{"id":56537,"date":"2025-10-14T16:17:49","date_gmt":"2025-10-14T15:17:49","guid":{"rendered":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/?p=56537"},"modified":"2025-10-14T16:45:38","modified_gmt":"2025-10-14T15:45:38","slug":"collatz-variante-mod-basee-sur-structure-compresse","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/collatz-variante-mod-basee-sur-structure-compresse\/","title":{"rendered":"Collatz – Variante mod bas\u00e9e sur structure compress\u00e9"},"content":{"rendered":"\n\n\n\n\n
\n

Dynamique affine sur l\u2019ossature Collatz<\/h2>\n

R\u00e8gle \u00e0 trois branches (entiers \u2265 0) : \n $latex f(x)=\\begin{cases}\n\\frac{x-1}{4}& \\text{si }x\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4),\\\\[4pt]\n3x-1& \\text{si }x\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 2)\\ \\text{(i.e. }x\\equiv3\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)\\text{)},\\\\[4pt]\n3x+1& \\text{si }x\\equiv0\\ (\\mathrm{mod}\\ 2).\n\\end{cases}$<\/span><\/p>\n

Id\u00e9e<\/strong> : on conserve la g\u00e9om\u00e9trie compress\u00e9e<\/em> de Collatz (colonnes $latex L_{r,n}$, racines minimales, \u00ab liens \u00bb, diagonales NE\/SE), mais on fige<\/em> la partie 2-adique : \n d\u00e8s que l\u2019on retombe en $latex 1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)$, on divise toujours<\/strong> par 4.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n\n\n\n\n

1) Version compress\u00e9e \u00ab impairs \u00bb : deux blocs canoniques<\/h3>\n\n

Restreinte aux impairs, la dynamique se r\u00e9sume en deux transformations affines :<\/p>\n

    \n
  • Bloc 1-pas (descente forte)<\/strong> : si $latex y\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)$,\n $latex \\quad y\\mapsto \\frac{y-1}{4}$.<\/li>\n
  • Bloc 3-pas (mont\u00e9e mod\u00e9r\u00e9e)<\/strong> : si $latex y\\equiv3\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)$,\n $latex \\ y\\ \\xrightarrow{3y-1}\\ \\text{pair}\\ \\xrightarrow{3x+1}\\ 9y-2\\ (\\equiv1\\bmod4)\\ \\xrightarrow{(x-1)\/4}\\ \\frac{9y-3}{4}$<\/span>.<\/li>\n<\/ul>\n

    Ces deux blocs suffisent \u00e0 d\u00e9crire toutes les transitions impaires. En particulier, le bloc \u00ab 3-pas \u00bb envoie toujours un impair $latex 3\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)$ vers un impair, et sa forme affine est $latex \\frac{9}{4}y-\\frac{3}{4}$.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n

    2) Param\u00e8tre \u00ab distance \u00bb $latex D$ et ossature racine \u2194 lien<\/h3>\n\n

    Comme dans le compress\u00e9 Collatz classique, toute paire \u00ab racine \u2194 lien \u00bb se code par une distance<\/strong> $latex D\\in\\mathbb N$ :<\/p>\n

    \n\n \n \n \n \n \n \n \n \n
    Objet<\/th>\n Formule<\/th>\n R\u00e9sidus utiles<\/th>\n Rappel distance<\/th>\n <\/tr>\n <\/thead>\n
    Racine \u2212<\/strong> $latex r_-$<\/td>\n $latex r_-=2D-1$<\/td>\n $latex r_-\\equiv3,7\\ (\\mathrm{mod}\\ 8)$<\/td>\n $latex D=\\frac{r_-+1}{2}$<\/td>\n <\/tr>\n
    Lien \u2212<\/strong> $latex Y_-$<\/td>\n $latex Y_-=3D-1$<\/td>\n $latex Y_-\\equiv2\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)$<\/td>\n $latex D=\\frac{Y_-+1}{3}$<\/td>\n <\/tr>\n
    Median<\/strong><\/td>\n $latex \\mathrm{med}=3D$<\/td>\n $latex \\equiv0\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)$<\/td>\n $latex D=\\frac{\\mathrm{med}}{3}$<\/td>\n <\/tr>\n
    Lien +<\/strong> $latex Y_+$<\/td>\n $latex Y_+=3D+1$<\/td>\n $latex Y_+\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)$<\/td>\n $latex D=\\frac{Y_+-1}{3}$<\/td>\n <\/tr>\n
    Racine +<\/strong> $latex r_+$<\/td>\n $latex r_+=4D+1$<\/td>\n $latex \\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)$<\/strong><\/td>\n $latex D=\\frac{r_+-1}{4}$<\/strong><\/td>\n <\/tr>\n <\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n

