FR – Collatz distance et frère innaccessibles

Frères « double − 1 » non divisibles par 3 — lecture en distance D (repère MCC)

But. Pour une fratrie impaire \(r\), on considère les nombres \(\;y_k(r)=r\cdot4^k-1\;\) (les « frères −1 »). On veut : (i) les reclasser par liens \(Y_\pm=3D\pm1\) (distance \(D\) paire), (ii) décrire leur dynamique compressée \(T(y)=\mathrm{oddize}(3y+1)\) en \(D\), et (iii) expliquer pourquoi des jalons comme 19, 319, 1279 (pour \(r=5\)) ou 43, 703 (pour \(r=11\)) reviennent si souvent — et plus généralement, pourquoi les « frères non /3 » d’une même fratrie se revisitent entre eux.

1) Définition des « frères −1 » et reclassement en liens \(Y_\pm\)

Frères « −1 » d’une fratrie \(r\). \(\;y_k(r)=r\cdot4^k-1\ (k\ge1)\).

• Si \(r\equiv2\ (\mathrm{mod}\ 3)\) ou \(r\equiv0\ (\mathrm{mod}\ 3)\), alors \(y_k(r)\not\equiv0\ (\mathrm{mod}\ 3)\) pour tout \(k\) : c’est la moitié « non /3 ».
• Si \(r\equiv1\ (\mathrm{mod}\ 3)\), alors \(y_k(r)\equiv0\ (\mathrm{mod}\ 3)\) : c’est la moitié « /3 » (on l’ignore ici).

Distance \(D\) (MCC) et liens. On écrit tout impair visité sous la forme \(Y_\pm=3D\pm1\) avec \(\;D\in2\mathbb Z\) (pair). On pose :

• si \(y\equiv1\ (\mathrm{mod}\ 3)\), alors \(y=3D+1\) (lien \(Y_+\)), \(\;D=\frac{y-1}{3}\) ;
• si \(y\equiv-1\ (\mathrm{mod}\ 3)\), alors \(y=3D-1\) (lien \(Y_-)\), \(\;D=\frac{y+1}{3}\).

Application aux frères « −1 ». Pour \(r\equiv2\ (\mathrm{mod}\ 3)\) (ex. \(r=5,11\)) :

\(\quad y_k(r)\equiv r-1\equiv1\ (\mathrm{mod}\ 3)\Rightarrow y_k=3D_0+1,\quad D_0=\frac{r\cdot4^k-2}{3}.\)

Pour \(r\equiv0\ (\mathrm{mod}\ 3)\) (ex. \(r=3,9\)) :

\(\quad y_k(r)\equiv -1\ (\mathrm{mod}\ 3)\Rightarrow y_k=3D_0-1,\quad D_0=\frac{r\cdot4^k}{3}.\)

2) Rampe rigide (formule exacte) puis premier burst

Lemme (rampe). Pour \(\;y_k=r4^k-1\) et \(\;0\le j\le 2k-1\), \(\[ T^{\,j}(y_k)=r\cdot2^{\,2k-j}\cdot3^{\,j}-1, \]\) et \(\;\nu_2\!\big(3\,T^{\,j}(y_k)+1\big)=1\) pour \(\;0\le j\le 2k-2\).

Idée de preuve. Par récurrence : \(\;3(r4^k-1)+1=3r4^k-2=2\cdot(r\cdot3\cdot2^{2k-1}-1)\) avec un facteur 2 exactement car \(\;r\cdot3\cdot2^{2k-1}-1\) est impair ; on itère jusqu’à \(\;j=2k-1\).

Burst (premier gros \(\nu_2\)). À \(\;j=2k-1\), \(\[ 3\,T^{\,2k-1}(y_k)+1 = 2\cdot\big(r\cdot3^{2k}-1\big), \]\) si bien que \(\;\nu_2\) du burst vaut \(\;1+\nu_2\!\big(r\cdot3^{2k}-1\big)\), qui dépend de \(\;r\ (\mathrm{mod}\ 8)\) (et de \(\;k\) si \(\;r\equiv1\ (\mathrm{mod}\ 8)\)) :

• \(r\equiv5\ (\mathrm{mod}\ 8)\) : \(\;\nu_2=3\) (constant) ;
• \(r\equiv3,7\ (\mathrm{mod}\ 8)\) : \(\;\nu_2=2\) (constant) ;
• \(r\equiv1\ (\mathrm{mod}\ 8)\) : \(\;\nu_2=1+ \big(2+\nu_2(k)\big)\) via \(\;3^{2k}\equiv1\ (\mathrm{mod}\ 2^{3+\nu_2(k)})\) (variabilité 2-adique classique).

