\nla branche positive<\/strong> (d\u00e9calage \u22121 puis un impair sur deux) et la branche n\u00e9gative<\/strong> (d\u00e9calage +1 puis un impair sur trois).
\nCes deux sous-dynamiques s\u2019identifient aux triangulaires
\n\\( T(n)=\\frac{n(n+1)}{2}\\;\\) et \\(T(n)-1\\),
\nse superposent apr\u00e8s normalisation par \u201cblocs d\u2019impairs\u201d, et sont reli\u00e9es par un pont (vertical) de longueur 1.
\nOn en d\u00e9duit une g\u00e9om\u00e9trie simple : aucun cycle<\/u> ne peut vivre int\u00e9gralement sur l\u2019une des branches,
\net toute boucle non triviale devrait alterner (+\/\u2212), donc \u201cquitter le squelette\u201d \u00e0 chaque tour \u2014 ce qui fournit un levier d\u2019exclusion<\/em>.<\/p>\n
1) Aplatissement par d\u00e9calage et sous-\u00e9chantillonnage<\/h2>\n
On travaille sur la dynamique impaire compress\u00e9e \\( y\\mapsto T(y)=\\frac{3y+1}{2^{k(y)}}\\;\\) (avec \\(k(y)=v_2(3y+1)\\)).
\nOn aplanit selon deux r\u00e8gles conjugu\u00e9es :<\/p>\n
- \n
- Branche +<\/strong> : on d\u00e9cale<\/u> \\(x\\mapsto x-1\\) puis on ne regarde qu\u2019un impair sur deux<\/u>.
\n L\u2019index aplati suit \\(J_{m+1}=J_m+(m+1)\\), d\u2019o\u00f9 \\(J_m=J_0+T(m)\\).
\n Les \u201cdistances positives\u201d parcourables sont donc \\(P=\\{T(0),T(1),T(2),\\dots\\}=\\{0,1,3,6,10,15,21,28,\\dots\\}\\).<\/li>\n- Branche \u2212<\/strong> : on d\u00e9cale<\/u> \\(x\\mapsto x+1\\) puis on ne regarde qu\u2019un impair sur trois<\/u>.
\n L\u2019index aplati suit \\(K_{m+1}=K_m-(m+1)\\), d\u2019o\u00f9 \\(K_m=K_0-T(m)\\).
\n Les \u201cdistances n\u00e9gatives\u201d parcourables sont \\(N=\\{T(n)-1:n\\ge0\\}=\\{-1,0,2,5,9,14,20,27,35,\\dots\\}\\).<\/li>\n<\/ul>\nTests rapides (Gauss) :<\/em>
\n\\(x\\in P\\iff 8x+1\\;\\) est un carr\u00e9 parfait ;
\n\\(x\\in N\\iff 8x+9\\;\\) est un carr\u00e9 parfait.<\/p>\n\n Fichiers pour la m\u00e9diath\u00e8que :<\/strong><\/p>\n- \n
- Figure 1 \u2014 Courbes pli\u00e9es (compression 2 vs 3 impairs) : pliage_compression.png<\/a><\/li>\n
- Figure 2 \u2014 Pliage normalis\u00e9 par blocs (n) : pliage_normalise.png<\/a><\/li>\n
- Figure 3 \u2014 Ponts entre branches : ponts_branches.png<\/a><\/li>\n
- Donn\u00e9es \u2014 premiers termes (CSV) : triangulaires_pliage.csv<\/a><\/li>\n<\/ul>\n
Importer ces images\/CSV dans WordPress, puis ins\u00e9rer les m\u00e9dias comme d\u2019habitude. (On peut remplacer ci-dessous les
<img src=\"...\"><\/code> par les URLs WordPress apr\u00e8s upload.)<\/p>\n<\/div>\n\n Figure 1.<\/em> Courbes pli\u00e9es : \\(y_+(x)=T\\!\\left(\\frac{x}{2}\\right)\\) (blocs de 2 impairs) et
\n \\(y_-(x)=T\\!\\left(\\frac{x}{3}\\right)\\) (blocs de 3 impairs).
\n![\"Courbes](\"sandbox:\/mnt\/data\/pliage_compression.png\")
\n<\/p>\n2) Normaliser par blocs : le reflet autour de \\(T(n)-\\frac12\\)<\/h2>\n
On synchronise les \u201chorloges\u201d en rempla\u00e7ant l\u2019abscisse \u201cnombre d\u2019impairs consomm\u00e9s\u201d par l\u2019index de bloc<\/u> \\(n\\) :
\nun bloc vaut 2 impairs pour la branche +, 3 impairs pour la branche \u2212.
