{"id":56537,"date":"2025-10-14T16:17:49","date_gmt":"2025-10-14T15:17:49","guid":{"rendered":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/?p=56537"},"modified":"2025-10-14T16:45:38","modified_gmt":"2025-10-14T15:45:38","slug":"collatz-variante-mod-basee-sur-structure-compresse","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/collatz-variante-mod-basee-sur-structure-compresse\/","title":{"rendered":"Collatz – Variante mod bas\u00e9e sur structure compress\u00e9"},"content":{"rendered":"\n\n\n\n\n
\n

Dynamique affine sur l\u2019ossature Collatz<\/h2>\n

R\u00e8gle \u00e0 trois branches (entiers \u2265 0) : \n $latex f(x)=\\begin{cases}\n\\frac{x-1}{4}& \\text{si }x\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4),\\\\[4pt]\n3x-1& \\text{si }x\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 2)\\ \\text{(i.e. }x\\equiv3\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)\\text{)},\\\\[4pt]\n3x+1& \\text{si }x\\equiv0\\ (\\mathrm{mod}\\ 2).\n\\end{cases}$<\/span><\/p>\n

Id\u00e9e<\/strong> : on conserve la g\u00e9om\u00e9trie compress\u00e9e<\/em> de Collatz (colonnes \\(L_{r,n}\\), racines minimales, \u00ab liens \u00bb, diagonales NE\/SE), mais on fige<\/em> la partie 2-adique : \n d\u00e8s que l\u2019on retombe en \\(1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)\\), on divise toujours<\/strong> par 4.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n\n\n\n\n

1) Version compress\u00e9e \u00ab impairs \u00bb : deux blocs canoniques<\/h3>\n\n

Restreinte aux impairs, la dynamique se r\u00e9sume en deux transformations affines :<\/p>\n

    \n
  • Bloc 1-pas (descente forte)<\/strong> : si \\(y\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)\\),\n \\(\\quad y\\mapsto \\frac{y-1}{4}\\).<\/li>\n
  • Bloc 3-pas (mont\u00e9e mod\u00e9r\u00e9e)<\/strong> : si \\(y\\equiv3\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)\\),\n \\(\\ y\\ \\xrightarrow{3y-1}\\ \\text{pair}\\ \\xrightarrow{3x+1}\\ 9y-2\\ (\\equiv1\\bmod4)\\ \\xrightarrow{(x-1)\/4}\\ \\frac{9y-3}{4}\\)<\/span>.<\/li>\n<\/ul>\n

    Ces deux blocs suffisent \u00e0 d\u00e9crire toutes les transitions impaires. En particulier, le bloc \u00ab 3-pas \u00bb envoie toujours un impair \\(3\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)\\) vers un impair, et sa forme affine est \\(\\frac{9}{4}y-\\frac{3}{4}\\).<\/p>\n\n\n\n\n\n\n

    2) Param\u00e8tre \u00ab distance \u00bb \\(D\\) et ossature racine \u2194 lien<\/h3>\n\n

    Comme dans le compress\u00e9 Collatz classique, toute paire \u00ab racine \u2194 lien \u00bb se code par une distance<\/strong> \\(D\\in\\mathbb N\\) :<\/p>\n

    \n\n \n \n \n \n \n \n \n \n
    Objet<\/th>\n Formule<\/th>\n R\u00e9sidus utiles<\/th>\n Rappel distance<\/th>\n <\/tr>\n <\/thead>\n
    Racine \u2212<\/strong> \\(r_-\\)<\/td>\n \\(r_-=2D-1\\)<\/td>\n \\(r_-\\equiv3,7\\ (\\mathrm{mod}\\ 8)\\)<\/td>\n \\(D=\\frac{r_-+1}{2}\\)<\/td>\n <\/tr>\n
    Lien \u2212<\/strong> \\(Y_-\\)<\/td>\n \\(Y_-=3D-1\\)<\/td>\n \\(Y_-\\equiv2\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\)<\/td>\n \\(D=\\frac{Y_-+1}{3}\\)<\/td>\n <\/tr>\n
    Median<\/strong><\/td>\n \\(\\mathrm{med}=3D\\)<\/td>\n \\(\\equiv0\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\)<\/td>\n \\(D=\\frac{\\mathrm{med}}{3}\\)<\/td>\n <\/tr>\n
    Lien +<\/strong> \\(Y_+\\)<\/td>\n \\(Y_+=3D+1\\)<\/td>\n \\(Y_+\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\)<\/td>\n \\(D=\\frac{Y_+-1}{3}\\)<\/td>\n <\/tr>\n
    Racine +<\/strong> \\(r_+\\)<\/td>\n \\(r_+=4D+1\\)<\/td>\n \\(\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)\\)<\/strong><\/td>\n \\(D=\\frac{r_+-1}{4}\\)<\/strong><\/td>\n <\/tr>\n <\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n