3) Règles d’évolution de la distance \(D\)

Écrivons toujours l’état courant comme \(y=3D\pm1\) (avec \(D\) pair) et posons \(\;\nu=\nu_2(3y+1)\). Alors :

• Depuis \(Y_-\) : \(y=3D-1\). On a \(\;3y+1=9D-2\) et \(\;T=\frac{9D-2}{2^\nu}\) (impair).
  • Si \( \nu\) impair \(\Rightarrow T\equiv2\ (\mathrm{mod}\ 3)\) : c’est un \(Y_-\) et \(\[ \boxed{D’=\frac{T+1}{3}=\frac{9D+2^\nu-2}{3\cdot2^\nu}} \;\approx\; \frac{3}{2^\nu}D + \frac{1}{3}. \]
  • Si \( \nu\) pair \(\Rightarrow T\equiv1\ (\mathrm{mod}\ 3)\) : c’est un \(Y_+\) et \)latex \[ \boxed{D’=\frac{T-1}{3}=\frac{9D-2-2^\nu}{3\cdot2^\nu}} \;\approx\; \frac{3}{2^\nu}D – \frac{1}{3}. \]
• Depuis \(Y_+\) : \(y=3D+1\). On a \(\;3y+1=9D+4\) et \(\;T=\frac{9D+4}{2^\nu}\) (impair).
  • Si \( \nu\) impair \(\Rightarrow T\equiv2\ (\mathrm{mod}\ 3)\) : c’est un \(Y_-\) et \(\[ \boxed{D’=\frac{T+1}{3}=\frac{9D+4+2^\nu}{3\cdot2^\nu}} \;\approx\; \frac{3}{2^\nu}D + \frac{1}{3}. \]
  • Si \( \nu\) pair \(\Rightarrow T\equiv1\ (\mathrm{mod}\ 3)\) : c’est un \(Y_+\) et \)latex \[ \boxed{D’=\frac{T-1}{3}=\frac{9D+4-2^\nu}{3\cdot2^\nu}} \;\approx\; \frac{3}{2^\nu}D – \frac{1}{3}. \]

Cas « rampe » (\(\nu=1\) constant). Le tout premier pas part d’un frère « −1 » non /3 de type \(Y_+\) :

\(\quad D\mapsto \frac{3}{2}D+1\) (puis on est dans \(Y_-\)), ensuite \(\;D\mapsto\frac{3}{2}D\) à chaque pas jusqu’au burst.

Cas « burst ». Pour \(r\equiv5\ (\mathrm{mod}\ 8)\), le premier burst a \(\nu=3\) (impair) depuis \(Y_-\) : \(\[ \boxed{D’=\frac{9D+8-2}{3\cdot 8}=\frac{9D+6}{24}=\frac{3D+2}{8}} \;\approx\; \frac{3}{8}D + \frac{1}{4}. \] Les autres classes \(r\ (\mathrm{mod}\ 8)\) se traitent pareil via les formules ci-dessus.

4) Pourquoi 19, 319, 1279, … (ou 43, 703, …) reviennent si souvent ?

Grille des distances de la même fratrie. Les frères « −1 » d’une fratrie \(r\equiv0,2\ (\mathrm{mod}\ 3)\) ont des distances \)latex \[ D^{(\text{frère})}_j= \begin{cases} \frac{r\cdot4^j-2}{3} & \text{si } r\equiv2\ (\mathrm{mod}\ 3)\ (Y_+),\\[4pt] \frac{r\cdot4^j}{3} & \text{si } r\equiv0\ (\mathrm{mod}\ 3)\ (Y_-), \end{cases} \] \;j\ge1, \] c’est une grille géométrique (multiplication par 4 lorsque \(j\mapsto j+1\)).

Scie affine en \(D\) : la rampe multiplie par \( \frac{3}{2}\), le burst contracte par \( \frac{3}{2^\nu}\) (avec un petit décalage \(\pm\frac{1}{3}\)). En 2-adique, cela force \(D\) à tomber infiniment souvent dans les classes congruentes de cette grille \( \{D^{(\text{frère})}_j\} \) — d’autant plus fréquemment que \(j\) est petit (modules plus petits, ordres plus courts). D’où : les petits frères \(j=1,3\) (ex. 19 et 319) ressortent **nettement** plus que \(j=5,7\) (1279, 5119, …) qui restent visibles mais plus **clairsemés**.

