{"id":56546,"date":"2025-10-15T12:08:58","date_gmt":"2025-10-15T11:08:58","guid":{"rendered":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/?p=56546"},"modified":"2025-10-16T19:46:12","modified_gmt":"2025-10-16T18:46:12","slug":"fr-updelta","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/fr-updelta\/","title":{"rendered":"FR -> UPdelta"},"content":{"rendered":" \n

Dynamique \u00ab ultra-compress\u00e9e \u00bb sur l\u2019ossature Collatz : potentiel, contraction r+<\/em>\u2192r+<\/em> et certificats<\/h2>

On conserve la g\u00e9om\u00e9trie compress\u00e9e de Collatz (colonnes, fratries, diagonales), mais on \u00ab avale \u00bb la cascade de divisions par 2 en ne visitant que les impairs<\/strong>. On exhibe un potentiel entier<\/strong> \\(D\\) qui d\u00e9cro\u00eet pour la r\u00e8gle \u00e9tudi\u00e9e, puis on construit un super-graphe<\/strong> sur les n\u0153uds \\(r_+\\) \u00e9tiquet\u00e9 par \\(\\Delta D\\). On donne des certificats (niveau n\u0153ud et niveau classes) et des observations num\u00e9riques (b = 7, 8, 9).<\/p> <\/div><\/div> \n

Port\u00e9e & niveau de preuve \u2014 \u00e0 lire avant<\/h4>
  • Th\u00e9or\u00e8me A (r\u00e8gle modifi\u00e9e prouv\u00e9e).<\/strong> Pour la dynamique \\(f(x)=\\frac{x-1}{4}\\) si \\(x\\equiv1\\pmod 4\\) et \\(f(x)=2x-1\\) sinon, le potentiel \\(D\\) d\u00e9cro\u00eet strictement \u00e0 chaque retour sur \\(r_+\\) ; il n\u2019existe aucun cycle impair non trivial<\/em> (preuve \u00a73).<\/li>
  • Lemme \\(R_+\\) (classique).<\/strong> Tout cycle impair (s\u2019il existait) contient un \\(r_+\\equiv1\\pmod 4\\) (preuve \u00e9clair \u00a74).<\/li>
  • Proposition B (r\u00e9duction conditionnelle \u00e0 Collatz).<\/strong> Si, dans la dynamique Collatz impaire, chaque<\/em> segment \\(r_+\\to r_+\\) v\u00e9rifie \\(\\Delta D<0[\/latex], alors il n\u2019existe aucun cycle impair<\/em> (\u00a75).<\/li>
  • Certificats obtenus.<\/strong> (i) Niveau n\u0153ud<\/em> : certificat [latex]\\Phi\\) avec \\(\\varepsilon=3\\) (mode \u00ab bonus \u00bb) pour b = 7, 8, 9 ; \u00ab worst \u00bb = \u22123.000000. (ii) Niveau classes<\/em> : certificats compacts faisables avec \\(\\varepsilon=2\\) ; \\(\\varepsilon=3\\) est structurellement infaisable<\/em> au quotient (2-cycles agr\u00e9g\u00e9s, cf. encadr\u00e9 \u00a76).<\/li>
  • Limite claire.<\/strong> Ces r\u00e9sultats n\u2019\u00e9quivalent pas \u00e0 une preuve compl\u00e8te de Collatz ; ils isolent une structure contractante et un programme de preuve<\/em> (plan \u00a712\u201313).<\/li> <\/ul> <\/div><\/div>

    1) R\u00e8gle et ossature Collatz<\/h3>

    R\u00e8gle \u00e9tudi\u00e9e<\/strong> (entiers \u2265 0) : \\(f(x)=\\begin{cases}\\frac{x-1}{4},& x\\equiv 1\\pmod 4,\\\\[4pt] 2x-1,& \\text{sinon.}\\end{cases}\\)<\/span><\/p>

