{"id":56568,"date":"2025-10-26T13:54:35","date_gmt":"2025-10-26T12:54:35","guid":{"rendered":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/?p=56568"},"modified":"2025-10-26T13:54:35","modified_gmt":"2025-10-26T12:54:35","slug":"fr-preuve-par-tape","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/fr-preuve-par-tape\/","title":{"rendered":"Fr &#8211; Preuve par tape"},"content":{"rendered":"<p><!-- BEGIN: Tape de base \u2192 convergence, puis ricochet vers Collatz --><\/p>\n<section>\n<h2>Tape de base : r\u00e8gles et convergence<\/h2>\n<p><strong>R\u00e8gles (telles qu\u2019on les fige ici)<\/strong> :<\/p>\n<ul>\n<li><strong>pair +<\/strong> : devient <strong>impair +<\/strong> (on reste c\u00f4t\u00e9 + et on atteint une valeur impaire).<\/li>\n<li><strong>impair +<\/strong> : devient <strong>impair \u2212<\/strong> (on change de signe en restant impaire).<\/li>\n<li><strong>pair \u2212<\/strong> : <em>halving<\/em> jusqu\u2019\u00e0 l\u2019<strong>impair \u2212<\/strong> suivant (ex. : <code>-14 \u2192 -7<\/code>).<\/li>\n<li><strong>impair \u2212<\/strong> : si \\(t=-(2d-1)\\) avec \\(d=\\frac{|t|+1}{2}\\ge 1\\), on pose<br \/>\n      \\[<br \/>\n      G(t)\\;=\\;-\\operatorname{odd}\\!\\Big(\\Big\\lfloor \\frac{3d-1}{2}\\Big\\rfloor\\Big),<br \/>\n      \\]<br \/>\n      o\u00f9 \\(\\operatorname{odd}(n)=\\frac{n}{2^{\\nu_2(n)}}\\) est la partie impaire de \\(n\\).<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Lemme (contraction sur les impairs n\u00e9gatifs).<\/strong><br \/>\n  Pour tout \\(t=-(2d-1)\\) avec \\(d\\ge2\\) :<br \/>\n  \\[<br \/>\n  \\Big\\lfloor \\frac{3d-1}{2}\\Big\\rfloor \\;<\\; 2d-1 \\;=\\; |t|\n  \\quad\\Longrightarrow\\quad\n  |G(t)| \\;<\\; |t|.\n  \\]\n  Et \\(G(-1)=-1\\) (point fixe).<\/p>\n<p><strong>Proposition (convergence).<\/strong><br \/>\n  Toute orbite de la tape de base <em>finit<\/em> \u00e0 \\(-1\\).<br \/>\n  En effet, tout \\(t&gt;0\\) passe obligatoirement par la zone <em>impair \u2212<\/em> (<em>pair+<\/em> \u2192 <em>impair+<\/em> \u2192 <em>impair\u2212<\/em>), et<br \/>\n  le lemme montre que, d\u00e8s qu\u2019on est sur un <em>impair \u2212<\/em>, la valeur \\(|t|\\) d\u00e9cro\u00eet strictement (apr\u00e8s halving pour les pairs \u2212), jusqu\u2019\u00e0 \\(-1\\).<\/p>\n<details>\n<summary>Exemples rapides<\/summary>\n<ul>\n<li>\\(-14\\) (pair \u2212) \u2192 \\(-7\\) \u2192 \\(-5\\) \u2192 \\(-1\\).<\/li>\n<li>\\(-27\\) (impair \u2212) : \\(d=14\\), \\(\\lfloor\\frac{3\\cdot14-1}{2}\\rfloor=20\\), \\(\\operatorname{odd}(20)=5\\) \u2192 \\(-5\\) \u2192 \\(-1\\).<\/li>\n<li>\\(+\\) quelconque \u2192 (on transite) \u2192 impair \u2212 \u2192 descente \u2192 \\(-1\\).<\/li>\n<\/ul>\n<\/details>\n<\/section>\n<hr>\n<section>\n<h2>Ricochet vers Collatz (impair compress\u00e9)<\/h2>\n<p>On note la dynamique impair compress\u00e9e<br \/>\n  \\[<br \/>\n  T(y)=\\frac{3y+1}{2^{\\nu_2(3y+1)}}\\quad (y\\ \\text{impair &gt; 0}).