{"id":56541,"date":"2025-10-15T08:58:32","date_gmt":"2025-10-15T07:58:32","guid":{"rendered":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/?p=56541"},"modified":"2025-10-15T11:33:19","modified_gmt":"2025-10-15T10:33:19","slug":"collatz-preuve-variante-2x-1-mod-basee-sur-structure-compresse","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/collatz-preuve-variante-2x-1-mod-basee-sur-structure-compresse\/","title":{"rendered":"Collatz \u2013 Preuve variante 2x-1 mod bas\u00e9e sur structure compress\u00e9"},"content":{"rendered":"\n\n\n\n\n
\n

R\u00e9sum\u00e9 \u2014 Dynamique \u00ab ultra-compress\u00e9e \u00bb sur l\u2019ossature Collatz & pont vers la classique<\/h2>\n

R\u00e8gle \u00e9tudi\u00e9e (entiers \u2265 0) :\n $latex f(x)=\\begin{cases}\\frac{x-1}{4},& x\\equiv 1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4),\\\\[4pt]2x-1,& \\text{sinon.}\\end{cases}$<\/span><\/p>\n

Id\u00e9e : on garde la g\u00e9om\u00e9trie compress\u00e9e<\/em> de Collatz (colonnes $latex L_{r,n}$, fratries, diagonales), mais on \u00ab avale \u00bb la cascade des pairs en ne visitant que les fr\u00e8res impairs<\/strong>.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n\n\n\n\n

1) Ossature Collatz conserv\u00e9e  \u2014  racine, lien, distance<\/h3>\n\n

Colonnes compress\u00e9es comme en Collatz : \n$latex L_{r,n}=\\frac{(3r+1)4^n-1}{3}$<\/span> (n\u22651). \nChaque paire \u00ab racine \u2194 lien \u00bb se code par une distance<\/strong> $latex D\\in\\mathbb N$ :<\/p>\n

    \n
  • $latex r_-=2D-1,\\quad Y_-=3D-1,\\quad \\mathrm{med}=3D,\\quad Y_+=3D+1,\\quad r_+=4D+1$.<\/li>\n
  • Lectures rapides :\n $latex D=\\frac{r_-+1}{2}=\\frac{Y_-+1}{3}=\\frac{\\mathrm{med}}{3}=\\frac{Y_+-1}{3}=\\frac{r_+-1}{4}$<\/span>.<\/li>\n
  • $latex r_+\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)$ (raccourci imm\u00e9diat vers $latex D$).<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n\n\n\n
    \n

    \u00ab Fratrie impaire d\u2019abord \u00bb et reconstruction des pairs<\/h4>\n

    On parcourt uniquement les impairs (fr\u00e8res d\u2019une m\u00eame colonne). Les pairs de la classique sont compress\u00e9s<\/em> mais reconstructibles<\/strong> via $latex D$.<\/p>\n

      \n
    • Depuis une racine \u00ab + \u00bb $latex r_+=4D+1$ : la classique ferait $latex 3r_++1=4(3D+1)$, donc \u2265 2 divisions par 2, puis encore $latex j=\\nu_2(3D+1)$. Ici<\/em> on remplace par le raccourci $latex r_+\\mapsto D$<\/strong>.<\/li>\n
    • Exemples parlants :\n
        \n
      • 53 \u2192 13 \u2192 3<\/strong> (classique : 160\u219280\u219240\u219220\u219210\u21925).<\/li>\n
      • 149 \u2192 37 \u2192 9<\/strong> (classique : 448\u2192224\u2192112\u219256\u219228\u219214\u21927).<\/li>\n <\/ul>\n <\/li>\n <\/ul>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n\n\n\n\n
        \n

        Preuve courte par potentiel  $latex D$<\/span> (pour ta dynamique)<\/h4>\n

        Potentiel<\/strong> sur $latex r_+\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)$ : $latex D=\\frac{r_+-1}{4}$<\/span>.<\/p>\n

