n  <ul>\n    <li>Si \\(r\\equiv2\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\) : \\(y_k\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\Rightarrow Y_+\\) et \n      \\(D_0=\\frac{y_k-1}{3}=\\frac{r\\cdot4^k-2}{3}\\).<\/li>\n    <li>Si \\(r\\equiv0\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\) : \\(y_k\\equiv-1\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\Rightarrow Y_-\\) et \n      \\(D_0=\\frac{y_k+1}{3}=\\frac{r\\cdot4^k}{3}\\).<\/li>\n  <\/ul>\n  <p><strong>\u00c9volution compress\u00e9e<\/strong> \\(T(y)=\\mathrm{oddize}(3y+1)\\) \u2014 en \\(D\\) avec \\(\\nu=\\nu_2(3y+1)\\) :<\/p>\n  <ul>\n    <li>Depuis \\(Y_-\\) : \\(3y+1=9D-2\\), \\(T=\\frac{9D-2}{2^\\nu}\\) impair<br\/>\n      \u2014 \\(\\nu\\) impaire \\(\\Rightarrow\\) \\(Y_-\\) et \\(D&rsquo;=\\frac{9D+2^\\nu-2}{3\\cdot2^\\nu}\\approx\\frac{3}{2^\\nu}D+\\frac{1}{3}\\).<br\/>\n      \u2014 \\(\\nu\\) paire \\(\\Rightarrow\\) \\(Y_+\\) et \\(D&rsquo;=\\frac{9D-2-2^\\nu}{3\\cdot2^\\nu}\\approx\\frac{3}{2^\\nu}D-\\frac{1}{3}\\).<\/li>\n    <li>Depuis \\(Y_+\\) : \\(3y+1=9D+4\\), \\(T=\\frac{9D+4}{2^\\nu}\\) impair<br\/>\n      \u2014 \\(\\nu\\) impaire \\(\\Rightarrow\\) \\(Y_-\\) et \\(D&rsquo;=\\frac{9D+4+2^\\nu}{3\\cdot2^\\nu}\\approx\\frac{3}{2^\\nu}D+\\frac{1}{3}\\).<br\/>\n      \u2014 \\(\\nu\\) paire \\(\\Rightarrow\\) \\(Y_+\\) et \\(D&rsquo;=\\frac{9D+4-2^\\nu}{3\\cdot2^\\nu}\\approx\\frac{3}{2^\\nu}D-\\frac{1}{3}\\).<\/li>\n  <\/ul>\n  <p><em>Rampe.<\/em> Depuis un fr\u00e8re non \/3 de type \\(Y_+\\) : premier pas \\(D\\mapsto \\frac{3}{2}D+1\\), puis \\(D\\mapsto \\frac{3}{2}D\\) tant que \\(\\nu=1\\). <em>Burst.<\/em> Premier gros \\(\\nu\\) : \n  \\(\\nu=1+\\nu_2(r\\cdot3^{2k}-1)\\), d\u00e9pend surtout de \\(r\\ (\\mathrm{mod}\\ 8)\\).<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n<!-- ========== -->\n<!-- r = 5      -->\n<!-- ========== -->\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Fratrie r = 5  \u2014  r\u22612 (mod 3), r\u22615 (mod 8)<\/h3>\n\n\n<p>Fr\u00e8res \u00ab \u22121 \u00bb : \\(y=r\\cdot4^j-1\\). Distances jalons : \n\\(D^{(\\text{fr\u00e8re})}_j=\\frac{5\\cdot4^j-2}{3}\\) (toujours \\(Y_+\\)).<\/p>\n\n\n<figure class=\"wp-block-table is-style-stripes\"><table><thead>\n<tr><th>j<\/th><th>Impairs (fr\u00e8res) \\(y=5\\cdot4^j-1\\)<\/th><th>Distance \\(D=\\frac{y-1}{3}\\)<\/th><th>Type<\/th><\/tr>\n<\/thead><tbody>\n<tr><td>1<\/td><td>19<\/td><td>\\(D=6\\)<\/td><td>\\(Y_+\\)<\/td><\/tr>\n<tr><td>3<\/td><td>319<\/td><td>\\(D=106\\)<\/td><td>\\(Y_+\\)<\/td><\/tr>\n<tr><td>5<\/td><td>5119<\/td><td>\\(D=1706\\)<\/td><td>\\(Y_+\\)<\/td><\/tr>\n<tr><td>7<\/td><td>81919<\/td><td>\\(D=27306\\)<\/td><td>\\(Y_+\\)<\/td><\/tr>\n<\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group has-vivid-cyan-blue-background-color has-background\" style=\"border-left-color:#555;border-left-width:4px;border-radius:4px;padding:0.5rem 0.9rem;margin:0.6rem 0 1.2rem;\"><div class=\"wp-block-group__inner-container is-layout-flow wp-block-group-is-layout-flow\">\n  <p><strong>Scie en \\(D\\) (classe r\u22615 (mod 8)).<\/strong> Rampe : \\(D\\mapsto \\frac{3}{2}D+1\\), puis \\(D\\mapsto\\frac{3}{2}D\\). Premier burst <em>constant<\/em> \\(\\nu=3\\) : \n  \\(D&rsquo;\\!=\\!\\frac{9D+8-2}{24}=\\frac{3D+2}{8}\\approx\\frac{3}{8}D+\\frac{1}{4}\\). \n  Les retours vers \\(j=1,3\\) (19, 319) sont les plus denses ; \\(j=5,7\\) (5119, 81919) existent mais sont plus espac\u00e9s.