\nApr\u00e8s normalisation, on observe :<\/p>\n\n \\(y_+(n)=T(n),\\qquad y_-(n)=T(n)-1.\\)\n<\/p>\n
Les deux courbes ne diff\u00e8rent plus que d\u2019un d\u00e9calage vertical constant<\/u> de 1,
\net la droite m\u00e9diane \\(y=T(n)-\\frac12\\) est un axe de reflet<\/u> (branche \u2212 \u2194 branche +).<\/p>\n\n Figure 2.<\/em> Pliage normalis\u00e9 (par blocs \\(n\\)) et reflet vertical.
\n![\"Pliage](\"sandbox:\/mnt\/data\/pliage_normalise.png\")
\n<\/p>\n3) Le \u201cpont\u201d (+\/\u2212) : longueur 1<\/h2>\n
Pour chaque \\(n\\), les points \\(T(n)-1\\) (branche \u2212) et \\(T(n)\\) (branche +)
\nsont reli\u00e9s par un segment vertical de longueur 1<\/strong> : c\u2019est exactement le \u201cd\u00e9calage \\(\\pm1\\)\u201d.<\/p>\n\n Figure 3.<\/em> Ponts entre branches (segments \\(T(n)-1\\leftrightarrow T(n)\\)).
\n![\"Ponts](\"sandbox:\/mnt\/data\/ponts_branches.png\")
\n<\/p>\n4) Cons\u00e9quences structurelles<\/h2>\n
4.1. Monotonicit\u00e9s fortes \u21d2 pas de cycle \u201cpur\u201d<\/h3>\n
- \n
- Branche + : \\(T(n)\\) cro\u00eet strictement ; on diverge (\\(\\sim \\frac{n^2}{2}\\) apr\u00e8s normalisation, \\(\\sim \\frac{x^2}{8}\\) en impairs).
\n Un cycle ne peut pas rester confin\u00e9 ici.<\/li>\n - Branche \u2212 : \\(T(n)-1\\) d\u00e9cro\u00eet en remontant le sens des liens (trajets du type \\(14\\to9\\to5\\to2\\to0\\to(-1)\\)).
\n L\u00e0 non plus, pas de cycle autonome.<\/li>\n<\/ul>\nConclusion :<\/strong> tout cycle non trivial devrait alterner<\/u> (+\/\u2212), donc emprunter le pont (d\u00e9calage \u00b11) et quitter le squelette<\/u> (les suites \\(P\\cup N\\) sont de densit\u00e9 0).
\nCette alternance impose des bilans impossibles si l\u2019on reste dans un r\u00e9gime \u201cdominant\u201d (trop de blocs 2-impairs ou<\/em> trop de blocs 3-impairs).<\/p>\n4.2. \u201cPentes\u201d quadratiques et balance 2\/3<\/h3>\n
En abscisse \u201cimpairs\u201d, on a les \u00e9quivalents :
\n\\(y_+(x)\\sim \\frac{x^2}{8}\\) et \\(y_-(x)\\sim \\frac{x^2}{18}\\).
\nLe rapport d\u2019\u00e9chelle \\(\\frac{18}{8}\\approx2.25\\) encode la dissym\u00e9trie 2-impairs vs 3-impairs.
\nDans un certificat min\u2013moyenne (poids \\(k=v_2(3y+1)-\\log_2 3\\)),
\ncette dissym\u00e9trie se traduit par une domination de \\(\\mu_{\\min}\\) au-dessus (branche +) ou en-dessous (branche \u2212) de \\(\\log_2 3\\),
\net l\u2019impossibilit\u00e9 d\u2019\u00e9quilibrer une boucle sans \u201cpayer\u201d des violations de squelette.<\/p>\n4.3. Petit tableau de r\u00e9f\u00e9rence<\/h3>\n
<\/p>\n
\n
\n n<\/th>\n T(n)\u22121 (branche \u2212)<\/th>\n T(n) (branche +)<\/th>\n<\/tr>\n \n 0<\/td>\n -1<\/td>\n 0<\/td>\n<\/tr>\n \n 1<\/td>\n 0<\/td>\n 1<\/td>\n<\/tr>\n \n 2<\/td>\n 2<\/td>\n 3<\/td>\n<\/tr>\n \n 3<\/td>\n 5<\/td>\n 6<\/td>\n<\/tr>\n \n 4<\/td>\n 9<\/td>\n 10<\/td>\n<\/tr>\n \n 5<\/td>\n 14<\/td>\n 15<\/td>\n<\/tr>\n \n 6<\/td>\n 20<\/td>\n 21<\/td>\n<\/tr>\n \n 7<\/td>\n 27<\/td>\n 28<\/td>\n<\/tr>\n \n 8<\/td>\n 35<\/td>\n 36<\/td>\n<\/tr>\n \n 9<\/td>\n 44<\/td>\n 45<\/td>\n<\/tr>\n \n 10<\/td>\n 54<\/td>\n 55<\/td>\n<\/tr>\n \n 11<\/td>\n 65<\/td>\n 66<\/td>\n<\/tr>\n \n 12<\/td>\n 77<\/td>\n 78<\/td>\n<\/tr>\n \n 13<\/td>\n 90<\/td>\n 91<\/td>\n<\/tr>\n \n 14<\/td>\n 104<\/td>\n 105<\/td>\n<\/tr>\n \n 15<\/td>\n 119<\/td>\n 120<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n 5) Int\u00e9gration pratique (scripts & certificats)<\/h2>\n
5.1. Marquer \u201csur squelette \/ hors squelette\u201d<\/h3>\n
Pour chaque impair \\(y\\) de ta trajectoire compress\u00e9e :<\/p>\n
- \n
- Calculer l\u2019indice aplati<\/em> candidat c\u00f4t\u00e9 + et c\u00f4t\u00e9 \u2212 (via les d\u00e9calages \\(\\pm1\\)).<\/li>\n