    La \u00ab division minimale par 4 \u00bb associ\u00e9e \u00e0 la racine + est exactement $latex \\mathrm{minodiv4}=D$.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n

    3) Tableau distances (extrait $latex D=1\\ldots16$)<\/h3>\n\n

    On affiche, pour chaque $latex D$, la quintuple $(r_-,Y_-,\\mathrm{med},Y_+,r_+)$ et les r\u00e9sidus caract\u00e9ristiques.<\/p>\n

    \n\n \n \n \n \n
    D<\/th>$latex r_-$<\/th>$latex Y_-$<\/th>med<\/th>$latex Y_+$<\/th>$latex r_+$<\/th>\n $latex r_-\\ (\\mathrm{mod}\\ 8)$<\/th>$latex Y_\\pm\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)$<\/th>$latex r_+\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)$<\/th>\n <\/tr>\n <\/thead>\n
    1<\/td>1<\/td>2<\/td>3<\/td>4<\/td>5<\/td>1<\/td>2\/1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
    2<\/td>3<\/td>5<\/td>6<\/td>7<\/td>9<\/td>3<\/td>2\/1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
    3<\/td>5<\/td>8<\/td>9<\/td>10<\/td>13<\/td>5<\/td>2\/1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
    4<\/td>7<\/td>11<\/td>12<\/td>13<\/td>17<\/td>7<\/td>2\/1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
    5<\/td>9<\/td>14<\/td>15<\/td>16<\/td>21<\/td>1<\/td>2\/1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
    6<\/td>11<\/td>17<\/td>18<\/td>19<\/td>25<\/td>3<\/td>2\/1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
    7<\/td>13<\/td>20<\/td>21<\/td>22<\/td>29<\/td>5<\/td>2\/1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
    8<\/td>15<\/td>23<\/td>24<\/td>25<\/td>33<\/td>7<\/td>2\/1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
    9<\/td>17<\/td>26<\/td>27<\/td>28<\/td>37<\/td>1<\/td>2\/1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
    10<\/td>19<\/td>29<\/td>30<\/td>31<\/td>41<\/td>3<\/td>2\/1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
    11<\/td>21<\/td>32<\/td>33<\/td>34<\/td>45<\/td>5<\/td>2\/1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
    12<\/td>23<\/td>35<\/td>36<\/td>37<\/td>49<\/td>7<\/td>2\/1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
    13<\/td>25<\/td>38<\/td>39<\/td>40<\/td>53<\/td>1<\/td>2\/1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
    14<\/td>27<\/td>41<\/td>42<\/td>43<\/td>57<\/td>3<\/td>2\/1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
    15<\/td>29<\/td>44<\/td>45<\/td>46<\/td>61<\/td>5<\/td>2\/1<\/td>1<\/td><\/tr>\n
    16<\/td>31<\/td>47<\/td>48<\/td>49<\/td>65<\/td>7<\/td>2\/1<\/td>1<\/td><\/tr>\n <\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n

    Remarque : $latex r_+$ est toujours<\/em> $latex \\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)$, d\u2019o\u00f9 le \u00ab raccourci \u00bb $latex D=\\frac{r_+-1}{4}$ pour lire la distance directement.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n

    4) Colonnes compress\u00e9es et diagonales (g\u00e9om\u00e9trie partag\u00e9e)<\/h3>\n\n

