FR > decouverte variante (cas simple)

La formule de MCC est \( L_{r,n} = r \cdot 4^n + \frac{4^n – 1}{3} \)

[mathjax]

Voici une formule inline : \\( E = mc^2 \\)

Et une formule en bloc : \ \[ \int_0^1 x^2 \, dx \\]

MCC — recentrage sur le 1er 0 mod 3 (MCC2), racines en 1re colonne, tri par MCC2 croissant

MCC — Classique (impairs) — tri par MCC2

fratrie $latex r$	MCC0	MCC1	MCC2 (1er 0 mod 3)	MCC3	MCC4	MCC5
$latex 3$			3	13	53	213
$latex 9$			9	37	149	597
$latex 15$			15	61	245	981
$latex 1$	1	5	21	85	341	1365
$latex 27$			27	109	437	1749
$latex 33$			33	133	533	2133
$latex 39$			39	157	629	2517
$latex 11$		11	45	181	725	2901
$latex 17$		17	69	277	1109	4437
$latex 7$	7	29	117	469	1877	7509

MCC — Variante W (pairs) — tri par MCC2 (valeurs ×2)

fratrie $latex 2r$	MCC0	MCC1	MCC2	MCC3	MCC4	MCC5
$latex 6$			6	26	106	426
$latex 18$			18	74	298	1194
$latex 30$			30	122	490	1962
$latex 2$	2	10	42	170	682	2730
$latex 54$			54	218	874	3498
$latex 66$			66	266	1066	4266
$latex 78$			78	314	1258	5034
$latex 22$		22	90	362	1450	5802
$latex 34$		34	138	554	2218	8874
$latex 14$	14	58	234	938	3754	15018

Diagonales MCC — formules révisées (avec tri par MCC2)

• Indexation par la colonne MCC. Pour une ligne $latex r$ donnée, posons $latex n_\star(r)$ son 1er zéro mod 3. En notant $latex c\in\{0,1,2,\dots\}$ l’indice de colonne MCC (MCC0/MCC1/MCC2/MCC3… = 0/1/2/3…), on a la formule locale :
  $latex \displaystyle \mathrm{MCC}[r,c]\;=\;L_{r,\;n_\star(r)+c-2}\,.$
  (La cellule existe ssi $latex n_\star(r)+c-2\ge0$.)
• Diagonale NE sur une ligne. Passer de $latex c$ à $latex c{+}1$ :
  $latex \mathrm{MCC}[r,c{+}1]=4\,\mathrm{MCC}[r,c]+1$.
  Valuation : $latex \nu_2\!\bigl(3\,\mathrm{MCC}[r,c{+}1]+1\bigr)=\nu_2\!\bigl(3\,\mathrm{MCC}[r,c]+1\bigr)+2$ (et côté W : $latex \nu_2(3x{+}2)-1$ subit le même $latex +2$).
• Périodicité $latex \bmod 3$ (ancrée en MCC2). Comme $latex \mathrm{MCC}[r,2]\equiv0\ (\bmod 3)$ et $latex \mathrm{MCC}[r,c{+}1]\equiv\mathrm{MCC}[r,c]+1\ (\bmod 3)$, on a :
  $latex \mathrm{MCC}[r,c]\equiv0\ (\bmod 3)$ ssi $latex c\equiv2\ (\bmod 3)$ (zéros tous les 3 pas).
• Barrière $latex \bmod 64$ (classique). Pour $latex c\ge5$ (i.e. $latex c{-}2\ge3$), $latex 4^{\,c-2}\equiv0\ (\bmod 64)$ et
  $latex \displaystyle \mathrm{MCC}[r,c]\equiv\frac{4^{\,c-2}-1}{3}\equiv\frac{-1}{3}\equiv21\pmod{64}$,
  car $latex 3^{-1}\equiv43\ (\bmod 64)$ et $latex -43\equiv21$.
• Barrière W $latex \bmod 128$. $latex \mathrm{MCC}_W[r,c]=2\,\mathrm{MCC}[r,c]$, donc pour $latex c\ge5$ :
  $latex \mathrm{MCC}_W[r,c]\equiv 42\pmod{128}$.
• Effet du tri par MCC2 (propriété de monotonie verticale). Comme $latex \mathrm{MCC}[r,c]=4^{\,c-2}\,\mathrm{MCC}[r,2]+\tfrac{4^{\,c-2}-1}{3}$ est croissante en $latex \mathrm{MCC}[r,2]$, trier les lignes par MCC2 rend chaque colonne (c fixée) croissante de haut en bas. Les formules NE/SE ci-dessus restent identiques (elles sont locales à la ligne), mais la lecture verticale est maintenant ordonnée.
• SE (inverse local). Quand défini : $latex \mathrm{MCC}[r,c{-}1]=\dfrac{\mathrm{MCC}[r,c]-1}{4}$ (et côté W : idem avec les valeurs doublées).