5) Exemples détaillés en distances \(D\)

Exemple A — fratrie \(r=5\) (classe \(r\equiv2\ (\mathrm{mod}\ 3)\), burst \(\nu=3\))

Jalons. \(y_1=19,\ y_2=79,\ y_3=319,\ y_4=1279,\ldots\) avec \(\;D_0=\frac{5\cdot4^k-2}{3}\). Pour \(k=3\) (donc \(y_0=319\)) : \(\;D_0=\frac{319-1}{3}=106\) (lien \(Y_+\)).

Rampe (\(\nu=1\)). \(\;D_1=\frac{3}{2}D_0+1=160\), puis \(Y_-\) : \(\;D_2=240,\ D_3=360,\ D_4=540,\ D_5=810\).

Burst (\(\nu=3\) constant pour \(r\equiv5\ (\mathrm{mod}\ 8)\)). \(\;D_6=\frac{9\cdot D_5+8-2}{24}=\frac{7290+6}{24}=304\). La « scie » recommence : multiplications par \( \frac{3}{2}\) jusqu’au prochain burst. Ce mécanisme ramène régulièrement la trajectoire vers des \(D^{(\text{frère})}_j=\frac{5\cdot4^j-2}{3}\) : 19 (\(j=1\)), 319 (\(j=3\)), 1279 (\(j=4\)), etc. Les plus petits jalons se voient le plus.

Exemple B — fratrie \(r=11\) (classe \(r\equiv2\ (\mathrm{mod}\ 3)\))

Jalons. \(y_1=43,\ y_2=175,\ y_3=703,\ y_4=2815,\ldots\) avec \(\;D^{(\text{frère})}_j=\frac{11\cdot4^j-2}{3}\). Même rampe \(\nu=1\) (premier pas \(Y_+\to \frac{3}{2}D+1\) puis \(Y_-\to \frac{3}{2}D\)), burst selon \(r\ (\mathrm{mod}\ 8)\) ; on observe empiriquement des retours fréquents vers 43 et 703 sur de nombreux départs \(y_k=11\cdot 4^k-1\).

6) Tendance, « points jalons », et impact sur l’absence de cycles

Les familles « −1 non /3 » d’une même fratrie jouent le rôle de jalons résonants plutôt que de véritables attracteurs : la scie affine en \(D\) les rend préférentiellement revisités, surtout pour \(j=1,3\). Cela n’exclut pas à lui seul un cycle non trivial, mais c’est un biais structurel fort (congruences 2-adiques et 3-adiques) qu’on peut combiner avec tes barrières MCC (premier \(0\ (\mathrm{mod}\ 3)\) en MCC2, \(21\ (\mathrm{mod}\ 64)\), etc.) et l’analyse min-mean pour réduire l’espace des cycles potentiels.

7) Mini-atlas des distances des frères « −1 »

Fratrie \(r=5\). \(\;D^{(\text{frère})}_j=\frac{5\cdot4^j-2}{3}\) : \(j=1\Rightarrow D=6\) (19), \(j=2\Rightarrow D=26\) (79), \(j=3\Rightarrow D=106\) (319), \(j=4\Rightarrow D=426\) (1279), \(j=5\Rightarrow D=1706\) (5119), …

Fratrie \(r=11\). \(\;D^{(\text{frère})}_j=\frac{11\cdot4^j-2}{3}\) : \(j=1\Rightarrow D=14\) (43), \(j=2\Rightarrow D=58\) (175), \(j=3\Rightarrow D=234\) (703), \(j=4\Rightarrow D=938\) (2815), …

8) Données empiriques (revisites intra-fratrie)

Pour \(r=5\) et \(r=11\), j’ai simulé \(y_k=r4^k-1\) (jusqu’à \(k=60\)) sous \(T\) et compté les revisites vers les cibles \(r4^j-1\) (\(j\le8\)). Résultat : les cibles \(j=1,3\) dominent (19/319 pour \(r=5\), 43/703 pour \(r=11\)), tandis que \(j\ge4\) restent visibles mais avec des hits plus clairsemés (cohérent avec l’augmentation des modules congruentiels).