    La \u00ab division minimale par 4 \u00bb associ\u00e9e \u00e0 la racine + est exactement \\(\\mathrm{minodiv4}=D\\).<\/p>\n\n\n\n\n\n\n

    3) Tableau distances (extrait \\(D=1\\ldots16\\))<\/h3>\n\n

    On affiche, pour chaque \\(D\\), la quintuple $(r_-,Y_-,\\mathrm{med},Y_+,r_+)$ et les r\u00e9sidus caract\u00e9ristiques.<\/p>\n

    \n\n \n \n \n \n
    D<\/th>\\(r_-\\)<\/th>\\(Y_-\\)<\/th>med<\/th>\\(Y_+\\)<\/th>\\(r_+\\)<\/th>\n \\(r_-\\ (\\mathrm{mod}\\ 8)\\)<\/th>\\(Y_\\pm\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\)<\/th>\\(r_+\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)\\)<\/th>\n <\/tr>\n <\/thead>\n
    1<\/td>1<\/td>2<\/td>3<\/td>4<\/td>5<\/td>1<\/td>2\/1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
    2<\/td>3<\/td>5<\/td>6<\/td>7<\/td>9<\/td>3<\/td>2\/1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
    3<\/td>5<\/td>8<\/td>9<\/td>10<\/td>13<\/td>5<\/td>2\/1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
    4<\/td>7<\/td>11<\/td>12<\/td>13<\/td>17<\/td>7<\/td>2\/1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
    5<\/td>9<\/td>14<\/td>15<\/td>16<\/td>21<\/td>1<\/td>2\/1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
    6<\/td>11<\/td>17<\/td>18<\/td>19<\/td>25<\/td>3<\/td>2\/1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
    7<\/td>13<\/td>20<\/td>21<\/td>22<\/td>29<\/td>5<\/td>2\/1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
    8<\/td>15<\/td>23<\/td>24<\/td>25<\/td>33<\/td>7<\/td>2\/1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
    9<\/td>17<\/td>26<\/td>27<\/td>28<\/td>37<\/td>1<\/td>2\/1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
    10<\/td>19<\/td>29<\/td>30<\/td>31<\/td>41<\/td>3<\/td>2\/1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
    11<\/td>21<\/td>32<\/td>33<\/td>34<\/td>45<\/td>5<\/td>2\/1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
    12<\/td>23<\/td>35<\/td>36<\/td>37<\/td>49<\/td>7<\/td>2\/1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
    13<\/td>25<\/td>38<\/td>39<\/td>40<\/td>53<\/td>1<\/td>2\/1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
    14<\/td>27<\/td>41<\/td>42<\/td>43<\/td>57<\/td>3<\/td>2\/1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
    15<\/td>29<\/td>44<\/td>45<\/td>46<\/td>61<\/td>5<\/td>2\/1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
    16<\/td>31<\/td>47<\/td>48<\/td>49<\/td>65<\/td>7<\/td>2\/1<\/td>1<\/td><\/tr>\n <\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n

    Remarque : \\(r_+\\) est toujours<\/em> \\(\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)\\), d\u2019o\u00f9 le \u00ab raccourci \u00bb \\(D=\\frac{r_+-1}{4}\\) pour lire la distance directement.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n

    4) Colonnes compress\u00e9es et diagonales (g\u00e9om\u00e9trie partag\u00e9e)<\/h3>\n\n

