Retours −1/4, squelette MCC et « distance » : pourquoi c’est utile (et comment s’en servir)
Idée générale. Les retours (y−1)/4 ne sont pas la règle Collatz compressée, mais l’inverse du pas fratrie NE : x↦4x+1. Ils permettent de remonter le squelette MCC jusqu’à la racine minimale et fournissent des congruences fortes modulo \(4^{j}\) qui forcent des poids 2-adiques élevés pour \(3y+1\). Cela mène à des barrières utiles pour l’analytique et pour les certificats min–mean (Karp/Howard).
TL;DR (pense-bête).
Pour une « distance linéaire » \(D\) (paire) :
r_- = 2D − 1, Y_- = 3D − 1 (classe \(≡3\) ou \(7\) mod 8) ;
r_+ = 4D + 1, Y_+ = 3D + 1 (classe \(≡1\) mod 8).
Les j-retours (−1/4 successifs) correspondent à \(y \equiv \frac{4^j-1}{3}\ (\mathrm{mod}\ 4^j)\) et forcent \(\nu_2(3y+1) \ge 2j\).
1) Rappels MCC : fratries, squelette et « distance »
Sur les impairs, chaque case du tableau (repère MCC) s’écrit \[ L_{r,n}=\frac{(3r+1)4^{\,n}-1}{3}=r\,4^{\,n}+\frac{4^{\,n}-1}{3}. \] Le pas fratrie (diagonale NE) est \(L_{r,n+1}=4L_{r,n}+1\). Son inverse est le retour \(L_{r,n-1}=(L_{r,n}-1)/4\). Répéter \(-1/4\) jusqu’au non-entier ramène à la racine \(r\).
Vocabulaire. Pour rester alignés avec l’export, on appelle ici « distance linéaire » \(D\) (entier pair dans les tableaux), à ne pas confondre avec la profondeur de colonne \(4^d\).
2) Distance \(D\) : deux racines minimales et deux liens
Pour une distance paire \(D\), il y a exactement deux racines minimales compatibles, donnant deux « branches » :
- Branche − (inverse via \(F(y)=(y+1)/2\)) : \(r_-=2D-1\) (toujours \(≡3,7\pmod 8\)) et son lien \(Y_-=\mathrm{oddize}(3r_-+1)=3D-1\).
- Branche + (parenté « fratrie ») : \(r_+=4D+1\) (toujours \(≡1\pmod 8\)) et son lien \(Y_+=\mathrm{oddize}(3r_+ +1)=3D+1\).
Exemples. \(D=10\Rightarrow (r_-,Y_-)=(19,29),\ (r_+,Y_+)=(41,31)\). \(D=14\Rightarrow (27,41)\) et \((57,43)\). \(D=16\Rightarrow (31,47)\) et \((65,49)\).
| D (pair) | r−=2D−1 | Y−=3D−1 | r+=4D+1 | Y+=3D+1 |
|---|---|---|---|---|
| 10 | 19 | 29 | 41 | 31 |
| 14 | 27 | 41 | 57 | 43 |
| 16 | 31 | 47 | 65 | 49 |
3) Lemme « j-retours » : congruence et poids 2-adique
Lemme. On peut appliquer \(-1/4\) exactement \(j\) fois à un impair \(y\) ssi \[ y \equiv \frac{4^{j}-1}{3} \pmod{4^{j}}. \] Dans ce cas, \(3y+1=4^{j}(1+3t)\) et donc \(\nu_2(3y+1)\ge 2j\).
Conséquence. Les classes \(j\) (ex. 1, 5, 21, 85 mod \(4^j\)) sont des barrières hiérarchiques : les traverser force des poids 2-adiques élevés. C’est la congruence « plus forte » qui manque si l’on reste au seul modulo 8.
4) Lien direct « squelette → poids »
Pour tout \(L_{r,n}\), \[ 3L_{r,n}+1=(3r+1)\,4^{n}\quad\Rightarrow\quad k=\nu_2(3L_{r,n}+1)=2n+\nu_2(3r+1). \] Ainsi, sur le squelette, le poids du pas compressé est déterministe à partir de \((r,n)\) : le rang \(n\) compte pour \(2n\) et la racine ajoute l’offset \(\nu_2(3r+1)\).
5) Pas compressé (rappel mod 8)
- \(y\equiv 3,7\ (\mathrm{mod}\ 8)\) : \(F(y)=\frac{3y+1}{2}=y+\frac{y+1}{2}\).