    La g\u00e9om\u00e9trie est celle du compress\u00e9 Collatz : \n$latex \\displaystyle L_{r,n}=\\frac{(3r+1)4^n-1}{3}$ pour $latex n\\ge1$. \nElle ne d\u00e9pend que de $latex r$ et du facteur $latex 4^n$ (m\u00eame \u00ab fratries \u00bb, m\u00eames diagonales NE\/SE). \nLa diff\u00e9rence avec Collatz tient uniquement \u00e0 la valeur fix\u00e9e<\/em> de la division par 2 : ici, d\u00e8s que l\u2019on atteint $latex \\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)$ on divise par 4 (au lieu de diviser par $latex 2^{v_2(3y+1)}$ variable).<\/p>\n

    Lecture diagonale<\/em> (sch\u00e9ma standard) : pour un pivot $latex r$, la diagonale NE d\u2019ordre $latex d$ s\u2019\u00e9crit \n$latex D_d(j)=4^d r_{j+d}+\\frac{4^d-1}{3}$, et les liens restent $latex \\equiv1\\ \\text{ou}\\ 2\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)$ comme dans le tableau classique. \n\n\n

    \n

    Parcours \u00ab fratrie impaire \u00bb et pairs implicites<\/h4>\n

    \n Dans notre dynamique, on visite d\u2019abord les fr\u00e8res impairs<\/strong> (les lignes $latex L_{r,n}=\\frac{(3r+1)4^n-1}{3}$), au lieu de d\u00e9rouler explicitement les \u00e9tapes *3x+1*<\/em> sur les pairs. \n Les pairs<\/em> qui surviendraient via 3x\u00b11<\/em> sont implicites<\/strong> et se reconstruisent<\/em> \u00e0 partir de la distance<\/strong> $latex D$.\n <\/p>\n

      \n
    • Quand on atteint la racine minimale \u00ab + \u00bb<\/strong> $latex r_+(D)=4D+1$ (toujours $latex \\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)$), \n le \u00ab d\u00e9tour pair \u00bb naturel (si on mat\u00e9rialisait 3x+1<\/em>) serait \n $latex E_+(D)=3r_+(D)+1=12D+4=4(3D+1)=4\\,Y_+(D)$<\/span>.\n Dans la version compress\u00e9e, on remplace ce d\u00e9tour par le raccourci<\/em> \n $latex r_+(D)\\ \\mapsto\\ \\frac{r_+(D)-1}{4}=D$<\/span>, \n en gardant $latex E_+(D)$ implicite (on le retrouve si besoin).<\/li>\n
    • Sur la racine \u00ab \u2212 \u00bb<\/strong> $latex r_-(D)=2D-1$ (toujours $latex \\equiv3,7\\ (\\mathrm{mod}\\ 8)$), \n le premier pair implicite est \n $latex E_-(D)=3r_-(D)-1=6D-4$<\/span>. \n Le pas suivant (branche pair $latex \\to$ 3x+1<\/em>) redonne l\u2019impair \n $latex 3E_-(D)+1=9r_-(D)-2$<\/span>, \n puis la division par 4 nous recale sur la m\u00eame ossature (diagonales\/colonnes) \u2014 c\u2019est le \u00ab bloc 3-pas \u00bb.<\/li>\n <\/ul>\n

      Mn\u00e9mo distances \u2194 pairs implicites<\/em> : \n $latex r_+=4D+1\\quad\\Rightarrow\\quad E_+(D)=12D+4=4\\,Y_+(D)$<\/span>, \n $latex r_-=2D-1\\quad\\Rightarrow\\quad E_-(D)=6D-4$<\/span>. \n Autrement dit, tout le d\u00e9tour pair<\/strong> est fonction de $latex D$<\/em> et peut \u00eatre r\u00e9ins\u00e9r\u00e9 \u00e0 la demande, \n tandis que la trajectoire \u00ab visible \u00bb reste sur les fr\u00e8res impairs<\/strong>.\n <\/p>\n