          \n
        • Un pas<\/em> : $latex r_+=4D+1\\mapsto D$.<\/li>\n
        • Remont\u00e9e \u00ab sinon \u00bb\u00d72<\/em> : $latex D\\mapsto r_-=2D-1\\mapsto r_+^{\\uparrow}=4(D-1)+1$, donc $latex D(r_+^{\\uparrow})=D-1$<\/span>.<\/li>\n <\/ul>\n

          Conclusion<\/strong> : \u00e0 chaque retour sur un $latex r_+$, la distance baisse d\u2019au moins 1<\/strong>. Il n\u2019existe donc aucun cycle impair non trivial<\/strong> pour la r\u00e8gle $latex \\big(\\frac{x-1}{4}\\text{ \/ }2x-1\\big)$.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n\n\n\n\n

          \n

          Lemme $latex R_+$ (Collatz, odd-only)<\/h4>\n

          \u00c9nonc\u00e9.<\/strong> Tout cycle impair (s\u2019il existait) contient au moins un $latex r_+\\equiv 1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)$.<\/p>\n

          Preuve \u00e9clair.<\/em> Soit $latex y^{\\ast}$ le plus grand impair du cycle. \n S\u2019il \u00e9tait $latex \\equiv 3\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)$, alors $latex v_2(3y^{\\ast}+1)=1$ et \n $latex T(y^{\\ast})=\\frac{3y^{\\ast}+1}{2}>y^{\\ast}$<\/span>, \n contradiction avec la maximalit\u00e9. Donc $latex y^{\\ast}\\equiv 1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)$.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n\n\n\n\n

          5) Pont vers Collatz (projection segments r+<\/em> \u2192 r+<\/em>)<\/h3>\n\n

          En Collatz impairs acc\u00e9l\u00e9r\u00e9 \n$latex T(y)=\\frac{3y+1}{2^{\\,k}}$<\/span> avec $latex k=\\nu_2(3y+1)$. \nAu d\u00e9part d\u2019un $latex r_+=4D+1$, on a $latex k\\ge 2$ donc au moins une \u00ab $latex \\div 4$ \u00bb nette. \nEn \u00e9chantillonnant seulement les retours sur $latex r_+$<\/strong>, on associe une suite $latex (D_t)$ telle que la variation \n$latex \\Delta D=D_{t+1}-D_t\\le -1$<\/span> (souvent $\\le -1-j$ avec $latex j=\\nu_2(3D+1)$ du premier pas). \nPar le lemme $latex R_+$, tout cycle impair se d\u00e9compose en ces segments : la somme des $latex \\Delta D$ sur un tour est donc strictement n\u00e9gative<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n

          6) Outil pratique : super-graphe r+<\/em> avec poids $latex \\Delta D$<\/h3>\n\n
            \n
          • Super-n\u0153uds<\/strong> : \u00e9tats $latex r_+$ (classes $latex \\alpha\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)$).<\/li>\n
          • Super-ar\u00eates<\/strong> : \u00ab $latex r_+\\to$ prochain $latex r_+$ \u00bb le long de l\u2019orbite.<\/li>\n
          • Poids<\/strong> : $latex \\Delta D\\le -1$ (bonus $latex \\Delta D=-1-(\\nu_2(3D+1)-2)$ si on lit $latex k$ au premier pas).<\/li>\n
          • Certificat min\u2013mean<\/strong> : sur ce graphe, toute CFC a moyenne $latex <0$ \u21d2 pas de cycle<\/em> (plus court, plus lisible que \u00ab $latex \\mu_{\\min}>\\log_2 3$ \u00bb).<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n\n\n\n