- \(y\equiv 1\ (\mathrm{mod}\ 8)\) : \(F(y)=\frac{3y+1}{4}=y-\frac{y-1}{4}\).
- \(y\equiv 5\ (\mathrm{mod}\ 8)\) : \(3y+1\) divisible par \(8\) (souvent plus) : faire \(z\leftarrow y-\frac{y-1}{4}\) puis diviser \(z\) par \(2\) jusqu’à l’impair.
Note. Les retours \(-1/4\) servent à naviguer dans la fratrie (géométrie MCC), pas à itérer Collatz directement ; projetée sur le squelette, l’arête est la même (NE) après l’effondrement vertical (divisions par 2).
6) Pourquoi c’est utile pour la preuve
- Barrières empilées. Si une trajectoire visite la couche \(j\ge J\) avec fréquence \(p\), alors \(\overline{k}\ge 2J\,p\). Dès que \(2J\,p>\log_2 3\approx 1.58496\), tout cycle est impossible.
- Automate plus tranchant. Dans un NFA « cohérent », taguer/forcer les classes \(j\) fait monter la moyenne min \(\mu_{\min}\) au-dessus de \(\log_2 3\) plus vite qu’avec une seule barrière (ex. \(21\ \mathrm{mod}\ 64\)).
- Squelette déterministe. Sur \((r,n)\), les poids sont connus a priori : pruning des états trop faibles et bornes inférieures analytiques de \(\mu_{\min}\) avant l’exploration complète.
7) Encadré « implémentation »
Détection du niveau \(j\) (nombre de retours \(-1/4\) possibles) :
// j = max { t ≥ 0 : y ≡ (4^t − 1)/3 (mod 4^t) }
// équivalent : while ((y − 1) % 4 == 0) { y = (y − 1)/4; j++; }
Pas compressé (impairs uniquement) :
z = 3*y + 1;
// diviser z par 2 jusqu'à l'impair
while ((z & 1) == 0) z >>= 1;
return z; // = oddize(3y+1)
Pont squelette → poids. Si l’état est \((r,n)\), alors k = 2n + v2(3r+1) sans calculer 3y+1 au vol.
8) FAQ rapide
« Les −1/4 reproduisent-ils Collatz ? » Non. Ce sont des retours de fratrie (géométrie), pas la dynamique compressée. Projeté sur le squelette, l’arc est la même NE après divisions par 2.
« En quoi est-ce nouveau vs \(21\ \mathrm{mod}\ 64\) ? » On peut empiler les classes \(j\) (mod \(4^{j}\)) et obtenir des poids garantis \(\ge 2j\), ce qui fait grimper les moyennes plus vite et simplifie pruning/certificats.
« Où intervient la distance \(D\) ? » Elle indexe un doublet canonique de racines minimales : \(r_-=2D-1\) et \(r_+=4D+1\), avec liens \(Y_-=3D-1\) et \(Y_+=3D+1\). C’est le point de jonction entre ta métrique pratique et la géométrie MCC.
Conditions nécessaires d’un cycle non trivial (compressé impair)
Cadre. On travaille en compressé impair, avec pas \(\ (3y+1)/2^{k_i}\) et la géométrie MCC (distances paires \(D\) et branches $\pm$). Les conditions ci-dessous sont nécessaires à l’existence d’un cycle non trivial.
1) Budget 2-adique exact
\(\displaystyle \prod_{i=1}^{E}\frac{3}{2^{k_i}}=1 \iff \sum_{i=1}^{E}k_i \;=\;E\,\log_2 3 \;=:\; E\,\theta,\quad \theta\approx 1.5849625.\)
Autrement dit, la moyenne doit être \(\bar k=\theta\) exactement.
2) Fermeture géométrique (distances \(D\))
Pour une distance paire \(D\), il y a deux racines minimales compatibles (donc deux branches) :
- Branche \((-)\) (retour inverse via \(F(y)=(y+1)/2\)) : \(\ r_-=2D-1\ (\equiv 3,7\ \mathrm{mod}\ 8)\), et son lien \(\ Y_-=\mathrm{oddize}(3r_-+1)=3D-1\).
- Branche \((+)\) (parenté fratrie) : \(\ r_+=4D+1\ (\equiv 1\ \mathrm{mod}\ 8)\), et son lien \(\ Y_+=\mathrm{oddize}(3r_++1)=3D+1\).