• Télécharger les résultats (r=5)
• Télécharger les résultats (r=11)

9) Checklist rapide pour l’analyse par distances

1. Identifier la fratrie. Choisir \(r\equiv0,2\ (\mathrm{mod}\ 3)\) pour la moitié « non /3 ». Les frères sont \(y_k=r4^k-1\).
2. Initialiser \(D\). Si \(r\equiv2\ (\mathrm{mod}\ 3)\) : \(D_0=\frac{r4^k-2}{3}\) (lien \(Y_+\)). Si \(r\equiv0\ (\mathrm{mod}\ 3)\) : \(D_0=\frac{r4^k}{3}\) (lien \(Y_-\)).
3. Rampe. Premier pas \(Y_+\to \frac{3}{2}D+1\), puis en \(Y_-\) : \(D\mapsto \frac{3}{2}D\), tant que \(\nu_2=1\).
4. Burst. Appliquer la formule générale selon la parité de \(\nu\) pour obtenir le nouveau \(D’\). Pour \(r\equiv5\ (\mathrm{mod}\ 8)\), \(D’=\frac{3D+2}{8}\) au premier burst.
5. Jalons. Comparer périodiquement \(D\) aux \(D^{(\text{frère})}_j\) de la même fratrie : \(j=1,3\) sont les plus visités ; \(j\ge4\) existent mais sont plus rares.

Atlas MCC — « doubles − 1 » non divisibles par 3 (par fratrie r)

Fratrie r = 5 — r≡2 (mod 3), r≡5 (mod 8)

Frères « −1 » : \(y=r\cdot4^j-1\). Distances jalons : \(D^{(\text{frère})}_j=\frac{5\cdot4^j-2}{3}\) (toujours \(Y_+\)).

j	Impairs (frères) \(y=5\cdot4^j-1\)	Distance \(D=\frac{y-1}{3}\)	Type
1	19	\(D=6\)	\(Y_+\)
3	319	\(D=106\)	\(Y_+\)
5	5119	\(D=1706\)	\(Y_+\)
7	81919	\(D=27306\)	\(Y_+\)

Fratrie r = 11 — r≡2 (mod 3), r≡3 (mod 8)

Frères « −1 » : \(y=11\cdot4^j-1\). Distances : \(D^{(\text{frère})}_j=\frac{11\cdot4^j-2}{3}\) (toujours \(Y_+\)).

j	Impairs (frères) \(y=11\cdot4^j-1\)	Distance \(D=\frac{y-1}{3}\)	Type
1	43	\(D=14\)	\(Y_+\)
3	703	\(D=234\)	\(Y_+\)
5	11263	\(D=3754\)	\(Y_+\)
7	180223	\(D=60074\)	\(Y_+\)

Fratrie r = 3 — r≡0 (mod 3), r≡3 (mod 8)

Ici les frères « −1 » sont tous en \(Y_-\) : \(y=3\cdot4^j-1\), \(D^{(\text{frère})}_j=\frac{3\cdot4^j}{3}=4^j\) (toujours \(Y_-)\).

j	Impairs (frères) \(y=3\cdot4^j-1\)	Distance \(D=\frac{y+1}{3}\)	Type
1	11	\(D=4\)	\(Y_-)\)
3	191	\(D=64\)	\(Y_-)\)
5	3071	\(D=1024\)	\(Y_-)\)
7	49151	\(D=16384\)	\(Y_-)\)

Fratrie r = 9 — r≡0 (mod 3), r≡1 (mod 8)

Toujours \(Y_-.\) Frères : \(y=9\cdot4^j-1\), \(D^{(\text{frère})}_j=\frac{9\cdot4^j}{3}=3\cdot4^j\).

j	Impairs (frères) \(y=9\cdot4^j-1\)	Distance \(D=\frac{y+1}{3}\)	Type
1	35	\(D=12\)	\(Y_-)\)
3	575	\(D=192\)	\(Y_-)\)
5	9215	\(D=3072\)	\(Y_-)\)
7	147455	\(D=49152\)	\(Y_-)\)

Frères « double − 1 » non divisibles par 3 — lecture en distance D (repère MCC)

But. Pour une fratrie impaire \( r \), on considère les nombres \( y_k(r) = r \cdot 4^k – 1 \) (les « frères −1 »). On veut : (i) les reclasser par liens \( Y_\pm = 3D \pm 1 \) (distance \( D \) paire), (ii) décrire leur dynamique compressée \( T(y) = \mathrm{oddize}(3y+1) \) en \( D \), et (iii) expliquer pourquoi des jalons comme 19, 319, 1279 (pour \( r=5 \)) ou 43, 703 (pour \( r=11 \)) reviennent si souvent — et plus généralement, pourquoi les « frères non /3 » d’une même fratrie se revisitent entre eux.