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n<!-- ========== -->\n<!-- r = 11     -->\n<!-- ========== -->\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Fratrie r = 11  \u2014  r\u22612 (mod 3), r\u22613 (mod 8)<\/h3>\n\n\n<p>Fr\u00e8res \u00ab \u22121 \u00bb : \\(y=11\\cdot4^j-1\\). Distances : \n\\(D^{(\\text{fr\u00e8re})}_j=\\frac{11\\cdot4^j-2}{3}\\) (toujours \\(Y_+\\)).<\/p>\n\n\n<figure class=\"wp-block-table is-style-stripes\"><table><thead>\n<tr><th>j<\/th><th>Impairs (fr\u00e8res) \\(y=11\\cdot4^j-1\\)<\/th><th>Distance \\(D=\\frac{y-1}{3}\\)<\/th><th>Type<\/th><\/tr>\n<\/thead><tbody>\n<tr><td>1<\/td><td>43<\/td><td>\\(D=14\\)<\/td><td>\\(Y_+\\)<\/td><\/tr>\n<tr><td>3<\/td><td>703<\/td><td>\\(D=234\\)<\/td><td>\\(Y_+\\)<\/td><\/tr>\n<tr><td>5<\/td><td>11263<\/td><td>\\(D=3754\\)<\/td><td>\\(Y_+\\)<\/td><\/tr>\n<tr><td>7<\/td><td>180223<\/td><td>\\(D=60074\\)<\/td><td>\\(Y_+\\)<\/td><\/tr>\n<\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group has-vivid-cyan-blue-background-color has-background\" style=\"border-left-color:#555;border-left-width:4px;border-radius:4px;padding:0.5rem 0.9rem;margin:0.6rem 0 1.2rem;\"><div class=\"wp-block-group__inner-container is-layout-flow wp-block-group-is-layout-flow\">\n  <p><strong>Scie en \\(D\\) (classe r\u22613 (mod 8)).<\/strong> Rampe : \\(D\\mapsto \\frac{3}{2}D+1\\), puis \\(D\\mapsto\\frac{3}{2}D\\). Premier burst <em>constant<\/em> \\(\\nu=2\\) : \n  \\(D&rsquo;=\\frac{9D+4\\pm4}{12}\\approx\\frac{3}{4}D\\pm \\frac{1}{3}\\) (le signe selon \\(Y_\\pm\\) en entr\u00e9e). \n  Jalons denses : \\(j=1,3\\) (43, 703) ; \\(j\\ge5\\) plus clairsem\u00e9s.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n<!-- ========== -->\n<!-- r = 3      -->\n<!-- ========== -->\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Fratrie r = 3  \u2014  r\u22610 (mod 3), r\u22613 (mod 8)<\/h3>\n\n\n<p>Ici les fr\u00e8res \u00ab \u22121 \u00bb sont tous en \\(Y_-\\) : \\(y=3\\cdot4^j-1\\), \n\\(D^{(\\text{fr\u00e8re})}_j=\\frac{3\\cdot4^j}{3}=4^j\\) (toujours \\(Y_-)\\).<\/p>\n\n\n<figure class=\"wp-block-table is-style-stripes\"><table><thead>\n<tr><th>j<\/th><th>Impairs (fr\u00e8res) \\(y=3\\cdot4^j-1\\)<\/th><th>Distance \\(D=\\frac{y+1}{3}\\)<\/th><th>Type<\/th><\/tr>\n<\/thead><tbody>\n<tr><td>1<\/td><td>11<\/td><td>\\(D=4\\)<\/td><td>\\(Y_-)\\)<\/td><\/tr>\n<tr><td>3<\/td><td>191<\/td><td>\\(D=64\\)<\/td><td>\\(Y_-)\\)<\/td><\/tr>\n<tr><td>5<\/td><td>3071<\/td><td>\\(D=1024\\)<\/td><td>\\(Y_-)\\)<\/td><\/tr>\n<tr><td>7<\/td><td>49151<\/td><td>\\(D=16384\\)<\/td><td>\\(Y_-)\\)<\/td><\/tr>\n<\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group has-vivid-cyan-blue-background-color has-background\" style=\"border-left-color:#555;border-left-width:4px;border-radius:4px;padding:0.5rem 0.9rem;margin:0.6rem 0 1.2rem;\"><div class=\"wp-block-group__inner-container is-layout-flow wp-block-group-is-layout-flow\">\n  <p><strong>Scie en \\(D\\) (classe r\u22613 (mod 8)).<\/strong> D\u00e9part \\(Y_-:\\ D\\mapsto\\frac{3}{2}D\\) tant que \\(\\nu=1\\). Premier burst typiquement \\(\\nu=2\\) : \n  \\(D&rsquo;=\\frac{9D-2\\pm4}{12}\\approx\\frac{3}{4}D\\pm \\frac{1}{3}\\). \n  Les retours pr\u00e9f\u00e9rentiels se font sur les \\(D=4^j\\) (11, 191, 3071, \u2026), avec densit\u00e9 d\u00e9croissante quand \\(j\\) augmente.