    On garde la g\u00e9om\u00e9trie compress\u00e9e : \\(L_{r,n}=\\frac{(3r+1)4^n-1}{3}\\)<\/span> pour \\(n\\ge1\\). Chaque paire \u00ab racine \u2194 lien \u00bb se code par une distance<\/strong> \\(D\\in\\mathbb N\\) : \\(\\ r_-=2D-1,\\ Y_-=3D-1,\\ \\mathrm{med}=3D,\\ Y_+=3D+1,\\ r_+=4D+1\\). Lectures rapides : \\(D=\\frac{r_-+1}{2}=\\frac{Y_-+1}{3}=\\frac{\\mathrm{med}}{3}=\\frac{Y_+-1}{3}=\\frac{r_+-1}{4}\\)<\/span>. On a toujours \\(r_+\\equiv1\\pmod 4\\).<\/p> \n

    \u00ab Fratrie impaire d\u2019abord \u00bb et reconstruction des pairs<\/h4>

    On parcourt uniquement les impairs<\/strong> (fr\u00e8res d\u2019une m\u00eame colonne). Les pairs de la classique sont compress\u00e9s<\/em> mais reconstructibles<\/strong> via \\(D\\).<\/p>

    • Depuis une racine \u00ab + \u00bb \\(r_+=4D+1\\) : la classique fait \\(3r_++1=4(3D+1)\\) (\u2265 2 divisions par 2), puis encore \\(j=\\nu_2(3D+1)\\). Ici<\/em>, on remplace tout par \\(r_+\\mapsto D\\)<\/strong>.<\/li>
    • Exemples<\/em> : 53\u219213\u21923<\/strong> (classique : 160\u219280\u219240\u219220\u219210\u21925) ; 149\u219237\u21929<\/strong> (classique : 448\u2192224\u2192112\u219256\u219228\u219214\u21927).<\/li> <\/ul> <\/div><\/div> \n

      Preuve courte (dynamique ci-dessus) : \\(D\\) d\u00e9cro\u00eet<\/h4>
      • Potentiel<\/strong> : sur \\(r_+=4D+1\\), poser \\(D=\\frac{r_+-1}{4}\\).<\/li>
      • Un pas<\/strong> : \\(r_+\\mapsto D\\).<\/li>
      • Remont\u00e9e \u00ab sinon \u00bb \u00d7 2<\/strong> : \\(D\\mapsto r_-=2D-1\\mapsto r_+^{\\uparrow}=4(D-1)+1\\), donc \\(D(r_+^{\\uparrow})=D-1\\).<\/li> <\/ul>

        Conclusion<\/strong> : \u00e0 chaque retour sur un \\(r_+\\), la distance baisse d\u2019au moins 1<\/strong>. Il n\u2019existe donc aucun cycle impair non trivial<\/strong> pour la r\u00e8gle \\(\\big(\\frac{x-1}{4}\\ \/\\ 2x-1\\big)\\).<\/p> <\/div><\/div> \n

        Lemme \\(R_+\\) (Collatz, odd-only)<\/h4>

        \u00c9nonc\u00e9.<\/strong> Tout cycle impair (s\u2019il existait) contient au moins un \\(r_+\\equiv 1\\pmod 4\\).<\/p>

        Preuve \u00e9clair.<\/em> Soit \\(y^{\\ast}\\) le plus grand impair du cycle. S\u2019il \u00e9tait \\(\\equiv 3\\pmod 4\\), alors \\(v_2(3y^{\\ast}+1)=1\\) et \\(T(y^{\\ast})=\\frac{3y^{\\ast}+1}{2}>y^{\\ast}\\), contradiction. Donc \\(y^{\\ast}\\equiv 1\\pmod 4\\).<\/p> <\/div><\/div>

        5) Pont vers Collatz : segments r+<\/em>\u2192r+<\/em> et poids \\(\\Delta D\\)<\/h3>

        Dans Collatz impaire acc\u00e9l\u00e9r\u00e9, \\(T(y)=\\frac{3y+1}{2^{\\,k}}\\) avec \\(k=\\nu_2(3y+1)\\). En \u00e9chantillonnant seulement les retours<\/strong> \\(r_+\\to r_+\\), on d\u00e9finit \\(\\Delta D=D_{\\text{arriv\u00e9e}}-D_{\\text{d\u00e9part}}\\le -1\\). Version \u00ab bonus \u00bb : lire \\(k_0=\\nu_2(3r_++1)\\) au premier pas et poser \\(\\Delta D_{\\text{bonus}}=1-k_0\\ (\\le -1)\\).<\/p>