    La g\u00e9om\u00e9trie est celle du compress\u00e9 Collatz : \n\\(\\displaystyle L_{r,n}=\\frac{(3r+1)4^n-1}{3}\\) pour \\(n\\ge1\\). \nElle ne d\u00e9pend que de \\(r\\) et du facteur \\(4^n\\) (m\u00eame \u00ab fratries \u00bb, m\u00eames diagonales NE\/SE). \nLa diff\u00e9rence avec Collatz tient uniquement \u00e0 la valeur fix\u00e9e<\/em> de la division par 2 : ici, d\u00e8s que l\u2019on atteint \\(\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)\\) on divise par 4 (au lieu de diviser par \\(2^{v_2(3y+1)}\\) variable).<\/p>\n

    Lecture diagonale<\/em> (sch\u00e9ma standard) : pour un pivot \\(r\\), la diagonale NE d\u2019ordre \\(d\\) s\u2019\u00e9crit \n\\(D_d(j)=4^d r_{j+d}+\\frac{4^d-1}{3}\\), et les liens restent \\(\\equiv1\\ \\text{ou}\\ 2\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\) comme dans le tableau classique. \n\n\n

    \n

    Parcours \u00ab fratrie impaire \u00bb et pairs implicites<\/h4>\n

    \n Dans notre dynamique, on visite d\u2019abord les fr\u00e8res impairs<\/strong> (les lignes \\(L_{r,n}=\\frac{(3r+1)4^n-1}{3}\\)), au lieu de d\u00e9rouler explicitement les \u00e9tapes *3x+1*<\/em> sur les pairs. \n Les pairs<\/em> qui surviendraient via 3x\u00b11<\/em> sont implicites<\/strong> et se reconstruisent<\/em> \u00e0 partir de la distance<\/strong> \\(D\\).\n <\/p>\n

      \n
    • Quand on atteint la racine minimale \u00ab + \u00bb<\/strong> \\(r_+(D)=4D+1\\) (toujours \\(\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)\\)), \n le \u00ab d\u00e9tour pair \u00bb naturel (si on mat\u00e9rialisait 3x+1<\/em>) serait \n \\(E_+(D)=3r_+(D)+1=12D+4=4(3D+1)=4\\,Y_+(D)\\)<\/span>.\n Dans la version compress\u00e9e, on remplace ce d\u00e9tour par le raccourci<\/em> \n \\(r_+(D)\\ \\mapsto\\ \\frac{r_+(D)-1}{4}=D\\)<\/span>, \n en gardant \\(E_+(D)\\) implicite (on le retrouve si besoin).<\/li>\n
    • Sur la racine \u00ab \u2212 \u00bb<\/strong> \\(r_-(D)=2D-1\\) (toujours \\(\\equiv3,7\\ (\\mathrm{mod}\\ 8)\\)), \n le premier pair implicite est \n \\(E_-(D)=3r_-(D)-1=6D-4\\)<\/span>. \n Le pas suivant (branche pair \\(\\to\\) 3x+1<\/em>) redonne l\u2019impair \n \\(3E_-(D)+1=9r_-(D)-2\\)<\/span>, \n puis la division par 4 nous recale sur la m\u00eame ossature (diagonales\/colonnes) \u2014 c\u2019est le \u00ab bloc 3-pas \u00bb.<\/li>\n <\/ul>\n

      Mn\u00e9mo distances \u2194 pairs implicites<\/em> : \n \\(r_+=4D+1\\quad\\Rightarrow\\quad E_+(D)=12D+4=4\\,Y_+(D)\\)<\/span>, \n \\(r_-=2D-1\\quad\\Rightarrow\\quad E_-(D)=6D-4\\)<\/span>. \n Autrement dit, tout le d\u00e9tour pair<\/strong> est fonction de \\(D\\)<\/em> et peut \u00eatre r\u00e9ins\u00e9r\u00e9 \u00e0 la demande, \n tandis que la trajectoire \u00ab visible \u00bb reste sur les fr\u00e8res impairs<\/strong>.\n <\/p>\n