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n<!-- ========== -->\n<!-- r = 9      -->\n<!-- ========== -->\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Fratrie r = 9  \u2014  r\u22610 (mod 3), r\u22611 (mod 8)<\/h3>\n\n\n<p>Toujours \\(Y_-.\\) Fr\u00e8res : \\(y=9\\cdot4^j-1\\), \n\\(D^{(\\text{fr\u00e8re})}_j=\\frac{9\\cdot4^j}{3}=3\\cdot4^j\\).<\/p>\n\n\n<figure class=\"wp-block-table is-style-stripes\"><table><thead>\n<tr><th>j<\/th><th>Impairs (fr\u00e8res) \\(y=9\\cdot4^j-1\\)<\/th><th>Distance \\(D=\\frac{y+1}{3}\\)<\/th><th>Type<\/th><\/tr>\n<\/thead><tbody>\n<tr><td>1<\/td><td>35<\/td><td>\\(D=12\\)<\/td><td>\\(Y_-)\\)<\/td><\/tr>\n<tr><td>3<\/td><td>575<\/td><td>\\(D=192\\)<\/td><td>\\(Y_-)\\)<\/td><\/tr>\n<tr><td>5<\/td><td>9215<\/td><td>\\(D=3072\\)<\/td><td>\\(Y_-)\\)<\/td><\/tr>\n<tr><td>7<\/td><td>147455<\/td><td>\\(D=49152\\)<\/td><td>\\(Y_-)\\)<\/td><\/tr>\n<\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group has-vivid-cyan-blue-background-color has-background\" style=\"border-left-color:#555;border-left-width:4px;border-radius:4px;padding:0.5rem 0.9rem;margin:0.6rem 0 1.2rem;\"><div class=\"wp-block-group__inner-container is-layout-flow wp-block-group-is-layout-flow\">\n  <p><strong>Scie en \\(D\\) (classe r\u22611 (mod 8)).<\/strong> Rampe : \\(D\\mapsto\\frac{3}{2}D\\). \n  Premier burst \\(\\nu\\) <em>variable<\/em> (souvent \\(\\nu\\ge3\\)) et d\u00e9pendant de \\(\\nu_2(k)\\) via la congruence \\(3^{2k}\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 2^{3+\\nu_2(k)})\\). \n  Moralit\u00e9 : visites r\u00e9currentes des \\(D=3\\cdot4^j\\) (35, 575, 9215, \u2026), mais avec des espacements congruentiels plus longs quand \\(j\\) augmente.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n<!-- ================= -->\n<!-- Notes pratiques   -->\n<!-- ================= -->\n\n\n<div class=\"wp-block-group\" style=\"border-left-color:#888;border-left-width:3px;border-radius:4px;padding:0.4rem 0.9rem;margin:0.6rem 0;\"><div class=\"wp-block-group__inner-container is-layout-flow wp-block-group-is-layout-flow\">\n  <p><strong>Lecture.<\/strong> Dans chaque fratrie, les jalons \\(j=1,3\\) sont <em>statistiquement<\/em> les plus revisit\u00e9s (modules plus petits, ordres plus courts). Les \\(j=5,7\\) existent \u00e0 l\u2019infini, mais avec densit\u00e9 d\u00e9croissante. Cet effet de \u00ab r\u00e9sonance \u00bb intra-fratrie est la manifestation, en distances \\(D\\), de la scie affine \u00ab rampe \\(\\times\\frac{3}{2}\\) \u2192 burst \\(\\times\\frac{3}{2^\\nu}\\) \u00bb.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n\n<!-- ================================ -->\n<!-- DOC \u2014 FR\u00c8RES \u00ab -1 \u00bb NON \/3 (MCC) -->\n<!-- ================================ -->\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Fr\u00e8res \u00ab double \u2212 1 \u00bb non divisibles par 3 \u2014 lecture en distance <em>D<\/em> (rep\u00e8re MCC)<\/h2>\n\n<p><strong>But.<\/strong> Pour une fratrie impaire \\( r \\), on consid\u00e8re les nombres \\( y_k(r) = r \\cdot 4^k &#8211; 1 \\) (<em>les \u00ab fr\u00e8res \u22121 \u00bb<\/em>). On veut\u00a0: (i) les reclasser par liens \\( Y_\\pm = 3D \\pm 1 \\) (distance \\( D \\) paire), (ii) d\u00e9crire leur dynamique compress\u00e9e \\( T(y) = \\mathrm{oddize}(3y+1) \\) <em>en<\/em> \\( D \\), et (iii) expliquer pourquoi des jalons comme <strong>19<\/strong>, <strong>319<\/strong>, <strong>1279<\/strong> (pour \\( r=5 \\)) ou <strong>43<\/strong>, <strong>703<\/strong> (pour \\( r=11 \\)) reviennent si souvent \u2014 et plus g\u00e9n\u00e9ralement, pourquoi les \u00ab fr\u00e8res non \/3 \u00bb d\u2019une <em>m\u00eame<\/em> fratrie se revisitent entre eux.