      Exemple $latex D=10$<\/strong> : \n $latex r_-=19,\\ E_-(10)=56$ ; \n $latex r_+=41,\\ E_+(10)=124=4\\cdot31$ (et $latex Y_+=31$). \n Le raccourci compress\u00e9 fait $latex r_+\\mapsto (41-1)\/4=10$, sans exposer le pair $latex 124$, \n mais on peut le reconstituer instantan\u00e9ment via la formule ci-dessus.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\nTon tri \u00ab par premier $latex 0\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)$ \u00bb se transpose sans changement.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n

      5) Exemples de trajectoires (complet et compress\u00e9)<\/h3>\n\n

      Depuis 17<\/strong> : $latex 17\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)$, donc bloc 1-pas : $latex 17\\mapsto \\frac{16}{4}=4$ (pair) $latex \\mapsto 13\\ (\\equiv1\\bmod4)\\mapsto 3\\ (\\equiv3\\bmod4)$, puis bloc 3-pas, etc. \u00c9volution impairs (compress\u00e9) :<\/p>\n

      17 \u2192 13 \u2192 3 \u2192 25 \u2192 19 \u2192 127 \u2192 285 \u2192 71 \u2192 159 \u2192 89 \u2192 ...<\/code><\/pre>\n
      Depuis 19<\/strong> : \n$latex 19\\equiv3\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)$ donc bloc 3-pas \n$latex \\big(19\\mapsto \\frac{9\\cdot19-3}{4}=42\\big)$,\npuis alternance de 1-pas et 3-pas selon $latex \\ (\\mathrm{mod}\\ 4)$. \nBlocs compress\u00e9s :<\/p>\n
      19 --(3-pas)\u2192 42 --(1-pas)\u2192 10 --(pair\u2026)\u2192 127 --(3-pas)\u2192 285 --(1-pas)\u2192 71 --(1-pas)\u2192 17 ...\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n\n\n\n
      6) R\u00e9sidus cl\u00e9s et \u00ab lectures rapides \u00bb<\/h3>\n\n
        \n  
      • $latex r_-\\equiv3,7\\ (\\mathrm{mod}\\ 8)$ en alternance selon la parit\u00e9 de $latex D$.<\/li>\n  
      • $latex Y_-\\equiv2\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)$, $latex \\mathrm{med}\\equiv0\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)$, $latex Y_+\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)$.<\/li>\n  
      • $latex r_+\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)$, donc $latex D=\\frac{r_+-1}{4}$ imm\u00e9diatement.<\/li>\n<\/ul>\n
        Mn\u00e9mo distance<\/em> : \n$latex D=\\frac{r_-+1}{2}=\\frac{Y_-+1}{3}=\\frac{\\mathrm{med}}{3}=\\frac{Y_+-1}{3}=\\frac{r_+-1}{4}$.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n
        7) Heuristique \u00ab \u00e9nerg\u00e9tique \u00bb<\/h3>\n\n
        Sur les impairs, le bloc 1-pas applique $latex y\\mapsto \\frac{y}{4}-\\frac14$ (contraction forte),\nle bloc 3-pas applique $latex y\\mapsto \\frac{9}{4}y-\\frac34$ (dilatation mod\u00e9r\u00e9e).\nSi la fr\u00e9quence des \u00e9tats $latex \\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)$ n\u2019est pas trop faible, la dynamique montre une tendance<\/em> \u00e0 la baisse (contrainte non-probante mais informative). \nCette lecture s\u2019aligne avec l\u2019intuition \u00ab c\u00f4ne\/barri\u00e8re \u00bb du compress\u00e9 classique.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n
        8) Contraintes alg\u00e9briques sur d\u2019\u00e9ventuels cycles<\/h3>\n\n
        Notons $latex s$ le nombre de blocs 1-pas et $latex t$ le nombre de blocs 3-pas sur un tour de cycle impairs. \nLa composition est une affine $latex y\\mapsto Ay+B$ avec \n$latex \\displaystyle A=\\frac{9^t}{4^{\\,s+t}}$ \n(et $latex B$ combinaison enti\u00e8re des constantes $latex -\\frac14$ et $latex -\\frac34$ transport\u00e9es par les facteurs $latex \\frac14$ et $latex \\frac94$).<\/p>\n