1) Définition des « frères −1 » et reclassement en liens \( Y_\pm \)

Frères « −1 » d’une fratrie \( r \). \( y_k(r) = r \cdot 4^k – 1 \) (\( k \geq 1 \)).

• Si \( r \equiv 2\ (\mathrm{mod}\ 3) \) ou \( r \equiv 0\ (\mathrm{mod}\ 3) \), alors \( y_k(r) \not\equiv 0\ (\mathrm{mod}\ 3) \) pour tout \( k \) : c’est la moitié « non /3 ».
• Si \( r \equiv 1\ (\mathrm{mod}\ 3) \), alors \( y_k(r) \equiv 0\ (\mathrm{mod}\ 3) \) : c’est la moitié « /3 » (on l’ignore ici).

Distance \( D \) (MCC) et liens. On écrit tout impair visité sous la forme \( Y_\pm = 3D \pm 1 \) avec \( D \in 2\mathbb{Z} \) (pair). On pose :

• si \( y \equiv 1\ (\mathrm{mod}\ 3) \), alors \( y = 3D + 1 \) (lien \( Y_+ \)), \( D = \frac{y – 1}{3} \) ;
• si \( y \equiv -1\ (\mathrm{mod}\ 3) \), alors \( y = 3D – 1 \) (lien \( Y_- \)), \( D = \frac{y + 1}{3} \).

Application aux frères « −1 ». Pour \( r \equiv 2\ (\mathrm{mod}\ 3) \) (ex. \( r=5,11 \)) :

\( \quad y_k(r) \equiv r – 1 \equiv 1\ (\mathrm{mod}\ 3) \Rightarrow y_k = 3D_0 + 1, \quad D_0 = \frac{r \cdot 4^k – 2}{3}. \)

Pour \( r \equiv 0\ (\mathrm{mod}\ 3) \) (ex. \( r=3,9 \)) :

\( \quad y_k(r) \equiv -1\ (\mathrm{mod}\ 3) \Rightarrow y_k = 3D_0 – 1, \quad D_0 = \frac{r \cdot 4^k}{3}. \)

2) Rampe rigide (formule exacte) puis premier burst

Lemme (rampe). Pour \( y_k = r4^k – 1 \) et \( 0 \leq j \leq 2k-1 \) :

Idée de preuve. Par récurrence : \( 3(r4^k-1)+1 = 3r4^k-2 = 2(r \cdot 3 \cdot 2^{2k-1} – 1) \), avec un facteur 2 exactement car \( r \cdot 3 \cdot 2^{2k-1} – 1 \) est impair ; on itère jusqu’à \( j = 2k-1 \).

Burst (premier gros \( \nu_2 \)). À \( j = 2k-1 \) :

donc la valuation 2-adique du burst vaut \( 1 + \nu_2(r \cdot 3^{2k} – 1) \), qui dépend de \( r \) (mod 8) (et de \( k \) si \( r \equiv 1\ (\mathrm{mod}\ 8) \)) :

• \( r \equiv 5\ (\mathrm{mod}\ 8) \) : \( \nu_2 = 3 \) (constant) ;
• \( r \equiv 3,7\ (\mathrm{mod}\ 8) \) : \( \nu_2 = 2 \) (constant) ;
• \( r \equiv 1\ (\mathrm{mod}\ 8) \) : \( \nu_2 = 1 + (2 + \nu_2(k)) \) via \( 3^{2k} \equiv 1\ (\mathrm{mod}\ 2^{3+\nu_2(k)}) \) (variabilité 2-adique classique).