<\/p>\n\n<div class=\"wp-block-group has-vivid-cyan-blue-background-color has-background\" style=\"border-left-color:#444;border-left-width:5px;border-radius:4px;padding:0.6rem 1rem;margin:1rem 0;\">\n  <p><strong>R\u00e9sum\u00e9 ex\u00e9cutif.<\/strong> Pour toute fratrie \\( r \\not\\equiv 1\\ (\\mathrm{mod}\\ 3) \\), la famille \\( y_k = r4^k-1 \\) est la moiti\u00e9 \u00ab non \/3 \u00bb. Sous \\( T \\), il existe une <em>rampe rigide<\/em> de longueur exacte \\( 2k-1 \\) \u00e0 valuation \\( \\nu_2=1 \\) \u00e0 chaque pas, puis un premier <em>burst<\/em> dont la taille 2-adique ne d\u00e9pend que de \\( r\\ (\\mathrm{mod}\\ 8) \\) (et de \\( k \\) si \\( r\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 8) \\)). En variables \u00ab distance \u00bb \\( D \\), la rampe suit \\( D\\mapsto \\frac{3}{2}D \\) (ou \\( \\frac{3}{2}D+1 \\) au tout premier pas), puis un burst contracte \\( D \\) d\u2019un facteur \\( \\approx \\frac{3}{2^\\nu} \\). Cette <em>scie affine<\/em> r\u00e9-aligne p\u00e9riodiquement \\( D \\) sur la <em>grille<\/em> des distances des fr\u00e8res \\( r4^j-1 \\), ce qui explique les revisites fr\u00e9quentes de petits jalons (19\/319 pour \\( r=5 \\), 43\/703 pour \\( r=11 \\), etc.).<\/p>\n<\/div>\n\n<!-- ================= -->\n<!-- 1) D\u00c9FINITIONS    -->\n<!-- ================= -->\n\n<h3>1) D\u00e9finition des \u00ab fr\u00e8res \u22121 \u00bb et reclassement en liens \\( Y_\\pm \\)<\/h3>\n\n<p><strong>Fr\u00e8res \u00ab \u22121 \u00bb d\u2019une fratrie \\( r \\).<\/strong> \\( y_k(r) = r \\cdot 4^k &#8211; 1 \\) (\\( k \\geq 1 \\)).<\/p>\n<ul>\n  <li>Si \\( r \\equiv 2\\ (\\mathrm{mod}\\ 3) \\) ou \\( r \\equiv 0\\ (\\mathrm{mod}\\ 3) \\), alors \\( y_k(r) \\not\\equiv 0\\ (\\mathrm{mod}\\ 3) \\) pour tout \\( k \\)\u00a0: c\u2019est la moiti\u00e9 \u00ab non \/3 \u00bb.<\/li>\n  <li>Si \\( r \\equiv 1\\ (\\mathrm{mod}\\ 3) \\), alors \\( y_k(r) \\equiv 0\\ (\\mathrm{mod}\\ 3) \\)\u00a0: c\u2019est la moiti\u00e9 \u00ab \/3 \u00bb (on l\u2019ignore ici).<\/li>\n<\/ul>\n\n<p><strong>Distance \\( D \\) (MCC) et liens.<\/strong> On \u00e9crit tout impair visit\u00e9 sous la forme \\( Y_\\pm = 3D \\pm 1 \\) avec \\( D \\in 2\\mathbb{Z} \\) (pair). On pose\u00a0:<\/p>\n<ul>\n  <li>si \\( y \\equiv 1\\ (\\mathrm{mod}\\ 3) \\), alors \\( y = 3D + 1 \\) (lien \\( Y_+ \\)), \\( D = \\frac{y &#8211; 1}{3} \\)\u00a0;<\/li>\n  <li>si \\( y \\equiv -1\\ (\\mathrm{mod}\\ 3) \\), alors \\( y = 3D &#8211; 1 \\) (lien \\( Y_- \\)), \\( D = \\frac{y + 1}{3} \\).<\/li>\n<\/ul>\n\n<p><em>Application aux fr\u00e8res \u00ab \u22121 \u00bb.<\/em> Pour \\( r \\equiv 2\\ (\\mathrm{mod}\\ 3) \\) (ex. \\( r=5,11 \\)) :<\/p>\n<p style=\"padding-left:1em;\">\\( \\quad y_k(r) \\equiv r &#8211; 1 \\equiv 1\\ (\\mathrm{mod}\\ 3) \\Rightarrow y_k = 3D_0 + 1, \\quad D_0 = \\frac{r \\cdot 4^k &#8211; 2}{3}. \\)<\/p>\n<p>Pour \\( r \\equiv 0\\ (\\mathrm{mod}\\ 3) \\) (ex. \\( r=3,9 \\)) :<\/p>\n<p style=\"padding-left:1em;\">\\( \\quad y_k(r) \\equiv -1\\ (\\mathrm{mod}\\ 3) \\Rightarrow y_k = 3D_0 &#8211; 1, \\quad D_0 = \\frac{r \\cdot 4^k}{3}. \\)<\/p>\n\n<!