        Id\u00e9e-preuve.<\/strong> Par le lemme \\(R_+\\), tout cycle impair se d\u00e9coupe en ces segments. Si la somme des \\(\\Delta D\\) sur un tour est strictement n\u00e9gative<\/strong>, alors aucun cycle n\u2019est possible.<\/p> \n

        Passerelle entre distances : \\(D\\mapsto 2D+1\\)<\/h4>

        Pour \\(D_2=2D_1+1\\) et \\((r_-,Y_-,Y_+,r_+)=(2D-1,\\,3D-1,\\,3D+1,\\,4D+1)\\) : \\(r_+(D_1)=r_-(D_2)\\)<\/span> et \\(2\\,Y_+(D_1)=Y_-(D_2)\\)<\/span>. Par r\u00e9currence, pour \\(D^{(k)}=2^kD+(2^k-1)\\) : \\(2^kY_+(D)=Y_-(D^{(k)})\\).<\/p> <\/div><\/div>

        6) Exp\u00e9riences num\u00e9riques (b = 7, 8, 9)<\/h3>

        Protocole<\/em> : export du graphe odd-only coh\u00e9rent, contraction \\(r_+\\to r_+\\), puis analyse (Karp, CFC). On observe un DAG<\/strong> c\u00f4t\u00e9 super-graphe \\(r_+\\mid\\Delta D\\) (aucun cycle), avec histogramme invariant des poids \\(\\Delta D\\in\\{-10,-8,-6,-4,-2\\}\\) (multipli\u00e9 par \\(3^b\\)).<\/p>

        b<\/th>n\u0153uds<\/th>ar\u00eates<\/th>DAG ?<\/th> \\(\\overline{k_0}\\)<\/th>\\(\\overline{\\Delta D}\\)<\/th> pattern \\(\\Delta D\\)<\/th> <\/tr> <\/thead>
        7<\/td>64 887<\/td>56 862<\/td>Oui<\/strong><\/td> \\(88\/13\\approx 6{,}769\\)<\/td>\\(-75\/13\\approx -5{,}769\\)<\/td> \\(3^7\\times[1,4,16,1,4]\\) sur \\([-10,-8,-6,-4,-2]\\)<\/td> <\/tr>
        8<\/td>194 660<\/td>170 586<\/td>Oui<\/strong><\/td> \\(88\/13\\approx 6{,}769\\)<\/td>\\(-75\/13\\approx -5{,}769\\)<\/td> \\(3^8\\times[1,4,16,1,4]\\)<\/td> <\/tr>
        9<\/td>583 980<\/td>511 758<\/td>Oui<\/strong><\/td> \\(88\/13\\approx 6{,}769\\)<\/td>\\(-75\/13\\approx -5{,}769\\)<\/td> \\(3^9\\times[1,4,16,1,4]\\)<\/td> <\/tr> <\/tbody> <\/table> <\/div> \n

        Histogrammes \\(\\Delta D\\) (mode \u00ab bonus \u00bb)<\/h4>

        b = 7 : [\u221210 : 2 187], [\u22128 : 8 748], [\u22126 : 34 992], [\u22124 : 2 187], [\u22122 : 8 748] \u2014 moyenne \\(\\overline{\\Delta D}\\approx -5{,}77\\).<\/p>

        b = 8 : [\u221210 : 6 561], [\u22128 : 26 244], [\u22126 : 104 976], [\u22124 : 6 561], [\u22122 : 26 244] \u2014 m\u00eame moyenne.<\/p>

        b = 9 : [\u221210 : 19 683], [\u22128 : 78 732], [\u22126 : 314 928], [\u22124 : 19 683], [\u22122 : 78 732] \u2014 m\u00eame moyenne.<\/p>