<br \/>\n  \\]<br \/>\n  Pour relier Collatz \u00e0 la tape de base, on construit un <em>pont<\/em> et un <em>potentiel<\/em>.<\/p>\n<h3>(A) Projection (pli de signe)<\/h3>\n<p>On travaille dans l\u2019espace quotient \\([t]=\\{\\,t,\\,-t-1\\,\\}\\) (le repli que tu utilises d\u00e9j\u00e0).<br \/>\n     \u00c0 chaque impair \\(y\\ge1\\) on associe<br \/>\n     \\[<br \/>\n       h(y)\\;=\\;[t],\\qquad t=\\frac{y+1}{2}.<br \/>\n     \\]<br \/>\n  L\u2019id\u00e9e : m\u00eame si la tape visite des indices n\u00e9gatifs, le pli ram\u00e8ne tout sur une classe compatible avec \\(y&gt;0\\).<\/p>\n<h3>(B) Simulation faible (\u00e0 \u00e9tablir)<\/h3>\n<p>Montrer qu\u2019un pas Collatz<br \/>\n  \\[<br \/>\n    y \\xrightarrow{T} y&rsquo;=\\frac{3y+1}{2^{\\nu_2(3y+1)}}<br \/>\n  \\]<br \/>\n  est simul\u00e9 par un <em>bloc<\/em> de \\(\\le m\\) pas de la tape de base dans l\u2019espace pli\u00e9 :<br \/>\n  \\[<br \/>\n    h(y)\\ \\xRightarrow{\\;\\hat f^{\\le m}\\;}\\ h(y&rsquo;)<br \/>\n  \\]<br \/>\n  avec un \\(m\\) uniforme (ind\u00e9pendant de \\(y\\)). Autrement dit, aucune transition r\u00e9elle n\u2019\u00e9chappe \u00e0 la tape (apr\u00e8s pli), et chaque pas r\u00e9el correspond \u00e0 quelques pas tape.<\/p>\n<h3>(C) Potentiel h\u00e9rit\u00e9 (Lyapunov)<\/h3>\n<p>Sur les classes, on d\u00e9finit<br \/>\n  \\[<br \/>\n    V([t])\\;=\\;\\min\\{|u|\\;:\\;u\\in[t]\\}.<br \/>\n  \\]<br \/>\n  Gr\u00e2ce \u00e0 la contraction sur <em>impair \u2212<\/em>, il existe \\(q\\in\\mathbb N\\) et \\(\\epsilon&gt;0\\) tels que, pour tout \\([t]\\) assez grand,<br \/>\n  \\[<br \/>\n    V\\bigl(\\hat f^{\\,q}([t])\\bigr)\\;\\le\\;\\Big\\lfloor \\frac{3\\,V([t])+1}{4}\\Big\\rfloor\\;\\le\\;V([t])-\\epsilon.<br \/>\n  \\]<br \/>\n  En combinant (B), on transf\u00e8re cette d\u00e9croissance \u00e0 Collatz : il existe \\(Q\\) constant tel que<br \/>\n  \\[<br \/>\n    \\widetilde V\\bigl(T^{\\,Q}(y)\\bigr)\\;\\le\\;\\Big\\lfloor \\frac{3\\,\\widetilde V(y)+1}{4}\\Big\\rfloor \\;<\\;\\widetilde V(y),\n  \\]\n  o\u00f9 \\(\\widetilde V(y):=V(h(y))\\). Par descente bien-fond\u00e9e, on atteint la classe de \\(-1\\), i.e. \\(y=1\\).<\/p>\n<h3>(D) Quatre verrous (techniques \u00e0 boucler)<\/h3>\n<ol>\n<li><strong>Pli \\([t]\\)<\/strong> : prouver que \\([t]=[-t-1]\\) ne cr\u00e9e aucun artefact nuisible (conservativit\u00e9 vis-\u00e0-vis de Collatz).<\/li>\n<li><strong>Simulation (B)<\/strong> : d\u00e9montrer, <em>pour tout<\/em> \\(y\\), l\u2019existence d\u2019un bloc \\(\\le m\\) pas tape r\u00e9alisant \\(h(y)\\Rightarrow h(T(y))\\).<\/li>\n<li><strong>Fr\u00e9quence \u201cimpair \u2212\u201d<\/strong> : borner uniform\u00e9ment l\u2019intervalle (en pas tape) entre deux visites d\u2019<em>impair \u2212<\/em>.<\/li>\n<li><strong>Monotone globale<\/strong> : encapsuler (2)+(3) dans une in\u00e9galit\u00e9 de type min\u2013moyenne (esprit \\(\\mu_{\\min}&gt;\\log_2 3\\) de nos certificats).