            7) Ce qui manque encore pour une preuve compl\u00e8te de Collatz<\/h3>\n\n
              \n
            • Uniformiser<\/strong> la n\u00e9gativit\u00e9 $latex \\Delta D<0$ sur tous<\/em> les segments $latex r_+\\to r_+$ (pas seulement \u00ab souvent \u00bb).<\/li>\n
            • Deux voies concr\u00e8tes :\n
                \n
              • Barri\u00e8re MCC<\/strong> : couverture inverse vers un sous-ensemble $latex B\\subset\\{\\alpha\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)\\}$ revu par toute CFC.<\/li>\n
              • Potentiel compl\u00e9mentaire<\/strong> (sur les pas hors $latex r_+$) pour rendre toute boucle n\u00e9gative, m\u00eame si un segment $latex r_+\\to r_+$ \u00e9tait limite.<\/li>\n <\/ul>\n <\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n\n\n\n
                \n

                TL;DR<\/strong> \u2014 M\u00eame g\u00e9om\u00e9trie que Collatz compress\u00e9 (fratries, diagonales). Sous ta r\u00e8gle, le potentiel $latex D$ baisse strictement<\/strong> \u21d2 pas de cycle. C\u00f4t\u00e9 Collatz, le lemme $latex R_+$<\/em> force un passage par $latex r_+$ ; en instrumentant les segments $latex r_+\\to r_+$ par $latex \\Delta D$, on obtient un certificat min\u2013mean<\/strong> tr\u00e8s fort sur les graphes finis. Pour conclure totalement, il reste \u00e0 rendre la n\u00e9gativit\u00e9 uniforme<\/em> (barri\u00e8re MCC ou potentiel compl\u00e9mentaire).<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n\n\n\n\n\n

                \n

                Dynamique \u00ab ultra-compress\u00e9e \u00bb sur l\u2019ossature Collatz : preuve par potentiel, contraction r+<\/em> et certificat min\u2013mean<\/h2>\n

                On conserve la g\u00e9om\u00e9trie compress\u00e9e de Collatz (colonnes, fratries, diagonales), mais on \u00ab avale \u00bb la cascade de divisions par 2 pour ne visiter que les impairs<\/strong>. On exhibe un potentiel entier<\/strong> $latex D$ qui d\u00e9cro\u00eet, puis on construit un super-graphe<\/strong> sur les n\u0153uds $latex r_+$ \u00e9tiquet\u00e9 par $latex \\Delta D$ et on constate un DAG<\/strong> (aucun cycle). D\u00e9mo et r\u00e9sultats b=7<\/strong> inclus.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n\n\n\n\n

                1) La r\u00e8gle et l\u2019ossature Collatz<\/h3>\n\n

                R\u00e8gle \u00e9tudi\u00e9e<\/strong> (entiers \u2265 0) :\n$latex f(x)=\\begin{cases}\\frac{x-1}{4},& x\\equiv 1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4),\\\\[4pt]2x-1,& \\text{sinon.}\\end{cases}$<\/span><\/p>\n

                On garde la g\u00e9om\u00e9trie compress\u00e9e de Collatz : \n$latex L_{r,n}=\\frac{(3r+1)4^n-1}{3}$<\/span> (n\u22651). \nChaque paire \u00ab racine \u2194 lien \u00bb se code par une distance<\/strong> $latex D\\in\\mathbb N$ :<\/p>\n

                  \n
                • $latex r_-=2D-1,\\qquad Y_-=3D-1,\\qquad \\mathrm{med}=3D,$<\/li>\n
                • $latex Y_+=3D+1,\\qquad r_+=4D+1\\ (\\equiv1\\ \\mathrm{mod}\\ 4)$,<\/li>\n
                • Lectures rapides : \n $latex D=\\frac{r_-+1}{2}=\\frac{Y_-+1}{3}=\\frac{\\mathrm{med}}{3}=\\frac{Y_+-1}{3}=\\frac{r_+-1}{4}$<\/span>.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n\n\n\n
                  \n

                  \u00ab Fratrie impaire d\u2019abord \u00bb & reconstruction des pairs<\/h4>\n

                  Plut\u00f4t que de d\u00e9rouler toutes les divisions par 2 de la classique, on ne visite que les impairs<\/strong> (fr\u00e8res d\u2019une m\u00eame colonne). Les pairs sont compress\u00e9s<\/em> mais reconstructibles<\/strong> via $latex D$.<\/p>\n

