Conjoncture “−1/4 si possible, sinon +1” — Lien complet avec Collatz compressé et la distance D
Règle (sur les entiers) : \[ f(n)= \begin{cases} \frac{n-1}{4}, & \text{si } n\equiv 1\pmod 4,\\[4pt] n+1, & \text{sinon.} \end{cases} \] On montre : (i) pas de cycle non trivial (tout converge vers \(0\leftrightarrow 1\)) ; (ii) traduction exacte dans le tableau compressé (colonnes/diagonales) ; (iii) granularité de la distance D en “pas de 2” (au sens : plus petit saut non nul).
1) Preuve courte : aucun cycle non trivial
Macro-pas. Depuis tout \(n\in\mathbb Z\), on fait \(+1\) jusqu’à tomber sur un entier \( \equiv 1\pmod 4\) (au plus 3 fois), puis on applique \((\cdot-1)/4\). Définissons \[ k(n)\in\{0,1,2,3\}\ \text{ min tel que }\ n+k(n)\equiv 1\pmod 4,\qquad A(n):=\frac{n+k(n)-1}{4}. \] Alors \(f^{\,k(n)+1}(n)=A(n)\).
Contraction. Pour tout \(n\), \[ |A(n)|\le \frac{|n|+2}{4}, \] donc si \(|n|\ge 2\), on a strictement \(|A(n)|<|n|\). En itérant, on atteint \(0\) en \(O(\log_4 |n|)\) macro-pas, puis \[ 0 \to 1 \to 0 \to \dots \] Conclusion. Toute orbite finit dans \(0\leftrightarrow 1\), il n’existe aucun cycle non trivial.
2) Dictionnaire avec le tableau compressé (colonnes/diagonales)
On code les impairs sous la forme standard (MCC/MRC) : \[ L_{r,n} \;=\; 4^{\,n}\,r \;+\; \frac{4^{\,n}-1}{3} \quad (r \text{ impair},\ n\ge 0). \] Ici, \(n\) est la colonne (profondeur 2-adique) et \(r\) la ligne (racine minimale / pivot).
- Passage “−1/4”. Si \(y\equiv 1\pmod 4\), on a \[ \frac{y-1}{4}=L_{r,n-1}\quad\Rightarrow\quad \text{colonne } n\mapsto n-1 \text{ (même ligne \(r\))}. \] Côté valuation Collatz, \[ 3y+1 = 4^{\,n}(3r+1) \;\Rightarrow\; k=\nu_2(3y+1)=2n+\nu_2(3r+1) \;\Rightarrow\; k \mapsto k-2 \text{ (exact).} \]
- Passage “+1”. Entre deux reculs horizontaux, “+1” se lit comme un glissement vertical (NE/SE) sur une diagonale \[ D_d=\Bigl\{x:\;x\equiv \frac{4^{\,d}-1}{3}\ (\bmod\ 4^{\,d})\Bigr\}, \] c’est-à-dire la colonne \(d\) simultanément pour toutes les lignes. Ce glissement change la ligne \(r\) mais pas la résolution \(4^{\,d}\).
3) Distance D : pourquoi le “pas minimal” est ±2
Les lignes lien sont les cellules \(Y\) telles que \(Y\equiv \pm 1 \pmod 3\), que l’on écrit \[ Y=3D\pm 1. \] Alors \(Y\) est impair \(\Rightarrow\ 3D\pm 1\) impair \(\Rightarrow D\) est pair. Donc toute variation de distance vérifie \(\Delta D\in 2\mathbb Z\) : le plus petit saut non nul est bien \(|\Delta D|=2\).
Version géométrique (par colonnes)
Sur la colonne \(d\), on a \(L_{r,d}=4^{\,d}r+\frac{4^{\,d}-1}{3}\). En faisant varier la même classe \(r\) modulo 3 (pour rester sur des liens: \(L_{r,d}\equiv \pm1\pmod 3\)), deux lignes lien consécutives ont \[ \Delta r=\pm 6 \quad (\text{parité imposée + congruence mod }3), \] d’où \[ \Delta Y = 4^{\,d}\,\Delta r = \pm 6\,4^{\,d} \quad\Rightarrow\quad \Delta D = \frac{\Delta Y}{3} = \pm 2\,4^{\,d}. \] Le quantum minimal (sur toutes les colonnes) est donc \(\boxed{2}\) (cas \(d=0\)).