        Lecture.<\/em> Le motif est invariant lorsqu\u2019on augmente b ; seules les masses se multiplient par \\(3^b\\).<\/p> <\/div><\/div> \n

        Certificats \u00ab n\u0153ud \u00bb vs \u00ab classes \u00bb : pourquoi \\(\\varepsilon=2\\) est optimal au quotient<\/h4>

        Niveau n\u0153ud (bonus)<\/strong> : on construit \\(\\Phi\\) tel que, pour toute ar\u00eate \\(u\\!\\to\\!v\\), \\(\\Delta D_{\\text{bonus}}(u,v)+\\Phi(v)-\\Phi(u)\\le -3\\). V\u00e9rifi\u00e9 pour b = 7, 8, 9 (DAG), \u00ab worst \u00bb = \u22123.000000.<\/p>

        Niveau classes<\/strong> (cl\u00e9s compactes : alpha8<\/em>, alpha64<\/em>, alpha64_k0<\/em>, alpha64_r2m4_k0<\/em>) : certificat faisable avec \\(\\varepsilon=2\\), mais \\(\\varepsilon=3\\) est infaisable<\/em>. Raison : s\u2019il existe des classes \\(A\\leftrightarrow B\\) li\u00e9es par des allers-retours dont les poids sont \\(w=-2\\) dans les deux sens<\/em>, les contraintes classe-\u00e0-classe lisent \\(\\Phi(B)\\le\\Phi(A)+(2-\\varepsilon)\\) et \\(\\Phi(A)\\le\\Phi(B)+(2-\\varepsilon)\\) ; la somme sur ce 2-cycle vaut \\(4-2\\varepsilon\\), n\u00e9gative d\u00e8s \\(\\varepsilon>2\\).<\/p>

        Cons\u00e9quence.<\/em> Les certificats par classes restent solides (\u03b5 = 2), et le certificat \u00ab n\u0153ud \u00bb (\u03b5 = 3) apporte une marge suppl\u00e9mentaire. Comme \\(\\Delta D\\le \\Delta D_{\\text{bonus}}\\), toute in\u00e9galit\u00e9 valide au mode bonus vaut a fortiori<\/strong> pour \\(\\Delta D\\) exact.<\/p> <\/div><\/div>

        7) Vue \u00ab odd-only \u00bb en deux blocs affines<\/h3>
        • Bloc 1-pas (descente forte)<\/strong> : si \\(y\\equiv1\\pmod 4\\), alors \\(y\\mapsto\\frac{y-1}{4}\\).<\/li>
        • Bloc 3-pas (mont\u00e9e mod\u00e9r\u00e9e)<\/strong> : si \\(y\\equiv3\\pmod 4\\), alors \\(y\\to 3y-1\\to 9y-2\\ (\\equiv1\\!\\!\\pmod 4)\\to \\frac{9y-3}{4}\\), i.e. \\(y\\mapsto \\frac94\\,y-\\frac34\\).<\/li> <\/ul>

          Un tour de cycle impair avec \\(s\\) blocs 1-pas et \\(t\\) blocs 3-pas composerait en \\(y\\mapsto Ay+B\\) avec \\(A=\\frac{9^t}{4^{s+t}}\\). La contrainte \\(y=Ay+B\\) donne \\(y=\\frac{B\\,4^{s+t}}{\\,4^{s+t}-9^t\\,}\\), \u00e0 concilier avec l\u2019int\u00e9gralit\u00e9 et les congruences (mod 3, mod 4) : restrictions fortes (les valuations 2-adiques \u00e9tant fig\u00e9es).<\/p>

          8) R\u00e9sidus utiles et \u00ab lectures rapides \u00bb<\/h3>
          • \\(r_-\\equiv1,3,5,7\\pmod 8\\) selon \\(D\\).<\/li>
          • \\(Y_-\\equiv2\\pmod 3\\), \\(\\mathrm{med}\\equiv0\\pmod 3\\), \\(Y_+\\equiv1\\pmod 3\\).<\/li>
          • \\(r_+\\equiv1\\pmod 4\\) \u21d2 \\(D=\\frac{r_+-1}{4}\\) imm\u00e9diatement.<\/li> <\/ul>