                    \n
                  • Depuis $latex r_+=4D+1$ : la classique ferait $latex 3r_++1=4(3D+1)$ (\u22652 divisions par 2) puis encore $latex j=\\nu_2(3D+1)$ divisions. Ici on remplace tout par $latex r_+\\mapsto D$<\/strong>.<\/li>\n
                  • Exemples<\/em> : 53 \u2192 13 \u2192 3<\/strong> (classique : 160\u219280\u219240\u219220\u219210\u21925) ; 149 \u2192 37 \u2192 9<\/strong> (classique : 448\u2192224\u2192112\u219256\u219228\u219214\u21927).<\/li>\n <\/ul>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n\n\n\n\n
                    \n

                    Preuve courte (r\u00e8gle ultra-compress\u00e9e) : $latex D$ d\u00e9cro\u00eet<\/h4>\n
                      \n
                    • Potentiel<\/strong> : sur chaque $latex r_+=4D+1$, pose $latex D=\\frac{r_+-1}{4}$.<\/li>\n
                    • Un pas<\/strong> : $latex r_+\\mapsto D$.<\/li>\n
                    • Remont\u00e9e \u00ab sinon \u00bb\u00d72<\/strong> : $latex D\\mapsto r_-=2D-1\\mapsto r_+^\\uparrow=4(D-1)+1$, donc $latex D(r_+^\\uparrow)=D-1$.<\/li>\n <\/ul>\n

                      Conclusion<\/strong> : \u00e0 chaque retour sur $latex r_+$, la distance baisse d\u2019au moins 1<\/strong>. Il n\u2019existe donc aucun cycle impair non trivial<\/strong> pour la r\u00e8gle $latex \\big(\\frac{x-1}{4}\\ \\text{\/}\\ 2x-1\\big)$.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n\n\n\n\n

                      \n

                      Lemme $latex R_+$ (Collatz, odd-only)<\/h4>\n

                      \u00c9nonc\u00e9.<\/strong> Tout cycle impair (s\u2019il existait) contient au moins un $latex r_+\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)$.<\/p>\n

                      Preuve \u00e9clair<\/em>. Si le plus grand impair $latex y^\\*$ \u00e9tait $latex 3\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)$, alors $latex v_2(3y^\\*+1)=1$ et $latex T(y^\\*)=\\frac{3y^\\*+1}{2}>y^\\*$ : contradiction. Donc $latex y^\\*\\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)$.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n\n\n\n\n

                      5) Contraction $latex r_+\\to r_+$ et poids $latex \\Delta D$<\/h3>\n\n

                      On construit un super-graphe<\/strong> : n\u0153uds = \u00e9tats $latex r_+$, ar\u00eates = \u00ab $latex r_+\\to$ prochain $latex r_+$ \u00bb. On \u00e9tiquette chaque ar\u00eate par \n$latex \\Delta D = D_{\\text{arriv\u00e9e}} – D_{\\text{d\u00e9part}}$<\/span>. Au minimum $latex \\Delta D\\le -1$ ; en version \u00ab bonus \u00bb, on prend le $latex k_0=\\nu_2(3r_+ + 1)$ du premier pas, et \n$latex \\Delta D = -1 – \\max(0,k_0-2)=1-k_0$<\/span>.<\/p>\n

                      Id\u00e9e-preuve<\/strong> : par le lemme $latex R_+$, tout cycle impair se d\u00e9coupe en segments $latex r_+\\to r_+$. Si la somme des $latex \\Delta D$ sur le tour est strictement n\u00e9gative<\/strong>, pas de cycle.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n