        La condition de cycle $latex y=Ay+B$ impose \n$latex \\displaystyle y=\\frac{B}{1-A}=\\frac{B\\cdot 4^{\\,s+t}}{\\,4^{\\,s+t}-9^{\\,t}\\,}$.\nAinsi le d\u00e9nominateur<\/em> $latex 4^{\\,s+t}-9^{\\,t}$ doit diviser $latex B\\cdot 4^{\\,s+t}$, \navec en plus les contraintes de r\u00e9sidus (retomber sur les bonnes classes $latex \\bmod 4$ et $latex \\bmod 3$ aux positions ad\u00e9quates).<\/p>\n
        Cons\u00e9quence : sauf choix tr\u00e8s particuliers de $latex (s,t)$, \non a $latex A<1$ et un d\u00e9nominateur grand \n$latex \\Rightarrow$ l\u2019int\u00e9gralit\u00e9 et les congruences deviennent fortement<\/em> restrictives. \nCette strat\u00e9gie \u00ab compte des blocs & affine globale \u00bb \nest l\u2019analogue direct de la m\u00e9thode classique dans l\u2019ossature Collatz, \nmais ici les valuations 2-adiques \u00e9tant fig\u00e9es, elle est souvent plus lisible.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n
        9) Lien et diff\u00e9rences avec Collatz compress\u00e9<\/h3>\n\n
          \n  
        • Ossature identique<\/strong> : colonnes $latex L_{r,n}$, fratries, diagonales, paires racine\u2194lien et distance $latex D$ co\u00efncident.<\/li>\n  
        • Diff\u00e9rence cl\u00e9<\/strong> : au lieu de $latex v_2(3y+1)$ variable (classique), on a ici une division fix\u00e9e<\/em> par 4 chaque fois que l\u2019on revient en $latex 1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)$. \n      Les raisonnements \u00ab par distance \u00bb et \u00ab par c\u00f4ne\/barri\u00e8re \u00bb se transportent donc au cordeau<\/em>.<\/li>\n  
        • Lecture rapide<\/strong> : gr\u00e2ce \u00e0 $latex r_+=4D+1$, on lit $latex D$ imm\u00e9diatement via $latex D=\\frac{r_+-1}{4}$, comme dans ton tableau \u00ab raccourci \u00bb.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n\n\n\n
          Annexe : g\u00e9n\u00e9rateur de la table des distances<\/h3>\n\n
          def ligne_D(D:int):\n    r_m = 2*D - 1\n    Y_m = 3*D - 1\n    med = 3*D\n    Y_p = 3*D + 1\n    r_p = 4*D + 1\n    return (D, r_m, Y_m, med, Y_p, r_p)\n\nfor D in range(1, 21):\n    print(ligne_D(D))\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
          \n  
          Dynamique affine sur l\u2019ossature Collatz<\/h2>\n  
          R\u00e8gle (entiers \u2265 0) : \n  $latex f(x)=\\begin{cases}\n\\frac{x-1}{4}& \\text{si }x\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4),\\\\[4pt]\n3x-1& \\text{si }x\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 2)\\ \\text{(i.e. }x\\equiv3\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)\\text{)},\\\\[4pt]\n3x+1& \\text{si }x\\equiv0\\ (\\mathrm{mod}\\ 2).\n\\end{cases}$<\/span><\/p>\n  
          Id\u00e9e<\/strong> : on conserve la g\u00e9om\u00e9trie compress\u00e9e<\/em> de Collatz (colonnes $latex L_{r,n}$, racines minimales, liens, diagonales NE\/SE), mais on fixe<\/em> la partie 2-adique : d\u00e8s que l\u2019on atteint $latex \\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)$, on divise toujours<\/strong> par 4 (au lieu de diviser par $latex 2^{\\nu_2(3y+1)}$ variable).<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n\n\n\n\n
          1) Version compress\u00e9e \u00ab impairs \u00bb : deux blocs<\/h3>\n\n
            \n  