- Tester l\u2019appartenance :
\n \\(y\\in P\\iff 8y+1\\) carr\u00e9 ; \\(y\\in N\\iff 8y+9\\) carr\u00e9.<\/li>\n- Logger les passages (+), (\u2212), et les \u201csorties\u201d (ni P ni N).<\/li>\n<\/ol>\n
5.2. Crit\u00e8re d\u2019exclusion pour les CFC<\/h3>\n
Sur une composante fortement connexe (CFC) de ton NFA\/DFA, d\u00e9nombrer :<\/p>\n
- \n
- \\(b_2\\) = nombre de blocs \u201c2-impairs\u201d r\u00e9ellement suivis (branche +),<\/li>\n
- \\(b_3\\) = nombre de blocs \u201c3-impairs\u201d (branche \u2212),<\/li>\n
- et le cumul des poids \\(\\sum(k-\\log_2 3)\\).<\/li>\n<\/ul>\n
Une boucle fermerait n\u00e9cessairement<\/em> avec un bilan combinant
\nles pas \\((+1,+2,+3,\\dots)\\) et \\((-1,-2,-3,\\dots)\\) ;
\nsi l\u2019on prouve que toutes<\/u> les CFC imposent un signe strict (par ex. \\(\\mu_{\\min}>\\log_2 3\\)
\nou bien une in\u00e9galit\u00e9 stricte sur \\(b_2,b_3\\)), la boucle est exclue.<\/p>\n6) Annexe : snippets utiles<\/h2>\n
6.1. Tests d\u2019appartenance (Python)<\/h3>\n
\nimport math\n\ndef is_square(n): \n r = int(math.isqrt(n))\n return r*r == n\n\ndef in_P(x): # triangulaires\n return is_square(8*x + 1)\n\ndef in_N(x): # un de moins que triangulaire\n return is_square(8*x + 9)\n<\/code><\/pre>\n6.2. Rappels asymptotiques<\/h3>\n
En abscisse \u201cimpairs\u201d : \\(y_+(x)\\sim \\frac{x^2}{8}\\) et \\(y_-(x)\\sim \\frac{x^2}{18}\\),
\ndonc la branche + \u201cmonte\u201d plus vite.
\nApr\u00e8s normalisation par blocs : \\(y_+(n)=T(n)\\) et \\(y_-(n)=T(n)-1\\) (pont de longueur 1).<\/p>\nRemerciements.<\/em> Cette \u201cvue pli\u00e9e\u201d fait \u00e9cho aux tables MCC\/MRC et aux familles universelles \\(F_m\\) :
\nelle fournit un squelette tr\u00e8s parcimonieux (densit\u00e9 nulle) et un pont de compensation \\(\\pm1\\).
\nC\u2019est un support visuel\/arithm\u00e9tique robuste pour les certificats min\u2013moyenne (\\(\\mu_{\\min}\\))
\net le contr\u00f4le des alternances (+\/\u2212) dans les CFC.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"Collatz \u201caplati\u201d : deux courbes pli\u00e9es, un pont de longueur 1 R\u00e9sum\u00e9. On projette la dynamique impaire compress\u00e9e du Collatz sur deux suites tr\u00e8s clairsem\u00e9es : la branche positive (d\u00e9calage \u22121 puis un impair sur deux) et la branche n\u00e9gative (d\u00e9calage +1 puis un impair sur trois). Ces deux sous-dynamiques s\u2019identifient aux triangulaires \\( T(n)=\\frac{n(n+1)}{2}\\;\\) […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"saved_in_kubio":false,"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[436],"class_list":["post-56563","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-non-classe","tag-math"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/56563","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=56563"}],"version-history":[{"count":4,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/56563\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":56567,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/56563\/revisions\/56567"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=56563"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=56563"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=56563"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
- Tester l\u2019appartenance :
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- Figure 2 \u2014 Pliage normalis\u00e9 par blocs (n) : pliage_normalise.png<\/a><\/li>\n
- Branche \u2212<\/strong> : on d\u00e9cale<\/u> \\(x\\mapsto x+1\\) puis on ne regarde qu\u2019un impair sur trois<\/u>.