                      6) Reproductibilit\u00e9 : pipeline b = 7<\/h3>\n\n
                      # 1) Export du graphe U_fin coh\u00e9rent (odd-only pr\u00eat \u00e0 filtrer)\npython export_edges_coherent2.py `\n  --b 7 `\n  --kmax 12 `\n  --out-prefix out\\ufin_b7_coh `\n  --U 128 `\n  --annotate-j\n\n# 2) Filtrer en odd-only (et nettoyer les isol\u00e9s)\npython filter_edges_by_k.py `\n  --edges  out\\ufin_b7_coh_edges.csv `\n  --states out\\ufin_b7_coh_states.csv `\n  --out    out\\ufin_b7_odd_edges.csv `\n  --parity odd `\n  --drop_isolated\n\n# 3) Contraction r+\u2192r+ avec \u0394D (mode bonus)\npython export_rplus_deltaD_superedges.py `\n  --edges  out\\ufin_b7_odd_edges.csv `\n  --states out\\ufin_b7_odd_edges.csv.states.csv `\n  --out    out\\ufin_b7_rplus_deltaD_bonus.csv `\n  --mode   bonus `\n  --id-col state_id `\n  --alpha-col alpha64\n\n# 4) Adapter les colonnes pour Karp (src,dst,k)\nImport-Csv out\\ufin_b7_rplus_deltaD_bonus.csv |\n  Select-Object @{n='src';e={$_.src_rplus}}, @{n='dst';e={$_.dst_rplus}}, @{n='k';e={$_.deltaD}} |\n  Export-Csv out\\ufin_b7_rplus_deltaD_bonus.karp.csv -NoTypeInformation -Encoding UTF8\n\n# 5) Karp \/ SCC sur le super-graphe \u0394D\npython karp_minmean_from_edges.py --edges out\\ufin_b7_rplus_deltaD_bonus.karp.csv\npython scc_stats.py --edges out\\ufin_b7_rplus_deltaD_bonus.karp.csv --top 10\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n\n\n\n
                      \n  
                      R\u00e9sum\u00e9 chiffr\u00e9 (b=7)<\/h4>\n  
                        \n    
                      • Tailles<\/strong> : 64 887 n\u0153uds, 56 862 ar\u00eates (super-graphe $latex r_+|\\Delta D$).<\/li>\n    
                      • DAG<\/strong> confirm\u00e9 : toutes les CFC ont taille 1 (aucun cycle).<\/li>\n    
                      • Sources<\/strong> : 100 % des src<\/em> sont $latex \\equiv1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)$ (bien des $latex r_+$).<\/li>\n    
                      • Histogramme<\/strong> des poids $latex \\Delta D$ (mode \u00ab bonus \u00bb) :<\/li>\n  <\/ul>\n  
                        \n    \n      \n        \n        
                        $latex \\Delta D$<\/th>Comptes<\/th>$latex k_0=1-\\Delta D$<\/th><\/tr>\n      <\/thead>\n      
                        -10<\/td>2 187<\/td>11<\/td><\/tr>\n        
                        -8<\/td>8 748<\/td>9<\/td><\/tr>\n        
                        -6<\/td>34 992<\/td>7<\/td><\/tr>\n        
                        -4<\/td>2 187<\/td>5<\/td><\/tr>\n        
                        -2<\/td>8 748<\/td>3<\/td><\/tr>\n      <\/tbody>\n    <\/table>\n  <\/div>\n  
                        En moyenne, $latex \\overline{k_0}\\approx 6.77$ donc $latex \\overline{\\Delta D}\\approx -5.77$ : chaque segment $latex r_+\\to r_+$ baisse<\/strong> la distance $latex D$ d\u2019environ 5.8.<\/p>\n  
                        Extraits CSV<\/em> : 21|1763|2|48 \u2192 41|1169|2|0 ; \u0394D = \u22126<\/code> ; 45|277|1|0 \u2192 9|104|2|0 ; \u0394D = \u22122<\/code>.<\/p>\n  
                        Conclusion<\/strong> : la contraction $latex r_+\\to r_+$ mat\u00e9rialise la baisse stricte<\/strong> de $latex D$ ; le graphe est un DAG<\/strong>, donc aucun cycle possible sur l\u2019ossature (certificat court, entier et lisible).<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n\n\n\n\n
                        8) Comparaison avec les certificats \u00ab k \u00bb classiques<\/h3>\n\n