          • Bloc 1-pas (descente)<\/strong> : si $latex y\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)$, $latex \\ y\\mapsto \\frac{y-1}{4}$.<\/li>\n  
          • Bloc 3-pas (mont\u00e9e mod\u00e9r\u00e9e)<\/strong> : si $latex y\\equiv3\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)$, \n    $latex y\\ \\xrightarrow{3y-1}\\ \\text{pair}\\ \\xrightarrow{3x+1}\\ 9y-2\\ (\\equiv1\\bmod4)\\ \\xrightarrow{(x-1)\/4}\\ \\frac{9y-3}{4}$<\/span>.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n\n\n\n
            2) Param\u00e8tre distance $latex D$ et ossature racine \u2194 lien<\/h3>\n\n
            \n\n  \n    \n      \n    \n      \n      \n      \n      \n      
            Objet<\/th>\n      Formule<\/th>\n      R\u00e9sidus utiles<\/th>\n      Lecture de $latex D$<\/th>\n    <\/tr>\n  <\/thead>\n  
            Racine \u2212<\/strong> $latex r_-$<\/td>\n      $latex r_-=2D-1$<\/td>\n      $latex \\equiv1,3,5,7\\ (\\mathrm{mod}\\ 8)$<\/td>\n      $latex D=\\frac{r_-+1}{2}$<\/td>\n    <\/tr>\n    
            Lien \u2212<\/strong> $latex Y_-$<\/td>\n      $latex Y_-=3D-1$<\/td>\n      $latex \\equiv2\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)$<\/td>\n      $latex D=\\frac{Y_-+1}{3}$<\/td>\n    <\/tr>\n    
            Median<\/strong><\/td>\n      $latex \\mathrm{med}=3D$<\/td>\n      $latex \\equiv0\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)$<\/td>\n      $latex D=\\frac{\\mathrm{med}}{3}$<\/td>\n    <\/tr>\n    
            Lien +<\/strong> $latex Y_+$<\/td>\n      $latex Y_+=3D+1$<\/td>\n      $latex \\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)$<\/td>\n      $latex D=\\frac{Y_+-1}{3}$<\/td>\n    <\/tr>\n    
            Racine +<\/strong> $latex r_+$<\/td>\n      $latex r_+=4D+1$<\/td>\n      $latex \\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)$<\/strong><\/td>\n      $latex D=\\frac{r_+-1}{4}$<\/strong><\/td>\n    <\/tr>\n  <\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n\n\n\n\n\n\n
            3) Distances et divisions cach\u00e9es : $latex j=\\nu_2(3D+1)$<\/h3>\n\n
            Pour chaque $latex D$, on affiche la quintuple $(r_-,Y_-,\\mathrm{med},Y_+,r_+)$ et le nombre de \u00ab $latex \\div2$ suppl\u00e9mentaires \u00bb c\u00f4t\u00e9 classique : \n$latex j=\\nu_2(3D+1)$ (ainsi $latex \\nu_2(3r_+{+}1)=2+j$).<\/p>\n
            \n\n  \n    \n      \n    
            D<\/th>$latex r_-$<\/th>$latex Y_-$<\/th>med<\/th>$latex Y_+$<\/th>$latex r_+$<\/th>\n      $latex r_-\\ (\\mathrm{mod}\\ 8)$<\/th>$latex Y_\\pm\\ (\\mathrm{mod}\\ 3)$<\/th>$latex r_+\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)$<\/th>\n      $latex j$<\/span><\/th>\n      $latex 2{+}j$<\/span><\/th>\n    <\/tr>\n  <\/thead>\n  
            1<\/td>1<\/td>2<\/td>3<\/td>4<\/td>5<\/td>1<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>2<\/td>4<\/td><\/tr>\n    
            2<\/td>3<\/td>5<\/td>6<\/td>7<\/td>9<\/td>3<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>0<\/td>2<\/td><\/tr>\n    
            3<\/td>5<\/td>8<\/td>9<\/td>10<\/td>13<\/td>5<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>1<\/td>3<\/td><\/tr>\n    
            4<\/td>7<\/td>11<\/td>12<\/td>13<\/td>17<\/td>7<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>0<\/td>2<\/td><\/tr>\n    
            5<\/td>9<\/td>14<\/td>15<\/td>16<\/td>21<\/td>1<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>4<\/td>6<\/td><\/tr>\n    