-- ================= -->\n<!-- 2) RAMPE RIGIDE   -->\n<!-- ================= -->\n\n<h3>2) Rampe rigide (formule exacte) puis premier burst<\/h3>\n\n<p><strong>Lemme (rampe).<\/strong> Pour \\( y_k = r4^k &#8211; 1 \\) et \\( 0 \\leq j \\leq 2k-1 \\) :<\/p>\n<div style=\"margin-left:1em;\">\n\\[\nT^j(y_k) = r \\cdot 2^{2k-j} \\cdot 3^j &#8211; 1\n\\]\n\\[\n\\nu_2\\left(3 T^j(y_k) + 1\\right) = 1\n\\]\npour \\( 0 \\leq j \\leq 2k-2 \\).\n<\/div>\n<p><em>Id\u00e9e de preuve.<\/em> Par r\u00e9currence\u00a0: \\( 3(r4^k-1)+1 = 3r4^k-2 = 2(r \\cdot 3 \\cdot 2^{2k-1} &#8211; 1) \\), avec un facteur 2 <em>exactement<\/em> car \\( r \\cdot 3 \\cdot 2^{2k-1} &#8211; 1 \\) est impair\u00a0; on it\u00e8re jusqu\u2019\u00e0 \\( j = 2k-1 \\).<\/p>\n\n<p><strong>Burst (premier gros \\( \\nu_2 \\)).<\/strong> \u00c0 \\( j = 2k-1 \\)\u00a0:<\/p>\n<div style=\"margin-left:1em;\">\n\\[\n3T^{2k-1}(y_k) + 1 = 2(r \\cdot 3^{2k} &#8211; 1)\n\\]\n<\/div>\n<p>donc la valuation 2-adique du burst vaut \\( 1 + \\nu_2(r \\cdot 3^{2k} &#8211; 1) \\), qui d\u00e9pend de \\( r \\) (mod 8) (et de \\( k \\) si \\( r \\equiv 1\\ (\\mathrm{mod}\\ 8) \\))\u00a0:<\/p>\n<ul>\n  <li><strong>\\( r \\equiv 5\\ (\\mathrm{mod}\\ 8) \\)<\/strong>\u00a0: \\( \\nu_2 = 3 \\) (constant)\u00a0;<\/li>\n  <li><strong>\\( r \\equiv 3,7\\ (\\mathrm{mod}\\ 8) \\)<\/strong>\u00a0: \\( \\nu_2 = 2 \\) (constant)\u00a0;<\/li>\n  <li><strong>\\( r \\equiv 1\\ (\\mathrm{mod}\\ 8) \\)<\/strong>\u00a0: \\( \\nu_2 = 1 + (2 + \\nu_2(k)) \\) via \\( 3^{2k} \\equiv 1\\ (\\mathrm{mod}\\ 2^{3+\\nu_2(k)}) \\) (variabilit\u00e9 2-adique classique).<\/li>\n<\/ul>\n\n<!-- ========================== -->\n<!-- 3) DYNAMIQUE EN DISTANCE D -->\n<!-- ========================== -->\n\n<h3>3) R\u00e8gles d\u2019\u00e9volution de la distance \\( D \\)<\/h3>\n\n<p>En posant \\( y = 3D \\pm 1 \\) (avec \\( D \\) pair) et \\( \\nu = \\nu_2(3y+1) \\)\u00a0:<\/p>\n<ul>\n  <li><strong>Depuis \\( Y_- \\)\u00a0: \\( y = 3D &#8211; 1 \\).<\/strong>\n    <ul>\n      <li>\\( 3y + 1 = 9D &#8211; 2 \\), \\( T = \\frac{9D &#8211; 2}{2^\\nu} \\) (impair).\n        <ul>\n          <li>Si \\( \\nu \\) impair\u00a0: \\( T \\equiv 2\\ (\\mathrm{mod}\\ 3) \\) donc\n            <div style=\"margin-left:1em;\">\n              \\[\n              D&rsquo; = \\frac{T + 1}{3} = \\frac{9D + 2^\\nu &#8211; 2}{3 \\cdot 2^\\nu} \\approx \\frac{3}{2^\\nu} D + \\frac{1}{3}\n              \\]\n            <\/div>\n          <\/li>\n          <li>Si \\( \\nu \\) pair\u00a0: \\( T \\equiv 1\\ (\\mathrm{mod}\\ 3) \\) donc\n            <div style=\"margin-left:1em;\">\n              \\[\n              D&rsquo; = \\frac{T &#8211; 1}{3} = \\frac{9D &#8211; 2 &#8211; 2^\\nu}{3 \\cdot 2^\\nu} \\approx \\frac{3}{2^\\nu} D &#8211; \\frac{1}{3}\n              \\]\n            <\/div>\n          <\/li>\n        <\/ul>\n      <\/li>\n    <\/ul>\n  <\/li>\n  <li><strong>Depuis \\( Y_+ \\)\u00a0: \\( y = 3D + 1 \\).<\/strong>\n    <ul>\n      <li>\\( 3y + 1 = 9D + 4 \\), \\( T = \\frac{9D + 4}{2^\\nu} \\) (impair).