                        Sur le graphe odd-only b=7, Karp renvoie un cycle de moyenne $latex \\bar{k}=5$ (cycle [3,3,9]) : la marge vs $latex \\log_2 3$ est $latex 5-\\log_2 3\\approx +3.415$. C\u00f4t\u00e9 $latex \\Delta D$, on obtient plus fort : aucun cycle du tout<\/em> apr\u00e8s contraction $latex r_+\\to r_+$ (DAG). Les deux vues sont coh\u00e9rentes et se renforcent ; la vue $latex \\Delta D$ est plus simple et plus robuste (poids entiers, ind\u00e9pendants de b).<\/p>\n\n\n\n\n\n\n
                        9) FAQ & pi\u00e8ges courants<\/h3>\n\n
                          \n  
                        • Colonnes CSV pour Karp<\/strong> : il attend src,dst,k<\/code>. Renomme src_rplus,dst_rplus,deltaD<\/code> en une ligne PowerShell (voir \u00a76.4).<\/li>\n  
                        • Out-prefix<\/strong> : export_edges_coherent2.py<\/code> utilise --out-prefix<\/code> (pas --out-edges<\/code>\/--out-states<\/code>).<\/li>\n  
                        • Overrides colonnes<\/strong> : pour la contraction, le script accepte --id-col state_id<\/code> et --alpha-col alpha64<\/code>.<\/li>\n  
                        • Mode \u00ab safe \u00bb<\/strong> : si tu mets --mode safe<\/code>, toutes les ar\u00eates ont $latex \\Delta D=-1$ (certificat minimal) ; le graphe reste un DAG.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n\n\n\n
                          10) Et apr\u00e8s ?<\/h3>\n\n
                            \n  
                          • Monter b<\/strong> : r\u00e9p\u00e9ter le pipeline pour b=8,9\u2026 et documenter que le DAG (ou \u00e0 d\u00e9faut la moyenne $latex \\Delta D<0$) persiste.<\/li>\n  
                          • Variante universelle<\/strong> : remplacer $latex r_+=4D+1$ par $latex r_+^{(m)}=2^m D+1$ ; le m\u00eame sch\u00e9ma donne $latex \\Delta D_m\\le -1$ (bonus via $latex \\nu_2(3D+1)-m$).<\/li>\n  
                          • Publication<\/strong> : pr\u00e9senter c\u00f4te-\u00e0-c\u00f4te la marge \u00ab k \u00bb (vs $latex \\log_2 3$) et la vue $latex \\Delta D$ (DAG) ; c\u2019est p\u00e9dagogique et convaincant.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
                            \n  
                            b = 8 \u2014 contraction r+<\/em> \u2192 r+<\/em> et poids $latex \\Delta D$ (mode \u00ab bonus \u00bb)<\/h4>\n  
                              \n    
                            • Odd-only (avant contraction)<\/strong> : 767 637 ar\u00eates \u2014 aucun cycle d\u00e9tect\u00e9<\/em> par Karp (k_min = null).<\/li>\n    
                            • Super-graphe $latex r_+|\\Delta D$<\/strong> : 194 660 n\u0153uds, 170 586 ar\u00eates (toutes les sources $latex \\equiv 1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)$).<\/li>\n    
                            • DAG confirm\u00e9<\/strong> : toutes les CFC ont taille 1 (aucun cycle).<\/li>\n  <\/ul>\n\n  
                              Histogramme $latex \\Delta D$ (bonus : $latex \\Delta D=1-k_0$, $latex k_0=\\nu_2(3r_++1)$ du 1er pas)<\/strong> :<\/p>\n  
                              \n    \n      \n        
                              $latex \\Delta D$<\/th>Comptes<\/th>Part<\/th>$latex k_0=1-\\Delta D$<\/th><\/tr><\/thead>\n      
                              -10<\/td>6 561<\/td>3.846 %<\/td>11<\/td><\/tr>\n        
                              -8<\/td>26 244<\/td>15.385 %<\/td>9<\/td><\/tr>\n        
                              -6<\/td>104 976<\/td>61.538 %<\/td>7<\/td><\/tr>\n        