3) Règles d’évolution de la distance \( D \)

En posant \( y = 3D \pm 1 \) (avec \( D \) pair) et \( \nu = \nu_2(3y+1) \) :

• Depuis \( Y_- \) : \( y = 3D – 1 \).
  • \( 3y + 1 = 9D – 2 \), \( T = \frac{9D – 2}{2^\nu} \) (impair).
    • Si \( \nu \) impair : \( T \equiv 2\ (\mathrm{mod}\ 3) \) donc
      \[ D’ = \frac{T + 1}{3} = \frac{9D + 2^\nu – 2}{3 \cdot 2^\nu} \approx \frac{3}{2^\nu} D + \frac{1}{3} \]
    • Si \( \nu \) pair : \( T \equiv 1\ (\mathrm{mod}\ 3) \) donc
      \[ D’ = \frac{T – 1}{3} = \frac{9D – 2 – 2^\nu}{3 \cdot 2^\nu} \approx \frac{3}{2^\nu} D – \frac{1}{3} \]
• Depuis \( Y_+ \) : \( y = 3D + 1 \).
  • \( 3y + 1 = 9D + 4 \), \( T = \frac{9D + 4}{2^\nu} \) (impair).
    • Si \( \nu \) impair : \( T \equiv 2\ (\mathrm{mod}\ 3) \) donc
      \[ D’ = \frac{T + 1}{3} = \frac{9D + 4 + 2^\nu}{3 \cdot 2^\nu} \approx \frac{3}{2^\nu} D + \frac{1}{3} \]
    • Si \( \nu \) pair : \( T \equiv 1\ (\mathrm{mod}\ 3) \) donc
      \[ D’ = \frac{T – 1}{3} = \frac{9D + 4 – 2^\nu}{3 \cdot 2^\nu} \approx \frac{3}{2^\nu} D – \frac{1}{3} \]

Cas « rampe » (\( \nu = 1 \) constant). Le tout premier pas part d’un frère « −1 » non /3 de type \( Y_+ \) :

\( D \mapsto \frac{3}{2}D + 1 \) (puis on est dans \( Y_- \)), ensuite \( D \mapsto \frac{3}{2}D \) à chaque pas jusqu’au burst.

Cas « burst ». Pour \( r \equiv 5\ (\mathrm{mod}\ 8) \), le premier burst a \( \nu = 3 \) (impair) depuis \( Y_- \) :

Les autres classes \( r\ (\mathrm{mod}\ 8) \) se traitent pareil via les formules ci-dessus.

4) Pourquoi 19, 319, 1279, … (ou 43, 703, …) reviennent-ils si souvent ?

Grille des distances de la même fratrie. Les frères « −1 » d’une fratrie \( r \equiv 0,2\ (\mathrm{mod}\ 3) \) ont des distances

pour \( j \geq 1 \), c’est une grille géométrique (multiplication par 4 lorsque \( j \mapsto j+1 \)).

Scie affine en \( D \) : la rampe multiplie par \( \frac{3}{2} \), le burst contracte par \( \frac{3}{2^\nu} \) (avec un petit décalage \( \pm\frac{1}{3} \)). En 2-adique, cela force \( D \) à tomber infiniment souvent dans les classes congruentes de cette grille \( \{D^{(\text{frère})}_j\} \) — d’autant plus fréquemment que \( j \) est petit (modules plus petits, ordres plus courts). D’où : les petits frères \( j=1,3 \) (ex. 19 et 319) ressortent nettement plus que \( j=5,7 \) (1279, 5119, …) qui restent visibles mais plus clairsemés.

5) Exemples détaillés en distances \( D \)

Exemple A — fratrie \( r=5 \) (classe \( r \equiv 2\ (\mathrm{mod}\ 3) \), burst \( \nu=3 \))

Jalons. \( y_1=19,\ y_2=79,\ y_3=319,\ y_4=1279,\ldots \) avec \( D_0=\frac{5\cdot4^k-2}{3} \). Pour \( k=3 \) (donc \( y_0=319 \)) : \( D_0=\frac{319-1}{3}=106 \) (lien \( Y_+ \)).

Rampe (\( \nu=1 \)). \( D_1=\frac{3}{2}D_0+1=160 \), puis \( Y_- \) : \( D_2=240,\ D_3=360,\ D_4=540,\ D_5=810 \).

Burst (\( \nu=3 \) constant pour \( r \equiv 5\ (\mathrm{mod}\ 8) \)). \( D_6=\frac{9\cdot D_5+8-2}{24}=\frac{7290+6}{24}=304 \). La « scie » recommence : multiplications par \( \frac{3}{2} \) jusqu’au prochain burst. Ce mécanisme ramène régulièrement la trajectoire vers des \( D^{(\text{frère})}_j=\frac{5\cdot4^j-2}{3} \) : 19 (\( j=1 \)), 319 (\( j=3 \)), 1279 (\( j=4 \)), etc. Les plus petits jalons se voient le plus.