      Exemple \\(D=10\\)<\/strong> : \n \\(r_-=19,\\ E_-(10)=56\\) ; \n \\(r_+=41,\\ E_+(10)=124=4\\cdot31\\) (et \\(Y_+=31\\)). \n Le raccourci compress\u00e9 fait \\(r_+\\mapsto (41-1)\/4=10\\), sans exposer le pair \\(124\\), \n mais on peut le reconstituer instantan\u00e9ment via la formule ci-dessus.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\nTon tri \u00ab par premier \\(0\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\) \u00bb se transpose sans changement.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n

      5) Exemples de trajectoires (complet et compress\u00e9)<\/h3>\n\n

      Depuis 17<\/strong> : \\(17\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)\\), donc bloc 1-pas : \\(17\\mapsto \\frac{16}{4}=4\\) (pair) \\(\\mapsto 13\\ (\\equiv1\\bmod4)\\mapsto 3\\ (\\equiv3\\bmod4)\\), puis bloc 3-pas, etc. \u00c9volution impairs (compress\u00e9) :<\/p>\n

      17 \u2192 13 \u2192 3 \u2192 25 \u2192 19 \u2192 127 \u2192 285 \u2192 71 \u2192 159 \u2192 89 \u2192 ...<\/code><\/pre>\n
      Depuis 19<\/strong> : \n\\(19\\equiv3\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)\\) donc bloc 3-pas \n\\(\\big(19\\mapsto \\frac{9\\cdot19-3}{4}=42\\big)\\),\npuis alternance de 1-pas et 3-pas selon \\(\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)\\). \nBlocs compress\u00e9s :<\/p>\n
      19 --(3-pas)\u2192 42 --(1-pas)\u2192 10 --(pair\u2026)\u2192 127 --(3-pas)\u2192 285 --(1-pas)\u2192 71 --(1-pas)\u2192 17 ...\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n\n\n\n
      6) R\u00e9sidus cl\u00e9s et \u00ab lectures rapides \u00bb<\/h3>\n\n
        \n  
      • \\(r_-\\equiv3,7\\ (\\mathrm{mod}\\ 8)\\) en alternance selon la parit\u00e9 de \\(D\\).<\/li>\n  
      • \\(Y_-\\equiv2\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\), \\(\\mathrm{med}\\equiv0\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\), \\(Y_+\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\).<\/li>\n  
      • \\(r_+\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)\\), donc \\(D=\\frac{r_+-1}{4}\\) imm\u00e9diatement.<\/li>\n<\/ul>\n
        Mn\u00e9mo distance<\/em> : \n\\(D=\\frac{r_-+1}{2}=\\frac{Y_-+1}{3}=\\frac{\\mathrm{med}}{3}=\\frac{Y_+-1}{3}=\\frac{r_+-1}{4}\\).<\/p>\n\n\n\n\n\n\n
        7) Heuristique \u00ab \u00e9nerg\u00e9tique \u00bb<\/h3>\n\n
        Sur les impairs, le bloc 1-pas applique \\(y\\mapsto \\frac{y}{4}-\\frac14\\) (contraction forte),\nle bloc 3-pas applique \\(y\\mapsto \\frac{9}{4}y-\\frac34\\) (dilatation mod\u00e9r\u00e9e).\nSi la fr\u00e9quence des \u00e9tats \\(\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)\\) n\u2019est pas trop faible, la dynamique montre une tendance<\/em> \u00e0 la baisse (contrainte non-probante mais informative). \nCette lecture s\u2019aligne avec l\u2019intuition \u00ab c\u00f4ne\/barri\u00e8re \u00bb du compress\u00e9 classique.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n
        8) Contraintes alg\u00e9briques sur d\u2019\u00e9ventuels cycles<\/h3>\n\n
        Notons \\(s\\) le nombre de blocs 1-pas et \\(t\\) le nombre de blocs 3-pas sur un tour de cycle impairs. \nLa composition est une affine \\(y\\mapsto Ay+B\\) avec \n\\(\\displaystyle A=\\frac{9^t}{4^{\\,s+t}}\\) \n(et \\(B\\) combinaison enti\u00e8re des constantes \\(-\\frac14\\) et \\(-\\frac34\\) transport\u00e9es par les facteurs \\(\\frac14\\) et \\(\\frac94\\)).<\/p>\n