<\/li>\n<\/ol>\n<\/section>\n<hr>\n<section>\n<h2>Deux voies pratico-pratiques<\/h2>\n<h3>Voie 1 \u2014 Preuve de simulation (papier)<\/h3>\n<ol>\n<li>\u00c9crire pr\u00e9cis\u00e9ment les r\u00e8gles \u201ctape de base\u201d par classes modulo 8 (pour lever toute ambigu\u00eft\u00e9 de cas).<\/li>\n<li>Pour chaque \\(y\\) (via \\(t=\\frac{y+1}{2}\\)), construire un bloc tape \\(\\le m\\) qui r\u00e9alise le pas \\(y\\mapsto T(y)\\) apr\u00e8s pli.<\/li>\n<li>En d\u00e9duire la d\u00e9croissance de \\(\\widetilde V\\) au moins tous les \\(Q\\) pas de \\(T\\).<\/li>\n<li>Conclure par descente : \\(T\\) atteint \\(1\\).<\/li>\n<\/ol>\n<h3>Voie 2 \u2014 Automate global (machine)<\/h3>\n<ol>\n<li>Construire l\u2019automate des classes pli\u00e9es \\([t]\\) (r\u00e9sidus \\(\\alpha\\bmod 64\\), \\(\\beta\\bmod 3^b\\), etc.).<\/li>\n<li>V\u00e9rifier <em>couverture<\/em> + <em>min-moyenne<\/em> \\(&gt;\\log_2 3\\) comme dans le <em>global certificate<\/em>, mais pour cette variante pli\u00e9e.<\/li>\n<li>Montrer que chaque pas r\u00e9el se projette dans cet automate (sur-approximation) \u21d2 preuve machine-assist\u00e9e.<\/li>\n<\/ol>\n<\/section>\n<section>\n<h2>TL;DR<\/h2>\n<p>La tape de base <strong>converge<\/strong> vers \\(-1\\) (descente stricte d\u00e8s qu\u2019on est en <em>impair \u2212<\/em>). Pour \u201cprouver Collatz par ricochet\u201d, il faut<br \/>\n  (i) un pli \\([t]\\) propre,<br \/>\n  (ii) une simulation \u201cun pas de \\(T\\) = quelques pas tape\u201d,<br \/>\n  (iii) une fr\u00e9quence uniforme de passage en <em>impair \u2212<\/em>, et<br \/>\n  (iv) une in\u00e9galit\u00e9 de type min\u2013moyenne qui transporte la d\u00e9croissance.<\/p>\n<\/section>\n<p><!-- END: Tape de base \u2192 convergence, puis ricochet vers Collatz --><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Tape de base : r\u00e8gles et convergence R\u00e8gles (telles qu\u2019on les fige ici) : pair + : devient impair + (on reste c\u00f4t\u00e9 + et on atteint une valeur impaire). impair + : devient impair \u2212 (on change de signe en restant impaire). pair \u2212 : halving jusqu\u2019\u00e0 l\u2019impair \u2212 suivant (ex. : -14 \u2192 [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"saved_in_kubio":false,"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[436],"class_list":["post-56568","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-non-classe","tag-math"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/56568","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=56568"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/56568\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":56569,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/56568\/revisions\/56569"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=56568"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=56568"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/4.exstyle.fr\/le-blog-photo\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=56568"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}