            6<\/td>11<\/td>17<\/td>18<\/td>19<\/td>25<\/td>3<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>0<\/td>2<\/td><\/tr>\n    
            7<\/td>13<\/td>20<\/td>21<\/td>22<\/td>29<\/td>5<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>1<\/td>3<\/td><\/tr>\n    
            8<\/td>15<\/td>23<\/td>24<\/td>25<\/td>33<\/td>7<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>0<\/td>2<\/td><\/tr>\n    
            9<\/td>17<\/td>26<\/td>27<\/td>28<\/td>37<\/td>1<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>2<\/td>4<\/td><\/tr>\n    
            10<\/td>19<\/td>29<\/td>30<\/td>31<\/td>41<\/td>3<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>0<\/td>2<\/td><\/tr>\n    
            11<\/td>21<\/td>32<\/td>33<\/td>34<\/td>45<\/td>5<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>1<\/td>3<\/td><\/tr>\n    
            12<\/td>23<\/td>35<\/td>36<\/td>37<\/td>49<\/td>7<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>0<\/td>2<\/td><\/tr>\n    
            13<\/td>25<\/td>38<\/td>39<\/td>40<\/td>53<\/td>1<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>3<\/td>5<\/td><\/tr>\n    
            14<\/td>27<\/td>41<\/td>42<\/td>43<\/td>57<\/td>3<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>0<\/td>2<\/td><\/tr>\n    
            15<\/td>29<\/td>44<\/td>45<\/td>46<\/td>61<\/td>5<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>1<\/td>3<\/td><\/tr>\n    
            16<\/td>31<\/td>47<\/td>48<\/td>49<\/td>65<\/td>7<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>0<\/td>2<\/td><\/tr>\n  <\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n\n\n\n\n\n\n
            4) Colonnes compress\u00e9es et diagonales (g\u00e9om\u00e9trie partag\u00e9e)<\/h3>\n\n
            La g\u00e9om\u00e9trie est celle du compress\u00e9 Collatz : \n$latex \\displaystyle L_{r,n}=\\frac{(3r+1)4^n-1}{3}$ pour $latex n\\ge1$. \nElle d\u00e9pend de $latex r$ et du facteur $latex 4^n$ (m\u00eames \u00ab fratries \u00bb, m\u00eames diagonales NE\/SE). \nLa diff\u00e9rence avec Collatz tient uniquement \u00e0 la valeur fix\u00e9e<\/em> de la division par 2 : d\u00e8s que l\u2019on atteint $latex \\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)$ on divise par 4 (au lieu de $latex \\div 2^{\\nu_2(3y+1)}$ variable).<\/p>\n\n\n\n
            \n  
            Parcours \u00ab fratrie impaire \u00bb et cascade de pairs (reconstruction)<\/h4>\n  
            \n    Plut\u00f4t que d\u2019expliciter toutes les divisions par 2 de la classique (3x+1<\/em>, puis $latex \\div 2^k$), on parcourt seulement les impairs<\/strong> (lignes $latex L_{r,n}$). \n    La cascade de pairs est compress\u00e9e<\/em> mais reconstructible<\/strong> via la distance $latex D$.\n  <\/p>\n  
              \n    
            • Racine \u00ab + \u00bb<\/strong> $latex r_+=4D+1$ : la classique calcule $latex 3r_++1=12D+4=4(3D+1)$, donc au moins 2<\/strong> divisions par 2, puis encore \n      $latex j=\\nu_2(3D+1)$<\/span> divisions (si $latex 3D+1$ est pair). \n      Notre raccourci compress\u00e9 remplace tout par $latex r_+\\mapsto D$<\/strong>. \n      Option d\u2019affichage<\/em> : au retour sur $latex r_+$, afficher une (ou $latex j$) division(s) suppl\u00e9mentaire(s) pour visualiser le lien avec la classique.<\/li>\n    
            • Ex. 1 (53 \u2192 13 \u2192 3)<\/strong> : $latex r_+=53$ donne $latex D=13$, $latex Y_+=3D+1=40$ (ici $latex j=\\nu_2(40)=3$). \n      Classique : $latex 3\\cdot 53+1=160\\to80\\to40\\to20\\to10\\to5$ (total $latex 2+j=5$ divisions). \n      Nous : 53 \u2192 13 \u2192 3<\/strong> (fratrie impaire).<\/li>\n    