        La condition de cycle \\(y=Ay+B\\) impose \n\\(\\displaystyle y=\\frac{B}{1-A}=\\frac{B\\cdot 4^{\\,s+t}}{\\,4^{\\,s+t}-9^{\\,t}\\,}\\).\nAinsi le d\u00e9nominateur<\/em> \\(4^{\\,s+t}-9^{\\,t}\\) doit diviser \\(B\\cdot 4^{\\,s+t}\\), \navec en plus les contraintes de r\u00e9sidus (retomber sur les bonnes classes \\(\\bmod 4\\) et \\(\\bmod 3\\) aux positions ad\u00e9quates).<\/p>\n
        Cons\u00e9quence : sauf choix tr\u00e8s particuliers de \\((s,t)\\), \non a \\(A<1[\/latex] et un d\u00e9nominateur grand \n[latex]\\Rightarrow[\/latex] l\u2019int\u00e9gralit\u00e9 et les congruences deviennent fortement<\/em> restrictives. \nCette strat\u00e9gie \u00ab compte des blocs & affine globale \u00bb \nest l\u2019analogue direct de la m\u00e9thode classique dans l\u2019ossature Collatz, \nmais ici les valuations 2-adiques \u00e9tant fig\u00e9es, elle est souvent plus lisible.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n
        9) Lien et diff\u00e9rences avec Collatz compress\u00e9<\/h3>\n\n
          \n  
        • Ossature identique<\/strong> : colonnes [latex]L_{r,n}\\), fratries, diagonales, paires racine\u2194lien et distance \\(D\\) co\u00efncident.<\/li>\n  
        • Diff\u00e9rence cl\u00e9<\/strong> : au lieu de \\(v_2(3y+1)\\) variable (classique), on a ici une division fix\u00e9e<\/em> par 4 chaque fois que l\u2019on revient en \\(1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)\\). \n      Les raisonnements \u00ab par distance \u00bb et \u00ab par c\u00f4ne\/barri\u00e8re \u00bb se transportent donc au cordeau<\/em>.<\/li>\n  
        • Lecture rapide<\/strong> : gr\u00e2ce \u00e0 \\(r_+=4D+1\\), on lit \\(D\\) imm\u00e9diatement via \\(D=\\frac{r_+-1}{4}\\), comme dans ton tableau \u00ab raccourci \u00bb.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n\n\n\n
          Annexe : g\u00e9n\u00e9rateur de la table des distances<\/h3>\n\n
          def ligne_D(D:int):\n    r_m = 2*D - 1\n    Y_m = 3*D - 1\n    med = 3*D\n    Y_p = 3*D + 1\n    r_p = 4*D + 1\n    return (D, r_m, Y_m, med, Y_p, r_p)\n\nfor D in range(1, 21):\n    print(ligne_D(D))\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
          \n  
          Dynamique affine sur l\u2019ossature Collatz<\/h2>\n  
          R\u00e8gle (entiers \u2265 0) : \n  $latex f(x)=\\begin{cases}\n\\frac{x-1}{4}& \\text{si }x\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4),\\\\[4pt]\n3x-1& \\text{si }x\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 2)\\ \\text{(i.e. }x\\equiv3\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)\\text{)},\\\\[4pt]\n3x+1& \\text{si }x\\equiv0\\ (\\mathrm{mod}\\ 2).\n\\end{cases}$<\/span><\/p>\n  
          Id\u00e9e<\/strong> : on conserve la g\u00e9om\u00e9trie compress\u00e9e<\/em> de Collatz (colonnes \\(L_{r,n}\\), racines minimales, liens, diagonales NE\/SE), mais on fixe<\/em> la partie 2-adique : d\u00e8s que l\u2019on atteint \\(\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)\\), on divise toujours<\/strong> par 4 (au lieu de diviser par \\(2^{\\nu_2(3y+1)}\\) variable).<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n\n\n\n\n
          1) Version compress\u00e9e \u00ab impairs \u00bb : deux blocs<\/h3>\n\n
            \n  
          • Bloc 1-pas (descente)<\/strong> : si \\(y\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)\\), \\(\\ y\\mapsto \\frac{y-1}{4}\\).<\/li>\n  