Sur un tour complet de longueur \(E\), la somme signée des déplacements doit s’annuler : \(\ \sum_{i=1}^{E}\varepsilon_i D_i=0\), avec \(\ \varepsilon_i\in\{+1,-1\}\) selon la branche \((+)\) ou \((-)\).
| D (pair) | \(r_-=2D-1\) | \(Y_-=3D-1\) | \(r_+=4D+1\) | \(Y_+=3D+1\) |
|---|---|---|---|---|
| 10 | 19 | 29 | 41 | 31 |
| 14 | 27 | 41 | 57 | 43 |
| 16 | 31 | 47 | 65 | 49 |
3) Lemme « j-retours » (barrières hiérarchiques)
On peut appliquer \(-\frac14\) exactement \(j\) fois à un impair \(y\) ssi \(\ y\equiv \frac{4^j-1}{3}\pmod{4^j}\). Alors \(\ 3y+1=4^j(1+3t)\) donc \(\ \nu_2(3y+1)\ge 2j\).
Conséquence. Les classes \(\ D_j=\bigl\{\frac{4^j-1}{3}\ (\mathrm{mod}\ 4^j)\bigr\}\) sont des barrières : les franchir impose \(\ k\ge 2j\).
4) Lien direct « squelette → poids »
Pour \(\ L_{r,n}=\frac{(3r+1)4^{\,n}-1}{3}\) (colonne MCC \(2+n\)) : \(\ 3L_{r,n}+1=(3r+1)4^n\) donc \(\ k=\nu_2(3L_{r,n}+1)=2n+\nu_2(3r+1)\).
À colonne fixée, la valuation est déterministe (le rang donne \(2n\), la racine donne l’offset).
5) Rappels \(\bmod 8\) (sélection des pas)
- \(y\equiv 3,7\pmod 8\) : \(\ F(y)=3y+1\) (pas compressé « direct »).
- \(y\equiv 1\pmod 8\) : \(\ k\ge 2\) (au moins une division supplémentaire).
- \(y\equiv 5\pmod 8\) : \(\ k\ge 3\) (souvent plus).
Test de faisabilité (checklist rapide)
- (A) Fermeture MCC : vérifier \(\sum \varepsilon_i D_i=0\). Sinon → éliminé.
- (B) Minorant 2-adique : via les colonnes \(D_{j_i}\) (ou via le squelette), imposer \(k_i^{\min}\in\{2j_i\ \text{ou}\ 2n_i+\nu_2(3r_i+1)\}\). Si \(\ K_{\min}=\sum k_i^{\min} > E\,\theta\), impossible.
- (C) Raffiner avec \(\bmod 8\) : beaucoup de \(\equiv 1\) ⇒ \(k\ge 2\), des \(\equiv 5\) ⇒ \(k\ge 3\). Re-tester (B).
- (D) Option squelette : un seul contact avec \(n\ge 3\) donne \(k\ge 6\) ; pour garder \(\bar k=\theta\), il faudrait « compenser » par une masse de pas à \(k=1\), souvent impossible en (5).
Corollaires utiles
- Confinement : un cycle hypothétique doit rester dans de petites colonnes (typiquement \(j\le 2\)). Toucher régulièrement \(D_3\) (ex. \(21\ (\mathrm{mod}\ 64)\)) force \(\bar k\) au-dessus de \(\theta\).
- Version machine : c’est exactement ce que certifie le min–moyenne (Karp/Howard) sur ton automate : si toute CFC vérifie \(\mu_{\min}>\theta\), aucun cycle non trivial.
Exemples (distances)
Pour \(D=10\) : \((r_-,Y_-)=(19,29)\) et \((r_+,Y_+)=(41,31)\). Pour \(D=14\) : \((27,41)\) et \((57,43)\). Pour \(D=16\) : \((31,47)\) et \((65,49)\).
Distances racine↔lien, fratries, et famille universelle Fm
Cadre. On travaille sur les impairs et l’on recentre toute visite d’un membre de fratrie par l’opération (x-1)/4 autant que possible pour revenir à la racine minimale r (i.e. \(r\equiv 1,3,7\ (\bmod\ 8)\)) avant de passer au lien Y. On appelle distance le saut structurel entre racine et lien :
\(d = \lvert Y-r\rvert\) (toujours pair). On note \(d^{+}\) quand \(r<Y\) et \(d^{-}\) quand \(r>Y\).