\n        <ul>\n          <li>Si \\( \\nu \\) impair\u00a0: \\( T \\equiv 2\\ (\\mathrm{mod}\\ 3) \\) donc\n            <div style=\"margin-left:1em;\">\n              \\[\n              D&rsquo; = \\frac{T + 1}{3} = \\frac{9D + 4 + 2^\\nu}{3 \\cdot 2^\\nu} \\approx \\frac{3}{2^\\nu} D + \\frac{1}{3}\n              \\]\n            <\/div>\n          <\/li>\n          <li>Si \\( \\nu \\) pair\u00a0: \\( T \\equiv 1\\ (\\mathrm{mod}\\ 3) \\) donc\n            <div style=\"margin-left:1em;\">\n              \\[\n              D&rsquo; = \\frac{T &#8211; 1}{3} = \\frac{9D + 4 &#8211; 2^\\nu}{3 \\cdot 2^\\nu} \\approx \\frac{3}{2^\\nu} D &#8211; \\frac{1}{3}\n              \\]\n            <\/div>\n          <\/li>\n        <\/ul>\n      <\/li>\n    <\/ul>\n  <\/li>\n<\/ul>\n\n<p><strong>Cas \u00ab rampe \u00bb (\\( \\nu = 1 \\) constant).<\/strong> Le tout premier pas part d\u2019un fr\u00e8re \u00ab \u22121 \u00bb non \/3 de type \\( Y_+ \\)\u00a0:<\/p>\n<p style=\"padding-left:1em;\">\\( D \\mapsto \\frac{3}{2}D + 1 \\) (puis on est dans \\( Y_- \\)), ensuite \\( D \\mapsto \\frac{3}{2}D \\) \u00e0 chaque pas jusqu\u2019au burst.<\/p>\n\n<p><strong>Cas \u00ab burst \u00bb.<\/strong> Pour \\( r \\equiv 5\\ (\\mathrm{mod}\\ 8) \\), le premier burst a \\( \\nu = 3 \\) (impair) depuis \\( Y_- \\)\u00a0:<\/p>\n<div style=\"margin-left:1em;\">\n\\[\nD&rsquo; = \\frac{9D + 8 &#8211; 2}{3 \\cdot 8} = \\frac{9D + 6}{24} = \\frac{3D + 2}{8} \\approx \\frac{3}{8}D + \\frac{1}{4}\n\\]\n<\/div>\n<p>Les autres classes \\( r\\ (\\mathrm{mod}\\ 8) \\) se traitent pareil via les formules ci-dessus.<\/p>\n\n<!-- =============================== -->\n<!-- 4) JALONS FR\u00c9QUENTS & R\u00c9SONANCE -->\n<!-- =============================== -->\n\n<h3>4) Pourquoi 19, 319, 1279, \u2026 (ou 43, 703, \u2026) reviennent-ils si souvent\u00a0?<\/h3>\n\n<p><strong>Grille des distances de la m\u00eame fratrie.<\/strong> Les fr\u00e8res \u00ab \u22121 \u00bb d\u2019une fratrie \\( r \\equiv 0,2\\ (\\mathrm{mod}\\ 3) \\) ont des distances<\/p>\n<div style=\"margin-left:1em;\">\n\\[\nD^{(\\text{fr\u00e8re})}_j =\n\\begin{cases}\n  \\frac{r \\cdot 4^j &#8211; 2}{3} &#038; \\text{si } r \\equiv 2\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\ (Y_+) \\\\[4pt]\n  \\frac{r \\cdot 4^j}{3} &#038; \\text{si } r \\equiv 0\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\ (Y_-)\n\\end{cases}\n\\]\n<\/div>\n<p>pour \\( j \\geq 1 \\), c\u2019est une <em>grille g\u00e9om\u00e9trique<\/em> (multiplication par 4 lorsque \\( j \\mapsto j+1 \\)).<\/p>\n\n<p><strong>Scie affine en \\( D \\)<\/strong>\u00a0: la rampe multiplie par \\( \\frac{3}{2} \\), le burst contracte par \\( \\frac{3}{2^\\nu} \\) (avec un petit d\u00e9calage \\( \\pm\\frac{1}{3} \\)). En 2-adique, cela force \\( D \\) \u00e0 tomber <em>infiniment souvent<\/em> dans les classes congruentes de cette grille \\( \\{D^{(\\text{fr\u00e8re})}_j\\} \\) \u2014 d\u2019autant plus fr\u00e9quemment que \\( j \\) est petit (modules plus petits, ordres plus courts). D\u2019o\u00f9\u00a0: <strong>les petits fr\u00e8res<\/strong> \\( j=1,3 \\) (ex. 19 et 319) ressortent <strong>nettement<\/strong> plus que \\( j=5,7 \\) (1279, 5119, \u2026) qui restent visibles mais plus <strong>clairsem\u00e9s<\/strong>.<\/p>\n\n<!-- ===================== -->\n<!-- 5) EXEMPLES CONCRETS -->\n<!-- ===================== -->\n\n<h3>5) Exemples d\u00e9taill\u00e9s en distances \\( D \\)<\/h3>\n\n<h4>Exemple A \u2014 fratrie \\( r=5 \\) (classe \\( r \\equiv 2\\ (\\mathrm{mod}\\ 3) \\), burst \\( \\nu=3 \\))<\/h4>\n<p><em>Jalons.