4) Mini-table : exemples de pas de D par colonne
Pour illustrer \(\Delta D=\pm 2\cdot 4^d\), on choisit, pour chaque \(d\), une congruence de \(r\) qui donne des liens \(Y=3D\pm 1\), et on avance d’un cran dans la même classe (donc \(\Delta r=+6\)).
| Colonne \(d\) | Choix de \(r\) (classe mod 3) | Cellule \(Y=L_{r,d}\) | Distance \(D\) (avec \(Y=3D\pm1\)) | \(\Delta D\) observé |
|---|---|---|---|---|
| 0 | \(r\equiv 1 \pmod 3\) (odd) : \(r=1,7,13\) | \(Y=r=1,7,13\) | \((D=0,2,4)\) car \(Y=3D+1\) | +2 à chaque pas |
| 1 | \(r\equiv 0 \pmod 3\) (odd) : \(r=3,9,15\) | \(Y=4r+1=13,37,61\) | \((D=4,12,20)\) car \(Y=3D+1\) | +8 (= \(2\cdot 4^1\)) |
| 2 | \(r\equiv 2 \pmod 3\) (odd) : \(r=5,11,17\) | \(Y=16r+5=85,181,277\) | \((D=28,60,92)\) car \(Y=3D+1\) | +32 (= \(2\cdot 4^2\)) |
Remarque : la classe de \(r\) dépend de \(d\) via le cycle modulo 3 de \( \frac{4^d-1}{3}\) (période 3). Ici, on choisit toujours une classe qui donne \(Y\equiv 1\pmod 3\) (branche \(+\)); la branche \(−\) se traite de la même façon.
5) “Budget de distance” : pourquoi un cycle ne peut pas se refermer
Sur une boucle hypothétique de longueur \(L\), soit \(q\ge 1\) le nombre de reculs “\(-\frac14\)”.
- Chaque recul “\(-\frac14\)” divise la partie distance (liée au lien \(Y=3D\pm1\)) par \(\approx 4\) (exactement \(D\mapsto \frac{D}{4}\) sur \(+\) quand \(4\mid D\), et \(D\mapsto \frac{D-2}{4}\) sur \(−\)).
- Entre deux reculs, les pas “\(+1\)” ne peuvent modifier \(D\) que par le quantum \(\pm 2\cdot 4^{\,d}\) correspondant à la colonne courante \(d\). En particulier, ils ne permettent que des micro-ajustements, et jamais des variations unitaires.
Heuristique de fermeture impossible : après \(q\) contractions, l’échelle de \(D\) a été réduite d’un facteur \(\sim 4^{\,q}\). Même en “empilant” les \(L-q\) pas \(+1\), on ne peut pas reconstituer exactement l’état initial, car les ajustements disponibles sont discrétisés par le quantum \(\pm 2\cdot 4^{\,d}\) et l’horizontale a reculé (colonne \(n\mapsto n-q\)). En formalisant avec un potentiel \(\Psi = a\cdot n + b\cdot |D|\), chaque bloc “quelques \(+1\) puis un \(-\frac14\)” donne \(\Delta \Psi<0\), interdisant tout cycle non trivial.
6) Exemples de trajectoires (conjoncture seule)
Départ 19
\(19\equiv 3\) → \(+1\) → \(20\equiv 0\) → \(+1\) → \(21\equiv 1\) → \((21-1)/4=5\) → \((5-1)/4=1\) → \((1-1)/4=0\) → \(+1\) → \(1\) → \(0\to1\to\cdots\)
Chaîne : 19 → 20 → 21 → 5 → 1 → 0 → 1 → 0 → …
Départ 17
\(17\equiv 1\) → \((17-1)/4=4\) → \(+1\) → \(5\) → \((5-1)/4=1\) → \((1-1)/4=0\) → \(+1\) → \(1\) → \(0\to1\to\cdots\)
Chaîne : 17 → 4 → 5 → 1 → 0 → 1 → 0 → …
7) Cheat-sheet (dictionnaire rapide)
−1/4(quand \( \equiv 1\pmod 4\)) = colonne −1 dans \(L_{r,n}\) ; côté Collatz : \(k=\nu_2(3y+1)\mapsto k-2\).+1= glissement vertical NE/SE sur la même diagonale (même \(d\)), donc changements de ligne \(r\) contraints par la congruence mod 3.- Distance \(D\) (lignes lien \(Y=3D\pm1\)) : \(D\) est pair ; sur la colonne \(d\), sa granularité est \(\Delta D=\pm 2\cdot 4^{\,d}\) (quantum minimal global \(=2\)).
- Cycle-killer : contraction systématique au moindre recul \(\Rightarrow\) impossibilité de compenser par des sauts discrets en \(D\) \(\Rightarrow\) aucun cycle non trivial.
Astuce pratique. Pour “lire” un recul sur une cellule \(y=L_{r,n}\), on projette \(y\mapsto \frac{y-1}{4}=L_{r,n-1}\) ; pour “lire” un glissement \(+1\), on reste à résolution \(4^{\,d}\) et on passe à la ligne admissible suivante dans la même classe modulo 3, ce qui force \(\Delta r=\pm6\) et donc \(\Delta D=\pm 2\cdot 4^{\,d}\).
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