            Mn\u00e9mo<\/em> : \\(D=\\frac{r_-+1}{2}=\\frac{Y_-+1}{3}=\\frac{\\mathrm{med}}{3}=\\frac{Y_+-1}{3}=\\frac{r_+-1}{4}\\).<\/p>

            Annexe A \u2014 Tableau distances et \\(j=\\nu_2(3D+1)\\) (extrait)<\/h3>

            Pour chaque \\(D\\), on liste \\((r_-,Y_-,\\mathrm{med},Y_+,r_+)\\) et \\(j=\\nu_2(3D+1)\\) (ainsi \\(\\nu_2(3r_++1)=2+j\\)). Extrait \\(D=1\\ldots 16\\) :<\/p>

            D<\/th>\\(r_-\\)<\/th>\\(Y_-\\)<\/th>med<\/th>\\(Y_+\\)<\/th>\\(r_+\\)<\/th> \\(r_-\\ (\\bmod\\ 8)\\)<\/th>\\(Y_\\pm\\ (\\bmod\\ 3)\\)<\/th>\\(r_+\\ (\\bmod\\ 4)\\)<\/th> \\(j\\)<\/th>\\(2{+}j\\)<\/th> <\/tr> <\/thead>
            1<\/td>1<\/td>2<\/td>3<\/td>4<\/td>5<\/td>1<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>2<\/td>4<\/td><\/tr>
            2<\/td>3<\/td>5<\/td>6<\/td>7<\/td>9<\/td>3<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>0<\/td>2<\/td><\/tr>
            3<\/td>5<\/td>8<\/td>9<\/td>10<\/td>13<\/td>5<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>1<\/td>3<\/td><\/tr>
            4<\/td>7<\/td>11<\/td>12<\/td>13<\/td>17<\/td>7<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>0<\/td>2<\/td><\/tr>
            5<\/td>9<\/td>14<\/td>15<\/td>16<\/td>21<\/td>1<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>4<\/td>6<\/td><\/tr>
            6<\/td>11<\/td>17<\/td>18<\/td>19<\/td>25<\/td>3<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>0<\/td>2<\/td><\/tr>
            7<\/td>13<\/td>20<\/td>21<\/td>22<\/td>29<\/td>5<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>1<\/td>3<\/td><\/tr>
            8<\/td>15<\/td>23<\/td>24<\/td>25<\/td>33<\/td>7<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>0<\/td>2<\/td><\/tr>
            9<\/td>17<\/td>26<\/td>27<\/td>28<\/td>37<\/td>1<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>2<\/td>4<\/td><\/tr>
            10<\/td>19<\/td>29<\/td>30<\/td>31<\/td>41<\/td>3<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>0<\/td>2<\/td><\/tr>
            11<\/td>21<\/td>32<\/td>33<\/td>34<\/td>45<\/td>5<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>1<\/td>3<\/td><\/tr>
            12<\/td>23<\/td>35<\/td>36<\/td>37<\/td>49<\/td>7<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>0<\/td>2<\/td><\/tr>
            13<\/td>25<\/td>38<\/td>39<\/td>40<\/td>53<\/td>1<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>3<\/td>5<\/td><\/tr>
            14<\/td>27<\/td>41<\/td>42<\/td>43<\/td>57<\/td>3<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>0<\/td>2<\/td><\/tr>
            15<\/td>29<\/td>44<\/td>45<\/td>46<\/td>61<\/td>5<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>1<\/td>3<\/td><\/tr>
            16<\/td>31<\/td>47<\/td>48<\/td>49<\/td>65<\/td>7<\/td>2\/1<\/td>1<\/td>0<\/td>2<\/td><\/tr> <\/tbody> <\/table> <\/div>