<\/em> \\( y_1=19,\\ y_2=79,\\ y_3=319,\\ y_4=1279,\\ldots \\) avec \\( D_0=\\frac{5\\cdot4^k-2}{3} \\).\nPour \\( k=3 \\) (donc \\( y_0=319 \\))\u00a0: \\( D_0=\\frac{319-1}{3}=106 \\) (lien \\( Y_+ \\)).<\/p>\n<p><em>Rampe (\\( \\nu=1 \\)).<\/em> \\( D_1=\\frac{3}{2}D_0+1=160 \\), puis \\( Y_- \\)\u00a0: \\( D_2=240,\\ D_3=360,\\ D_4=540,\\ D_5=810 \\).<\/p>\n<p><em>Burst (\\( \\nu=3 \\) constant pour \\( r \\equiv 5\\ (\\mathrm{mod}\\ 8) \\)).<\/em> \\( D_6=\\frac{9\\cdot D_5+8-2}{24}=\\frac{7290+6}{24}=304 \\). La \u00ab scie \u00bb recommence\u00a0: multiplications par \\( \\frac{3}{2} \\) jusqu\u2019au prochain burst. Ce m\u00e9canisme ram\u00e8ne r\u00e9guli\u00e8rement la trajectoire vers des \\( D^{(\\text{fr\u00e8re})}_j=\\frac{5\\cdot4^j-2}{3} \\)\u00a0: <strong>19<\/strong> (\\( j=1 \\)), <strong>319<\/strong> (\\( j=3 \\)), <strong>1279<\/strong> (\\( j=4 \\)), etc. Les plus petits jalons se voient le plus.<\/p>\n\n<h4>Exemple B \u2014 fratrie \\( r=11 \\) (classe \\( r \\equiv 2\\ (\\mathrm{mod}\\ 3) \\))<\/h4>\n<p><em>Jalons.<\/em> \\( y_1=43,\\ y_2=175,\\ y_3=703,\\ y_4=2815,\\ldots \\) avec \\( D^{(\\text{fr\u00e8re})}_j=\\frac{11\\cdot4^j-2}{3} \\). M\u00eame rampe \\( \\nu=1 \\) (premier pas \\( Y_+\\to \\frac{3}{2}D+1 \\) puis \\( Y_-\\to \\frac{3}{2}D \\)), burst selon \\( r\\ (\\mathrm{mod}\\ 8) \\)\u00a0; on observe empiriquement des retours fr\u00e9quents vers <strong>43<\/strong> et <strong>703<\/strong> sur de nombreux d\u00e9parts \\( y_k=11\\cdot 4^k-1 \\).<\/p>\n\n<!-- ================================== -->\n<!-- 6) PORT\u00c9E \"TENDANCE\" ET CYCLES    -->\n<!-- ================================== -->\n\n<h3>6) Tendance, \u00ab points jalons \u00bb, et impact sur l\u2019absence de cycles<\/h3>\n\n<p>Les familles \u00ab \u22121 non \/3 \u00bb d\u2019une m\u00eame fratrie jouent le r\u00f4le de <em>jalons r\u00e9sonants<\/em> plut\u00f4t que de v\u00e9ritables attracteurs\u00a0: la scie affine en \\( D \\) les rend <em>pr\u00e9f\u00e9rentiellement revisit\u00e9s<\/em>, surtout pour \\( j=1,3 \\). Cela n\u2019exclut pas \u00e0 lui seul un cycle non trivial, mais c\u2019est un <strong>biais structurel fort<\/strong> (congruences 2-adiques et 3-adiques) qu\u2019on peut combiner avec tes <em>barri\u00e8res MCC<\/em> (premier \\( 0\\ (\\mathrm{mod}\\ 3) \\) en MCC2, \\( 21\\ (\\mathrm{mod}\\ 64) \\), etc.) et l\u2019analyse <em>min-mean<\/em> pour r\u00e9duire l\u2019espace des cycles potentiels.<\/p>\n\n<!-- ================================ -->\n<!-- 7) MINI-ATLAS PRATIQUE (R=5,11) -->\n<!-- ================================ -->\n\n<h3>7) Mini-atlas des distances des fr\u00e8res \u00ab \u22121 \u00bb<\/h3>\n\n<p><strong>Fratrie \\( r=5 \\).<\/strong> \\( D^{(\\text{fr\u00e8re})}_j=\\frac{5\\cdot4^j-2}{3} \\)\u00a0: \\( j=1\\Rightarrow D=6 \\) (19), \\( j=2\\Rightarrow D=26 \\) (79), \\( j=3\\Rightarrow D=106 \\) (319), \\( j=4\\Rightarrow D=426 \\) (1279), \\( j=5\\Rightarrow D=1706 \\) (5119), \u2026<\/p>\n<p><strong>Fratrie \\( r=11 \\).<\/strong> \\( D^{(\\text{fr\u00e8re})}_j=\\frac{11\\cdot4^j-2}{3} \\)\u00a0: \\( j=1\\Rightarrow D=14 \\) (43), \\( j=2\\Rightarrow D=58 \\) (175), \\( j=3\\Rightarrow D=234 \\) (703), \\( j=4\\Rightarrow D=938 \\) (2815), \u2026<\/p>\n\n<!-- =================================================== -->\n<!-- 8) DONN\u00c9ES EMPIRIQUES (petit test reproductible)    -->\n<!