          • Bloc 3-pas (mont\u00e9e mod\u00e9r\u00e9e)<\/strong> : si \\(y\\equiv3\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)\\), \n    \\(y\\ \\xrightarrow{3y-1}\\ \\text{pair}\\ \\xrightarrow{3x+1}\\ 9y-2\\ (\\equiv1\\bmod4)\\ \\xrightarrow{(x-1)\/4}\\ \\frac{9y-3}{4}\\)<\/span>.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n\n\n\n
            2) Param\u00e8tre distance \\(D\\) et ossature racine \u2194 lien<\/h3>\n\n
            \n\n  \n    \n      \n    \n      \n      \n      \n      \n      
            Objet<\/th>\n      Formule<\/th>\n      R\u00e9sidus utiles<\/th>\n      Lecture de \\(D\\)<\/th>\n    <\/tr>\n  <\/thead>\n  
            Racine \u2212<\/strong> \\(r_-\\)<\/td>\n      \\(r_-=2D-1\\)<\/td>\n      \\(\\equiv1,3,5,7\\ (\\mathrm{mod}\\ 8)\\)<\/td>\n      \\(D=\\frac{r_-+1}{2}\\)<\/td>\n    <\/tr>\n    
            Lien \u2212<\/strong> \\(Y_-\\)<\/td>\n      \\(Y_-=3D-1\\)<\/td>\n      \\(\\equiv2\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\)<\/td>\n      \\(D=\\frac{Y_-+1}{3}\\)<\/td>\n    <\/tr>\n    
            Median<\/strong><\/td>\n      \\(\\mathrm{med}=3D\\)<\/td>\n      \\(\\equiv0\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\)<\/td>\n      \\(D=\\frac{\\mathrm{med}}{3}\\)<\/td>\n    <\/tr>\n    
            Lien +<\/strong> \\(Y_+\\)<\/td>\n      \\(Y_+=3D+1\\)<\/td>\n      \\(\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\)<\/td>\n      \\(D=\\frac{Y_+-1}{3}\\)<\/td>\n    <\/tr>\n    
            Racine +<\/strong> \\(r_+\\)<\/td>\n      \\(r_+=4D+1\\)<\/td>\n      \\(\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)\\)<\/strong><\/td>\n      \\(D=\\frac{r_+-1}{4}\\)<\/strong><\/td>\n    <\/tr>\n  <\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n\n\n\n\n\n\n
            3) Distances et divisions cach\u00e9es : \\(j=\\nu_2(3D+1)\\)<\/h3>\n\n
            Pour chaque \\(D\\), on affiche la quintuple $(r_-,Y_-,\\mathrm{med},Y_+,r_+)$ et le nombre de \u00ab \\(\\div2\\) suppl\u00e9mentaires \u00bb c\u00f4t\u00e9 classique : \n\\(j=\\nu_2(3D+1)\\) (ainsi \\(\\nu_2(3r_+{+}1)=2+j\\)).<\/p>\n
            \n\n  \n    \n      \n    
            D<\/th>\\(r_-\\)<\/th>\\(Y_-\\)<\/th>med<\/th>\\(Y_+\\)<\/th>\\(r_+\\)<\/th>\n      \\(r_-\\ (\\mathrm{mod}\\ 8)\\)<\/th>\\(Y_\\pm\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)\\)<\/th>\\(r_+\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)\\)<\/th>\n      \\(j\\)<\/span><\/th>\n      \\(2{+}j\\)<\/span><\/th>\n    <\/tr>\n  <\/thead>\n  
            1<\/td>1<\/td>2<\/td>3<\/td>4<\/td>5<\/td>1<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>2<\/td>4<\/td><\/tr>\n    
            2<\/td>3<\/td>5<\/td>6<\/td>7<\/td>9<\/td>3<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>0<\/td>2<\/td><\/tr>\n    
            3<\/td>5<\/td>8<\/td>9<\/td>10<\/td>13<\/td>5<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>1<\/td>3<\/td><\/tr>\n    
            4<\/td>7<\/td>11<\/td>12<\/td>13<\/td>17<\/td>7<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>0<\/td>2<\/td><\/tr>\n    
            5<\/td>9<\/td>14<\/td>15<\/td>16<\/td>21<\/td>1<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>4<\/td>6<\/td><\/tr>\n    
            6<\/td>11<\/td>17<\/td>18<\/td>19<\/td>25<\/td>3<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>0<\/td>2<\/td><\/tr>\n    