Fratrie issue d’une racine minimale \(r\) (ligne du tableau, opérateur de colonne x ↦ 4x+1) :
\(L_{r,n}=r\,4^{n}+\frac{4^{n}-1}{3}=\frac{(3r+1)\,4^{n}-1}{3}\quad(n\ge 0).\)
1) Cas classique 3x+1 (m=1, C=1)
Catalogue par distance. Pour chaque \(d\in\{2,4,6,\dots\}\), il y a exactement deux liens possibles, qui couvrent tous les impairs non multiples de 3 (structurellement 50/50) :
- \(d^{+}\) (saut vers le haut, \(v_2(3r+1)=1\)) : \(r=2d-1,\quad Y=3d-1\) (\(Y\equiv 5\ (\bmod\ 6)\)).
- \(d^{-}\) (saut vers le bas, \(v_2(3r+1)=2\)) : \(r=4d+1,\quad Y=3d+1\) (\(Y\equiv 1\ (\bmod\ 6)\)).
Inversion depuis un lien. Chaque lien impair \(Y\not\equiv 0\ (\bmod\ 3)\) provient d’un unique couple \((d,\pm)\) :
- Si \(Y\equiv 5\ (\bmod\ 6)\) : \(d=\frac{Y+1}{3}\) (pair), \(r=\frac{2Y-1}{3}\) → branche \(d^{+}\).
- Si \(Y\equiv 1\ (\bmod\ 6)\) : \(d=\frac{Y-1}{3}\) (pair), \(r=\frac{4Y-1}{3}\) → branche \(d^{-}\).
Fratries paramétrées par d.
- Depuis \(d^{+}\) (\(r=2d-1,\ Y=3d-1\)) : \(L_{+,d}(n)=\frac{2(3d-1)\,4^{n}-1}{3}\).
- Depuis \(d^{-}\) (\(r=4d+1,\ Y=3d+1\)) : \(L_{-,d}(n)=\frac{(3d+1)\,4^{n+1}-1}{3}\).
| d | d+ : r → Y | d− : r → Y |
|---|---|---|
| 2 | 3 → 5 | 9 → 7 |
| 4 | 7 → 11 | 17 → 13 |
| 6 | 11 → 17 | 25 → 19 |
| 8 | 15 → 23 | 33 → 25 |
2) Famille universelle Fm (constante \(C=2^{m}-1\))
On généralise via \(T_m(x)=\frac{3x+C}{2^{\,v_2(3x+C)}}\) avec \(C=2^{m}-1\) (impair). Le catalogue par distance \(d\) (toujours paire) devient :
- \(d^{+}\) (\(v_2(3r+C)=1\)) : \(r=2d-C,\quad Y=3d-C\).
- \(d^{-}\) (\(v_2(3r+C)=2\)) : \(r=4d+C,\quad Y=3d+C\).
Inversion depuis un lien. Tout lien impair se met de façon unique sous l’une des deux formes \(Y=3d-C\) ou \(Y=3d+C\) avec \(d\) pair. Poser \(d_{+}=\frac{Y+C}{3}\) et \(d_{-}=\frac{Y-C}{3}\) :
- Si \(d_{+}\) est pair → \(Y=3d_{+}-C\) et \((r,Y)=(2d_{+}-C,\ 3d_{+}-C)\) (branche \(d^{+}\)).
- SINON \(d_{-}\) est pair → \((r,Y)=(4d_{-}+C,\ 3d_{-}+C)\) (branche \(d^{-}\)).
Fratrie pour Fm. L’opérateur de colonne reste affine (car \(3(4x+C)+C=4(3x+C)\)) et l’on a :
\(L^{(m)}_{r,n}=r\,4^{n}+\frac{C\,(4^{n}-1)}{3}=\frac{(3r+C)\,4^{n}-C}{3}\quad(n\ge 0).\)
Remarque mod 3. Si \(m\) est impair (\(C\equiv 1\ (\bmod\ 3)\)), alors \(Y\equiv -1\ (\bmod\ 3)\) caractérise la branche \(d^{+}\) et \(Y\equiv +1\ (\bmod\ 3)\) la branche \(d^{-}\). Si \(m\) est pair (\(C\equiv 0\ (\bmod\ 3)\)), on a \(Y\equiv 0\ (\bmod\ 3)\) dans les deux cas : on utilise alors directement l’algorithme \(d_{\pm}=\frac{Y\pm C}{3}\) et (dans tes posts) le périmètre S adapté.