Exemples guidés — calcul des diagonales en MCC

Règle locale (rappel). Pour une fratrie racine $latex r\equiv1,3,7\ (\mathrm{mod}\ 8)$, note $latex n_\star(r)$ le plus petit rang tel que $latex L_{r,n_\star}\equiv0\ (\mathrm{mod}\ 3)$ avec $latex L_{r,n}=r4^n+\frac{4^n-1}{3}$. En MCC : $latex \mathrm{MCC}[r,2]=L_{r,n_\star}$, et pour toute colonne $latex c\ge0$ :

$latex \displaystyle \mathrm{MCC}[r,c]=L_{r,\;n_\star(r)+c-2}$    (la cellule existe ssi $latex n_\star+c-2\ge0$).

• Pas NE (une colonne vers la droite) : $latex \mathrm{MCC}[r,c{+}1]=4\,\mathrm{MCC}[r,c]+1$.
• Pas SE (inverse, une colonne vers la gauche quand défini) : $latex \mathrm{MCC}[r,c{-}1]=\dfrac{\mathrm{MCC}[r,c]-1}{4}$.
• Valuation : $latex k_c=\nu_2\!\bigl(3\,\mathrm{MCC}[r,c]+1\bigr)$ (et côté variante W : $latex k’_c=\nu_2(3\,\mathrm{MCC}_W[r,c]+2)-1$). À chaque pas NE, $latex k$ gagne systématiquement +2.

---

Exemple 1 — racine $latex r=27$ (cas $latex r\equiv0\ (\mathrm{mod}\ 3)$, donc $latex n_\star=0$)

Point d’ancrage. $latex \mathrm{MCC}[27,2]=L_{27,0}=27$ (MCC0/MCC1 vides).

• NE vers MCC3 : $latex 4\cdot 27+1=109$.
• NE vers MCC4 : $latex 4\cdot 109+1=437$.
• Valuations : $latex \nu_2(3\cdot27+1)=\nu_2(82)=1$, puis $latex \nu_2(3\cdot109+1)=\nu_2(328)=3$, puis $latex \nu_2(3\cdot437+1)=\nu_2(1312)=5$ : on gagne bien +2 à chaque pas.

Formule fermée (depuis MCC2). Pour $latex c\ge2$, $latex \mathrm{MCC}[27,c]=4^{c-2}\cdot 27+\dfrac{4^{c-2}-1}{3}$. Par ex. pour $latex c=5$ : $latex 4^3\cdot27+\frac{64-1}{3}=64\cdot27+21=1749$.

---

Exemple 2 — racine $latex r=11$ (cas $latex r\equiv2\ (\mathrm{mod}\ 3)$, donc $latex n_\star=1$)

Points d’ancrage. $latex \mathrm{MCC}[11,1]=L_{11,0}=11$, $latex \mathrm{MCC}[11,2]=L_{11,1}=4\cdot11+1=45$.

• NE (MCC2 → MCC3) : $latex 4\cdot45+1=181$.
• NE (MCC3 → MCC4) : $latex 4\cdot181+1=725$.
• Valuations : $latex \nu_2(3\cdot11+1)=\nu_2(34)=1$, puis $latex \nu_2(3\cdot45+1)=\nu_2(136)=3$, puis $latex \nu_2(3\cdot181+1)=\nu_2(544)=5$.
• SE (inverse) : on revient de MCC2 à MCC1 par $latex (45-1)/4=11$.