-- =================================================== -->\n\n<h3>8) Donn\u00e9es empiriques (revisites intra-fratrie)<\/h3>\n\n<p>Pour \\( r=5 \\) et \\( r=11 \\), j\u2019ai simul\u00e9 \\( y_k=r4^k-1 \\) (jusqu\u2019\u00e0 \\( k=60 \\)) sous \\( T \\) et compt\u00e9 les revisites vers les cibles \\( r4^j-1 \\) (\\( j\\le8 \\)). R\u00e9sultat\u00a0: les cibles \\( j=1,3 \\) dominent (19\/319 pour \\( r=5 \\), 43\/703 pour \\( r=11 \\)), tandis que \\( j\\ge4 \\) restent visibles mais avec des hits plus clairsem\u00e9s (coh\u00e9rent avec l\u2019augmentation des modules congruentiels).<\/p>\n<ul>\n  <li><a href=\"sandbox:\/mnt\/data\/revisits_r5.csv\">T\u00e9l\u00e9charger les r\u00e9sultats (r=5)<\/a><\/li>\n  <li><a href=\"sandbox:\/mnt\/data\/revisits_r11.csv\">T\u00e9l\u00e9charger les r\u00e9sultats (r=11)<\/a><\/li>\n<\/ul>\n\n<!-- ======================== -->\n<!-- 9) CHECKLIST D'UTILISATION -->\n<!-- ======================== -->\n\n<h3>9) Checklist rapide pour l\u2019analyse par distances<\/h3>\n<ol>\n  <li><strong>Identifier la fratrie.<\/strong> Choisir \\( r\\equiv0,2\\ (\\mathrm{mod}\\ 3) \\) pour la moiti\u00e9 \u00ab non \/3 \u00bb. Les fr\u00e8res sont \\( y_k=r4^k-1 \\).<\/li>\n  <li><strong>Initialiser \\( D \\).<\/strong> Si \\( r\\equiv2\\ (\\mathrm{mod}\\ 3) \\)\u00a0: \\( D_0=\\frac{r4^k-2}{3} \\) (lien \\( Y_+ \\)). Si \\( r\\equiv0\\ (\\mathrm{mod}\\ 3) \\)\u00a0: \\( D_0=\\frac{r4^k}{3} \\) (lien \\( Y_- \\)).<\/li>\n  <li><strong>Rampe.<\/strong> Premier pas \\( Y_+\\to \\frac{3}{2}D+1 \\), puis en \\( Y_- \\)\u00a0: \\( D\\mapsto \\frac{3}{2}D \\), tant que \\( \\nu_2=1 \\).<\/li>\n  <li><strong>Burst.<\/strong> Appliquer la formule g\u00e9n\u00e9rale selon la parit\u00e9 de \\( \\nu \\) pour obtenir le nouveau \\( D&rsquo; \\). Pour \\( r\\equiv5\\ (\\mathrm{mod}\\ 8) \\), \\( D&rsquo;=\\frac{3D+2}{8} \\) au premier burst.<\/li>\n  <li><strong>Jalons.<\/strong> Comparer p\u00e9riodiquement \\( D \\) aux \\( D^{(\\text{fr\u00e8re})}_j \\) de la m\u00eame fratrie\u00a0: \\( j=1,3 \\) sont les plus visit\u00e9s\u00a0; \\( j\\ge4 \\) existent mais sont plus rares.<\/li>\n<\/ol>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Fr\u00e8res \u00ab double \u2212 1 \u00bb non divisibles par 3 \u2014 lecture en distance D (rep\u00e8re MCC) But. Pour une fratrie impaire \\(r\\), on consid\u00e8re les nombres \\(\\;y_k(r)=r\\cdot4^k-1\\;\\) (les \u00ab fr\u00e8res \u22121 \u00bb). On veut : (i) les reclasser par liens \\(Y_\\pm=3D\\pm1\\) (distance \\(D\\) paire), (ii) d\u00e9crire leur dynamique compress\u00e9e \\(T(y)=\\mathrm{oddize}(3y+1)\\) en \\(D\\), et (iii) [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"saved_in_kubio":false,"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[436],"class_list":["post-56529","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-non-classe","tag-math"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/56529","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=56529"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/56529\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":56536,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/56529\/revisions\/56536"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=56529"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=56529"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=56529"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}