            • Ex. 2 (149 \u2192 37 \u2192 9)<\/strong> : $latex D=37$, $latex Y_+=112$ ($latex j=4$). \n      Classique : $latex 448\\to224\\to112\\to56\\to28\\to14\\to7$ (total $latex 6=2+j$). \n      Nous : 149 \u2192 37 \u2192 9<\/strong> (et on peut \u00ab montrer \u00bb une $latex \\div 2$ de plus si souhait\u00e9).<\/li>\n  <\/ul>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n\n\n\n\n
              5) Exemples de trajectoires (complet & compress\u00e9)<\/h3>\n\n
              Depuis 17<\/strong> : impairs visit\u00e9s (compress\u00e9) \n17 \u2192 13 \u2192 3 \u2192 25 \u2192 19 \u2192 127 \u2192 285 \u2192 71 \u2192 159 \u2192 89 \u2192 \u2026<\/code><\/p>\n
              Depuis 19<\/strong> : premiers blocs \n19 --(3-pas)\u2192 42 --(1-pas)\u2192 10 --(pair\u2026)\u2192 127 --(3-pas)\u2192 285 --(1-pas)\u2192 71 \u2026<\/code><\/p>\n\n\n\n\n\n\n
              6) Contraintes alg\u00e9briques sur d\u2019\u00e9ventuels cycles<\/h3>\n\n
              Si un tour de cycle impairs comporte $latex s$ blocs 1-pas et $latex t$ blocs 3-pas, la composition vaut \n$latex \\ y\\mapsto Ay+B$ avec $latex \\ A=\\frac{9^t}{4^{\\,s+t}}$. La condition $latex y=Ay+B$ force\n$latex \\ y=\\dfrac{B}{1-A}=\\dfrac{B\\cdot 4^{\\,s+t}}{\\,4^{\\,s+t}-9^{\\,t}\\,}$,\n\u00e0 concilier avec l\u2019int\u00e9gralit\u00e9 et les congruences (mod 3, mod 4) \u2014 fortes<\/em> restrictions, d\u2019autant que les valuations 2-adiques sont ici fig\u00e9es.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n
              Annexe : g\u00e9n\u00e9rer la table<\/h3>\n\n
              def ligne_D(D:int):\n    r_m = 2*D - 1\n    Y_m = 3*D - 1\n    med = 3*D\n    Y_p = 3*D + 1\n    r_p = 4*D + 1\n    j   = (Y_p & -Y_p).bit_length() - 1  # v2(3D+1)\n    return (D, r_m, Y_m, med, Y_p, r_p, j, 2 + j)\n\nfor D in range(1, 21):\n    print(ligne_D(D))\n<\/code><\/pre>\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
              Dynamique affine sur l\u2019ossature Collatz R\u00e8gle \u00e0 trois branches (entiers \u2265 0) : $latex f(x)=\\begin{cases} \\frac{x-1}{4}& \\text{si }x\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4),\\\\[4pt] 3x-1& \\text{si }x\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 2)\\ \\text{(i.e. }x\\equiv3\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)\\text{)},\\\\[4pt] 3x+1& \\text{si }x\\equiv0\\ (\\mathrm{mod}\\ 2). \\end{cases}$ Id\u00e9e : on conserve la g\u00e9om\u00e9trie compress\u00e9e de Collatz (colonnes $latex L_{r,n}$, racines minimales, \u00ab liens \u00bb, diagonales NE\/SE), mais on fige […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[436],"class_list":["post-56537","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-non-classe","tag-math"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/56537","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=56537"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/56537\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":56540,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/56537\/revisions\/56540"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=56537"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=56537"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=56537"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}