---

Exemple 3 — racine $latex r=7$ (cas $latex r\equiv1\ (\mathrm{mod}\ 3)$, donc $latex n_\star=2$)

Points d’ancrage. $latex \mathrm{MCC}[7,2]=L_{7,2}=117$. Comme $latex n_\star=2$, les colonnes de gauche existent : $latex \mathrm{MCC}[7,1]=L_{7,1}=29$, $latex \mathrm{MCC}[7,0]=L_{7,0}=7$.

• NE (MCC2 → MCC3) : $latex 4\cdot117+1=469$.
• NE (MCC3 → MCC4) : $latex 4\cdot469+1=1877$.
• Valuations : $latex \nu_2(3\cdot117+1)=\nu_2(352)=5$, puis $latex \nu_2(3\cdot469+1)=\nu_2(1408)=7$.
• SE (inverse) : $latex \mathrm{MCC}[7,1]=(117-1)/4=29$, puis $latex \mathrm{MCC}[7,0]=(29-1)/4=7$.

---

Exemple 4 — calcul direct par la formule fermée (depuis MCC2)

Pour toute ligne, si l’on connaît $latex \mathrm{MCC}[r,2]=M_2(r)$, alors pour $latex c\ge2$ :

$latex \displaystyle \mathrm{MCC}[r,c]=4^{\,c-2}\,M_2(r)\;+\;\frac{4^{\,c-2}-1}{3}\,.$

• Ex. $latex r=1$ : $latex \mathrm{MCC}[1,2]=21$. Pour $latex c=5$ : $latex 4^3\cdot21+\frac{64-1}{3}=64\cdot21+21=1344+21=1365$ (c’est bien MCC5 de la ligne $latex r=1$).
• Ex. $latex r=7$ : $latex \mathrm{MCC}[7,2]=117$. Pour $latex c=5$ : $latex 4^3\cdot117+\frac{64-1}{3}=64\cdot117+21=7488+21=7509$.

Variante W (pairs) — même diagonale, valeurs ×2

On double toutes les valeurs : $latex \mathrm{MCC}_W[r,c]=2\,\mathrm{MCC}[r,c]$ et $latex k’_c=\nu_2(3\,\mathrm{MCC}_W[r,c]+2)-1=\nu_2(3\,\mathrm{MCC}[r,c]+1)=k_c$.

• Ex. Ligne $latex r=1$ : $latex \mathrm{MCC}[1,2]=21 \mapsto \mathrm{MCC}_W[2,2]=42$. Valuation : $latex \nu_2(3\cdot42+2)-1=\nu_2(128)-1=7-1=6$, identique à $latex \nu_2(3\cdot21+1)=6$.
• Ex. Puis NE : $latex 42\mapsto 4\cdot42+2=170$ ; $latex \nu_2(3\cdot170+2)-1=\nu_2(512)-1=9-1=8$ (on a bien gagné +2, comme côté impair).

Fratries  L_r,n (n = 0…6)

r \ n	0	1	2	3	4	5	6
r = 1	1 (C)	5 (P)	21 (C)	85 (C)	341 (C)	1365 (C)	5461 (C)
r = 3	3 (P)	13 (P)	53 (P)	213 (C)	853 (P)	3413 (P)	13653 (C)
r = 7	7 (P)	29 (P)	117 (C)	469 (C)	1877 (P)	7509 (C)	30037 (C)

Image en 2 pas : G₂(L_r,n)

Pour lecture rapide : P → \((3y+1)/2\), C → \(9y+2\). Les valeurs ci-dessous sont des entiers (pairs ou impairs) atteints en deux pas depuis chaque cellule du tableau ci-dessus.

r \ n	0	1	2	3	4	5	6
r = 1	11	8	191	767	3071	12287	49151
r = 3	5	20	80	1919	1280	5120	122879
r = 7	11	44	1055	4223	2816	67583	270335