                              -4<\/td>6 561<\/td>3.846 %<\/td>5<\/td><\/tr>\n        
                              -2<\/td>26 244<\/td>15.385 %<\/td>3<\/td><\/tr>\n      <\/tbody>\n    <\/table>\n  <\/div>\n\n  
                              Moyennes<\/strong> : $latex \\overline{k_0}=\\frac{88}{13}\\approx 6.769\\,$; \n  $latex \\overline{\\Delta D}=\\frac{-75}{13}\\approx -5.769$. \n  Autrement dit, chaque segment $latex r_+\\to r_+$ fait baisser la distance $latex D$ d\u2019environ 5.77<\/strong> en moyenne.<\/p>\n\n  
                              Extraits CSV<\/em> : \n    21|805|1|18 \u2192 21|1259|2|0 ; \u0394D = \u22126<\/code> ; \n    21|3941|2|31 \u2192 13|323|2|0 ; \u0394D = \u221210<\/code>.\n  <\/p>\n\n  
                              Conclusion<\/strong> \u2014 La contraction $latex r_+\\to r_+$ mat\u00e9rialise une baisse stricte<\/strong> (et forte) de $latex D$ : le super-graphe est un DAG<\/strong>. Le motif d\u2019histogramme est le m\u00eame qu\u2019en b=7 (multipli\u00e9 par $latex 3^b$), ce qui corrobore la stabilit\u00e9<\/em> de la descente 2-adique sur l\u2019ossature.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n\n\n\n
                              \n  
                              b = 9 \u2014 contraction r+<\/em> \u2192 r+<\/em> et poids $latex \\Delta D$ (mode \u00ab bonus \u00bb)<\/h4>\n  
                                \n    
                              • Odd-only (avant contraction)<\/strong> : 2 302 911 ar\u00eates \u2014 aucun cycle d\u00e9tect\u00e9<\/em> par Karp (k_min = null).<\/li>\n    
                              • Super-graphe $latex r_+|\\Delta D$<\/strong> : 583 980 n\u0153uds, 511 758 ar\u00eates (toutes les sources $latex \\equiv 1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4)$).<\/li>\n    
                              • DAG confirm\u00e9<\/strong> : toutes les CFC ont taille 1 (aucun cycle).<\/li>\n  <\/ul>\n\n  
                                Histogramme $latex \\Delta D$<\/strong> (bonus : $latex \\Delta D=1-k_0$, $latex k_0=\\nu_2(3r_+ + 1)$ du 1er pas) :<\/p>\n  
                                \n    \n      \n        
                                $latex \\Delta D$<\/th>Comptes<\/th>Part<\/th>$latex k_0=1-\\Delta D$<\/th><\/tr><\/thead>\n      
                                -10<\/td>19 683<\/td>3,846 %<\/td>11<\/td><\/tr>\n        
                                -8<\/td>78 732<\/td>15,385 %<\/td>9<\/td><\/tr>\n        
                                -6<\/td>314 928<\/td>61,538 %<\/td>7<\/td><\/tr>\n        
                                -4<\/td>19 683<\/td>3,846 %<\/td>5<\/td><\/tr>\n        
                                -2<\/td>78 732<\/td>15,385 %<\/td>3<\/td><\/tr>\n      <\/tbody>\n    <\/table>\n  <\/div>\n\n  
                                Moyennes<\/strong> : $latex \\overline{k_0}=\\frac{88}{13}\\approx 6{,}769$ ; \n  $latex \\overline{\\Delta D}=\\frac{-75}{13}\\approx -5{,}769$ \u2014 chaque segment $latex r_+\\to r_+$ fait baisser $latex D$ d\u2019environ 5,77<\/strong> en moyenne.<\/p>\n\n  
                                Extraits CSV<\/em> : \n    21|2599|1|29 \u2192 21|4244|2|0 ; \u0394D = \u22128<\/code> ; \n    13|5201|2|0 \u2192 5|11792|2|0 ; \u0394D = \u22122<\/code> ; \n    21|6835|1|3 \u2192 45|15230|2|0 ; \u0394D = \u22126<\/code>.\n  <\/p>\n\n  