            7<\/td>13<\/td>20<\/td>21<\/td>22<\/td>29<\/td>5<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>1<\/td>3<\/td><\/tr>\n    
            8<\/td>15<\/td>23<\/td>24<\/td>25<\/td>33<\/td>7<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>0<\/td>2<\/td><\/tr>\n    
            9<\/td>17<\/td>26<\/td>27<\/td>28<\/td>37<\/td>1<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>2<\/td>4<\/td><\/tr>\n    
            10<\/td>19<\/td>29<\/td>30<\/td>31<\/td>41<\/td>3<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>0<\/td>2<\/td><\/tr>\n    
            11<\/td>21<\/td>32<\/td>33<\/td>34<\/td>45<\/td>5<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>1<\/td>3<\/td><\/tr>\n    
            12<\/td>23<\/td>35<\/td>36<\/td>37<\/td>49<\/td>7<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>0<\/td>2<\/td><\/tr>\n    
            13<\/td>25<\/td>38<\/td>39<\/td>40<\/td>53<\/td>1<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>3<\/td>5<\/td><\/tr>\n    
            14<\/td>27<\/td>41<\/td>42<\/td>43<\/td>57<\/td>3<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>0<\/td>2<\/td><\/tr>\n    
            15<\/td>29<\/td>44<\/td>45<\/td>46<\/td>61<\/td>5<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>1<\/td>3<\/td><\/tr>\n    
            16<\/td>31<\/td>47<\/td>48<\/td>49<\/td>65<\/td>7<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>0<\/td>2<\/td><\/tr>\n  <\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n\n\n\n\n\n\n
            4) Colonnes compress\u00e9es et diagonales (g\u00e9om\u00e9trie partag\u00e9e)<\/h3>\n\n
            La g\u00e9om\u00e9trie est celle du compress\u00e9 Collatz : \n\\(\\displaystyle L_{r,n}=\\frac{(3r+1)4^n-1}{3}\\) pour \\(n\\ge1\\). \nElle d\u00e9pend de \\(r\\) et du facteur \\(4^n\\) (m\u00eames \u00ab fratries \u00bb, m\u00eames diagonales NE\/SE). \nLa diff\u00e9rence avec Collatz tient uniquement \u00e0 la valeur fix\u00e9e<\/em> de la division par 2 : d\u00e8s que l\u2019on atteint \\(\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)\\) on divise par 4 (au lieu de \\(\\div 2^{\\nu_2(3y+1)}\\) variable).<\/p>\n\n\n\n
            \n  
            Parcours \u00ab fratrie impaire \u00bb et cascade de pairs (reconstruction)<\/h4>\n  
            \n    Plut\u00f4t que d\u2019expliciter toutes les divisions par 2 de la classique (3x+1<\/em>, puis \\(\\div 2^k\\)), on parcourt seulement les impairs<\/strong> (lignes \\(L_{r,n}\\)). \n    La cascade de pairs est compress\u00e9e<\/em> mais reconstructible<\/strong> via la distance \\(D\\).\n  <\/p>\n  
              \n    
            • Racine \u00ab + \u00bb<\/strong> \\(r_+=4D+1\\) : la classique calcule \\(3r_++1=12D+4=4(3D+1)\\), donc au moins 2<\/strong> divisions par 2, puis encore \n      \\(j=\\nu_2(3D+1)\\)<\/span> divisions (si \\(3D+1\\) est pair). \n      Notre raccourci compress\u00e9 remplace tout par \\(r_+\\mapsto D\\)<\/strong>. \n      Option d\u2019affichage<\/em> : au retour sur \\(r_+\\), afficher une (ou \\(j\\)) division(s) suppl\u00e9mentaire(s) pour visualiser le lien avec la classique.<\/li>\n    
            • Ex. 1 (53 \u2192 13 \u2192 3)<\/strong> : \\(r_+=53\\) donne \\(D=13\\), \\(Y_+=3D+1=40\\) (ici \\(j=\\nu_2(40)=3\\)). \n      Classique : \\(3\\cdot 53+1=160\\to80\\to40\\to20\\to10\\to5\\) (total \\(2+j=5\\) divisions). \n      Nous : 53 \u2192 13 \u2192 3<\/strong> (fratrie impaire).<\/li>\n    