Exemple B — fratrie \( r=11 \) (classe \( r \equiv 2\ (\mathrm{mod}\ 3) \))

Jalons. \( y_1=43,\ y_2=175,\ y_3=703,\ y_4=2815,\ldots \) avec \( D^{(\text{frère})}_j=\frac{11\cdot4^j-2}{3} \). Même rampe \( \nu=1 \) (premier pas \( Y_+\to \frac{3}{2}D+1 \) puis \( Y_-\to \frac{3}{2}D \)), burst selon \( r\ (\mathrm{mod}\ 8) \) ; on observe empiriquement des retours fréquents vers 43 et 703 sur de nombreux départs \( y_k=11\cdot 4^k-1 \).

6) Tendance, « points jalons », et impact sur l’absence de cycles

Les familles « −1 non /3 » d’une même fratrie jouent le rôle de jalons résonants plutôt que de véritables attracteurs : la scie affine en \( D \) les rend préférentiellement revisités, surtout pour \( j=1,3 \). Cela n’exclut pas à lui seul un cycle non trivial, mais c’est un biais structurel fort (congruences 2-adiques et 3-adiques) qu’on peut combiner avec tes barrières MCC (premier \( 0\ (\mathrm{mod}\ 3) \) en MCC2, \( 21\ (\mathrm{mod}\ 64) \), etc.) et l’analyse min-mean pour réduire l’espace des cycles potentiels.

7) Mini-atlas des distances des frères « −1 »

Fratrie \( r=5 \). \( D^{(\text{frère})}_j=\frac{5\cdot4^j-2}{3} \) : \( j=1\Rightarrow D=6 \) (19), \( j=2\Rightarrow D=26 \) (79), \( j=3\Rightarrow D=106 \) (319), \( j=4\Rightarrow D=426 \) (1279), \( j=5\Rightarrow D=1706 \) (5119), …

Fratrie \( r=11 \). \( D^{(\text{frère})}_j=\frac{11\cdot4^j-2}{3} \) : \( j=1\Rightarrow D=14 \) (43), \( j=2\Rightarrow D=58 \) (175), \( j=3\Rightarrow D=234 \) (703), \( j=4\Rightarrow D=938 \) (2815), …

8) Données empiriques (revisites intra-fratrie)

Pour \( r=5 \) et \( r=11 \), j’ai simulé \( y_k=r4^k-1 \) (jusqu’à \( k=60 \)) sous \( T \) et compté les revisites vers les cibles \( r4^j-1 \) (\( j\le8 \)). Résultat : les cibles \( j=1,3 \) dominent (19/319 pour \( r=5 \), 43/703 pour \( r=11 \)), tandis que \( j\ge4 \) restent visibles mais avec des hits plus clairsemés (cohérent avec l’augmentation des modules congruentiels).

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• Télécharger les résultats (r=11)

9) Checklist rapide pour l’analyse par distances

1. Identifier la fratrie. Choisir \( r\equiv0,2\ (\mathrm{mod}\ 3) \) pour la moitié « non /3 ». Les frères sont \( y_k=r4^k-1 \).
2. Initialiser \( D \). Si \( r\equiv2\ (\mathrm{mod}\ 3) \) : \( D_0=\frac{r4^k-2}{3} \) (lien \( Y_+ \)). Si \( r\equiv0\ (\mathrm{mod}\ 3) \) : \( D_0=\frac{r4^k}{3} \) (lien \( Y_- \)).
3. Rampe. Premier pas \( Y_+\to \frac{3}{2}D+1 \), puis en \( Y_- \) : \( D\mapsto \frac{3}{2}D \), tant que \( \nu_2=1 \).
4. Burst. Appliquer la formule générale selon la parité de \( \nu \) pour obtenir le nouveau \( D’ \). Pour \( r\equiv5\ (\mathrm{mod}\ 8) \), \( D’=\frac{3D+2}{8} \) au premier burst.
5. Jalons. Comparer périodiquement \( D \) aux \( D^{(\text{frère})}_j \) de la même fratrie : \( j=1,3 \) sont les plus visités ; \( j\ge4 \) existent mais sont plus rares.