                                Conclusion<\/strong> \u2014 La contraction $latex r_+\\to r_+$ mat\u00e9rialise une baisse stricte<\/strong> (et forte) de $latex D$ : le super-graphe est un DAG<\/strong>. Le motif d\u2019histogramme est identique \u00e0 b=7\/8 (multipli\u00e9 par $latex 3^b$), montrant la stabilit\u00e9<\/em> de la descente 2-adique sur l\u2019ossature.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n\n\n\n
                                \n  
                                Comparatif b = 7, 8, 9 \u2014 super-graphe $latex r_+|\\Delta D$ (mode \u00ab bonus \u00bb)<\/h4>\n  
                                \n    \n      \n        \n          \n        \n          \n          \n          
                                b<\/th>n\u0153uds<\/th>ar\u00eates<\/th>DAG ?<\/th>\n          $latex \\overline{k_0}$<\/th>$latex \\overline{\\Delta D}$<\/th>\n          pattern $latex \\Delta D$<\/th>\n        <\/tr>\n      <\/thead>\n      
                                7<\/td>64 887<\/td>56 862<\/td>Oui<\/strong><\/td>\n          $latex 88\/13 \\approx 6{,}769$<\/td>$latex -75\/13 \\approx -5{,}769$<\/td>\n          $latex 3^7\\times[1,4,16,1,4]$ sur $latex [-10,-8,-6,-4,-2]$<\/td>\n        <\/tr>\n        
                                8<\/td>194 660<\/td>170 586<\/td>Oui<\/strong><\/td>\n          $latex 88\/13 \\approx 6{,}769$<\/td>$latex -75\/13 \\approx -5{,}769$<\/td>\n          $latex 3^8\\times[1,4,16,1,4]$<\/td>\n        <\/tr>\n        
                                9<\/td>583 980<\/td>511 758<\/td>Oui<\/strong><\/td>\n          $latex 88\/13 \\approx 6{,}769$<\/td>$latex -75\/13 \\approx -5{,}769$<\/td>\n          $latex 3^9\\times[1,4,16,1,4]$<\/td>\n        <\/tr>\n      <\/tbody>\n    <\/table>\n  <\/div>\n  
                                Lecture<\/em> \u2014 Le graphe contract\u00e9 reste un DAG<\/strong> en montant b (aucune boucle). La distribution des poids $latex \\Delta D$ est invariante<\/strong> (\u00e0 un facteur $latex 3^b$ pr\u00e8s) ; les moyennes $latex \\overline{k_0}$ et $latex \\overline{\\Delta D}$ sont constantes, confirmant une descente 2-adique \u00ab stationnaire \u00bb sur l\u2019ossature.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
                                R\u00e9sum\u00e9 \u2014 Dynamique \u00ab ultra-compress\u00e9e \u00bb sur l\u2019ossature Collatz & pont vers la classique R\u00e8gle \u00e9tudi\u00e9e (entiers \u2265 0) : $latex f(x)=\\begin{cases}\\frac{x-1}{4},& x\\equiv 1\\ (\\mathrm{mod}\\ 4),\\\\[4pt]2x-1,& \\text{sinon.}\\end{cases}$ Id\u00e9e : on garde la g\u00e9om\u00e9trie compress\u00e9e de Collatz (colonnes $latex L_{r,n}$, fratries, diagonales), mais on \u00ab avale \u00bb la cascade des pairs en ne visitant que les fr\u00e8res impairs. 1) Ossature […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[436],"class_list":["post-56541","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-non-classe","tag-math"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/56541","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=56541"}],"version-history":[{"count":4,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/56541\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":56545,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/56541\/revisions\/56545"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=56541"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=56541"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=56541"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}