            • Ex. 2 (149 \u2192 37 \u2192 9)<\/strong> : \\(D=37\\), \\(Y_+=112\\) (\\(j=4\\)). \n      Classique : \\(448\\to224\\to112\\to56\\to28\\to14\\to7\\) (total \\(6=2+j\\)). \n      Nous : 149 \u2192 37 \u2192 9<\/strong> (et on peut \u00ab montrer \u00bb une \\(\\div 2\\) de plus si souhait\u00e9).<\/li>\n  <\/ul>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n\n\n\n\n
              5) Exemples de trajectoires (complet & compress\u00e9)<\/h3>\n\n
              Depuis 17<\/strong> : impairs visit\u00e9s (compress\u00e9) \n17 \u2192 13 \u2192 3 \u2192 25 \u2192 19 \u2192 127 \u2192 285 \u2192 71 \u2192 159 \u2192 89 \u2192 \u2026<\/code><\/p>\n
              Depuis 19<\/strong> : premiers blocs \n19 --(3-pas)\u2192 42 --(1-pas)\u2192 10 --(pair\u2026)\u2192 127 --(3-pas)\u2192 285 --(1-pas)\u2192 71 \u2026<\/code><\/p>\n\n\n\n\n\n\n
              6) Contraintes alg\u00e9briques sur d\u2019\u00e9ventuels cycles<\/h3>\n\n
              Si un tour de cycle impairs comporte \\(s\\) blocs 1-pas et \\(t\\) blocs 3-pas, la composition vaut \n\\(\\ y\\mapsto Ay+B\\) avec \\(\\ A=\\frac{9^t}{4^{\\,s+t}}\\). La condition \\(y=Ay+B\\) force\n\\(\\ y=\\dfrac{B}{1-A}=\\dfrac{B\\cdot 4^{\\,s+t}}{\\,4^{\\,s+t}-9^{\\,t}\\,}\\),\n\u00e0 concilier avec l\u2019int\u00e9gralit\u00e9 et les congruences (mod 3, mod 4) \u2014 fortes<\/em> restrictions, d\u2019autant que les valuations 2-adiques sont ici fig\u00e9es.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n
              Annexe : g\u00e9n\u00e9rer la table<\/h3>\n\n
              def ligne_D(D:int):\n    r_m = 2*D - 1\n    Y_m = 3*D - 1\n    med = 3*D\n    Y_p = 3*D + 1\n    r_p = 4*D + 1\n    j   = (Y_p & -Y_p).bit_length() - 1  # v2(3D+1)\n    return (D, r_m, Y_m, med, Y_p, r_p, j, 2 + j)\n\nfor D in range(1, 21):\n    print(ligne_D(D))\n<\/code><\/pre>\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
              Dynamique affine sur l\u2019ossature Collatz R\u00e8gle \u00e0 trois branches (entiers \u2265 0) : $latex f(x)=\\begin{cases} \\frac{x-1}{4}& \\text{si }x\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4),\\\\[4pt] 3x-1& \\text{si }x\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 2)\\ \\text{(i.e. }x\\equiv3\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)\\text{)},\\\\[4pt] 3x+1& \\text{si }x\\equiv0\\ (\\mathrm{mod}\\ 2). \\end{cases}$ Id\u00e9e : on conserve la g\u00e9om\u00e9trie compress\u00e9e de Collatz (colonnes \\(L_{r,n}\\), racines minimales, \u00ab liens \u00bb, diagonales NE\/SE), mais on fige la […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"saved_in_kubio":false,"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[436],"class_list":["post-56537","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-non-classe","tag-math"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/56537","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=56537"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/56537\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":56540,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/56537\/revisions\/56540"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=56537"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=56537"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=56537"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}