3) Structure 50/50 vs fréquences dynamiques
Structurellement (catalogue par \(d\)) : exactement moitié des liens sont de la forme \(3d-C\) (branche \(d^{+}\)) et moitié de la forme \(3d+C\) (branche \(d^{-}\)).
Dynamiquement (le long d’une trajectoire), pour le cas classique, les racines minimales \(r\equiv 3,7\ (\bmod\ 8)\) (branche \(+\)) se présentent typiquement environ deux fois plus que \(r\equiv 1\ (\bmod\ 8)\) (branche \(-\)) : on observe souvent ~2/3 de pas “+” pour ~1/3 de pas “−”. Cela n’affecte pas le 50/50 structurel.
4) Translation inter-fratries \(\Delta=r’-r\)
Après le saut \(r\to Y\), on recentre \(Y\) par (x-1)/4 autant que possible jusqu’à la racine minimale \(r’\). Posons \(q=\left\lfloor \frac{v_2(3Y+C)}{2}\right\rfloor\), alors
\(r’=\frac{\,3Y+C\,-\,C\,4^{q}\,}{\,3\cdot 4^{q}\,}\), d’où \(\Delta=r’-r\).
- Branche \(d^{+}\) (\(r=2d-C,\ Y=3d-C\)) : \(\ \Delta=\frac{\,9d-2C\,-\,C\,4^{q}\,}{\,3\cdot 4^{q}\,}-(2d-C)\), avec \(q=\left\lfloor \frac{v_2(9d-2C)}{2}\right\rfloor\).
- Branche \(d^{-}\) (\(r=4d+C,\ Y=3d+C\)) : \(\ \Delta=\frac{\,9d+4C\,-\,C\,4^{q}\,}{\,3\cdot 4^{q}\,}-(4d+C)\), avec \(q=\left\lfloor \frac{v_2(9d+4C)}{2}\right\rfloor\).
Cas générique \(q=0\) (pas de recentrage supplémentaire après le saut) : \(\Delta=+d\) pour la branche \(d^{+}\), et \(\Delta=-d\) pour la branche \(d^{-}\). Si \(q\ge 1\), les recentrages (x-1)/4 rabaisseront \(r’\) et feront dévier \(\Delta\) de \(\pm d\).
5) Unité universelle B | u (rappel concis, m=1)
Tout impair \(x\) s’écrit \(x=8B+u\) avec \(u\in\{1,3,5,7\}\). Pour \(d=2k\) :
- Branche \(d^{+}\) (\(r=4k-1,\ Y=6k-1\)) : \(u_r=3\) si \(k\) impair, \(u_r=7\) si \(k\) pair; et \(u_Y=7,5,3,1\) pour \(d\equiv 0,2,4,6\ (\bmod\ 8)\).
- Branche \(d^{-}\) (\(r=8k+1,\ Y=6k+1\)) : \(u_r=1\); et \(u_Y=1,7,5,3\) pour \(d\equiv 0,2,4,6\ (\bmod\ 8)\).
Dans une fratrie \(L_{r,n}\) : l’unité vaut \(u_r\) en \(n=0\), puis 1 en \(n=1\), puis 5 pour tout \(n\ge 2\).
6) Résumé express
- Distance paire \(d\) → deux liens et seulement deux : \(d^{+}:(r,Y)=(2d-C,\ 3d-C)\), \(d^{-}:(r,Y)=(4d+C,\ 3d+C)\).
- Inversion unique depuis \(Y\) par \(d_{\pm}=\frac{Y\pm C}{3}\) (exactement l’un est pair).
- Fratrie : \(L^{(m)}_{r,n}=r\,4^{n}+\frac{C(4^{n}-1)}{3}=\frac{(3r+C)\,4^{n}-C}{3}\).
- Structure vs dynamique : 50/50 entre \(3d\pm C\) au niveau catalogue; ≈2/3 “+” et ≈1/3 “−” le long d’une trajectoire classique.
- Translation inter-fratries : génériquement \(\Delta=\pm d\) (si \(v_2(3Y+C)=1\)), sinon déviation gouvernée par \(q=\left\lfloor \frac{v_2(3Y+C)}{2}\right\rfloor\).
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