            Annexe B \u2014 G\u00e9n\u00e9rateur minimal (Python)<\/h3> \n
            \n  def ligne_D(D:int): \n    r_m = 2*D - 1 \n    Y_m = 3*D - 1 \n    med = 3*D \n    Y_p = 3*D + 1 \n    r_p = 4*D + 1 \n    \n    # v2(3D+1) j = (Y_p & -Y_p).bit_length() - 1 \n    \n    return (D, r_m, Y_m, med, Y_p, r_p, j, 2 + j)\n\nfor D in range(1, 21):\nprint(ligne_D(D))\n<\/code><\/pre>\n\n   \n 
             
            Comparaison & limites<\/strong> \u2014 La dynamique \u00e9tudi\u00e9e n\u2019est pas<\/em> Collatz : son potentiel \\(D\\) donne une preuve compl\u00e8te (Th. A), alors que, pour Collatz, la d\u00e9croissance \\(\\Delta D<0[\/latex] reste \u00e0 \u00e9tablir pour tous<\/em> les segments [latex]r_+\\to r_+\\). Les v\u00e9rifications num\u00e9riques ici (jusqu\u2019\u00e0 b = 9) sont modestes par rapport aux explorations globales de Collatz ; leur int\u00e9r\u00eat est structurel<\/em> : ossature contract\u00e9e sans cycles et sch\u00e9ma 2-adique stable.<\/p> <\/div><\/div>     \n 
             
            TL;DR<\/strong> \u2014 M\u00eame ossature que Collatz compress\u00e9. Sous la r\u00e8gle affine \u00e9tudi\u00e9e, le potentiel \\(D\\) baisse strictement<\/strong> \u21d2 pas de cycle impair. C\u00f4t\u00e9 Collatz, le lemme \\(R_+\\)<\/em> force un passage par \\(r_+\\) ; instrument\u00e9s par \\(\\Delta D\\), les segments \\(r_+\\to r_+\\) fournissent un certificat<\/strong> robuste (num\u00e9riquement : DAG pour b = 7\u20139). Les certificats \u00ab par classes \u00bb sont optimaux \u00e0 \\(\\varepsilon=2\\) ; au niveau n\u0153ud, on atteint \\(\\varepsilon=3\\) (bonus).<\/p> <\/div><\/div>     \n 
             
            Programme de preuve globale \u2014 combiner D<\/em> et la passerelle D\u21a62D+1<\/em><\/h3> 
               
            1. Espace d\u2019\u00e9tats exact & contraction<\/strong> : classes finies \\((\\alpha\\bmod 64\\ \\text{impair},\\ \\beta\\bmod 3^b,\\ r_2\\bmod 2^q)\\) (m\u00e9moire 2-adique \\(r_2\\) sur la barri\u00e8re \\(\\alpha=21\\)). Super-graphe des retours \\(r_+\\to r_+\\) et variation r\u00e9elle \\(\\Delta D:=D(r_+’)-D(r_+)\\).<\/li> 
            2. Bonus local<\/strong> : pour \\(r_+=4D+1\\), poser \\(k_0=\\nu_2(3r_++1)=2+\\nu_2(3D+1)\\), et \\(\\Delta D_{\\text{bonus}}:=1-k_0\\le -1\\).<\/li> 
            3. Objectif \u00e0 montrer<\/strong> : pour chaque<\/em> classe \\((\\alpha,\\beta,r_2)\\), \u00e9tablir \\(\\Delta D\\le 1-k_0\\)<\/strong>. Alors \\(D\\) d\u00e9cro\u00eet strictement sur chaque retour \u21d2 pas de cycle.<\/li> 
            4. Passerelle<\/strong> : prouver que l\u2019in\u00e9galit\u00e9 est stable<\/em> par \\(D\\mapsto 2D+1\\) (propagation par r\u00e9currence) ; on se ram\u00e8ne \u00e0 un noyau fini<\/em> de classes.<\/li> <\/ol> 
               
              Deux voies concr\u00e8tes<\/h4> 
                 
              1. (A) Lemme 2-adique local (structurel).<\/strong> D\u00e9composer le segment r\u00e9el \\(r_+\\rightsquigarrow r_+’\\). Hors barri\u00e8re (\\(\\alpha\\neq 21\\)), \\(v_2(3y+1)\\le 5\\) est d\u00e9terministe ; sur barri\u00e8re (\\(\\alpha=21\\)), \\(r_2\\) code la solution 2-adique. Montrer que la longueur minimale du \u00ab couloir \u00bb jusqu\u2019au prochain \\(1\\ (\\bmod 4)\\) consomme au moins \\(k_0-1\\) unit\u00e9s de \\(D\\), d\u2019o\u00f9 \\(\\Delta D\\le 1-k_0\\).<\/li> 
              2. (B) Certificat dual \\(\\Phi\\).<\/strong> Trouver \\(\\Phi\\) et \\(\\varepsilon>0\\) tels que, pour chaque ar\u00eate \\(r_+\\to r_+’\\), \\(\\Delta D_{\\text{bonus}}+\\Phi(r_+’)-\\Phi(r_+)\\le -\\varepsilon\\). Comme \\(\\Delta D\\le \\Delta D_{\\text{bonus}}\\), on en d\u00e9duit \\(\\Delta D+\\Delta\\Phi\\le -\\varepsilon\\) \u21d2 aucun cycle<\/strong>.<\/li> <\/ol> <\/div><\/div>     \n 
                 
                Lemme local 2-adique \u2014 \u00e9nonc\u00e9 & squelette<\/h3> 
                \u00c9nonc\u00e9.<\/strong> Soit un \u00e9tat \\((\\alpha,\\beta,r_2)\\) repr\u00e9sentant \\(r_+=4D+1\\) (donc \\(r_+\\equiv1\\pmod4\\)). Posons \\(k_0=\\nu_2(3r_++1)=2+j\\) avec \\(j=\\nu_2(3D+1)\\ge 0\\). Soit \\(r_+’\\) le premier<\/em> impair \\(\\equiv 1\\ (\\bmod 4)\\) atteint en it\u00e9rant \\(T(y)=\\frac{3y+1}{2^{\\nu_2(3y+1)}}\\) \u00e0 partir de \\(r_+\\). Alors \\(\\Delta D:=D(r_+’)-D(r_+)\\ \\le\\ 1-k_0.\\)<\/strong><\/span><\/p> 
                Preuve \u2014 squelette.<\/strong> \u00c9crire \\(3r_++1=4(3D+1)\\) et \\(T(r_+)=m=(3D+1)\/2^{\\,j}\\). Hors barri\u00e8re, les valuations rencontr\u00e9es sont born\u00e9es et d\u00e9terministes selon \\(\\alpha\\) ; sur barri\u00e8re, \\(r_2\\) r\u00e9sout la congruence 2-adique. Dans les deux cas, on borne en dessous la longueur du couloir \\((\\bmod 4)\\) entre \\(r_+\\) et \\(r_+’\\) et on comptabilise la diminution de \\(D\\).<\/p> 
                Stabilit\u00e9 par passerelle.<\/strong> Si \\(D_2=2D_1+1\\), les identit\u00e9s \\(r_+(D_1)=r_-(D_2)\\) et \\(2Y_+(D_1)=Y_-(D_2)\\) transportent l\u2019in\u00e9galit\u00e9 de \\(D_1\\) \u00e0 \\(D_2\\) ; par r\u00e9currence, on se ram\u00e8ne \u00e0 un noyau fini.<\/p> <\/div><\/div>    ","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
                Dynamique \u00ab ultra-compress\u00e9e \u00bb sur l\u2019ossature Collatz : potentiel, contraction r+\u2192r+ et certificats On conserve la g\u00e9om\u00e9trie compress\u00e9e de Collatz (colonnes, fratries, diagonales), mais on \u00ab avale \u00bb la cascade de divisions par 2 en ne visitant que les impairs. On exhibe un potentiel entier \\(D\\) qui d\u00e9cro\u00eet pour la r\u00e8gle \u00e9tudi\u00e9e, puis on construit […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"saved_in_kubio":false,"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[436],"class_list":["post-56546","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-non-classe","tag-math"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/56546","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=56546"}],"version-history":[{"count":11,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/56546\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":56557,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/56546\/revisions\/56557"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=56546"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=56546"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=56546"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}