FR > decouverte variante (cas simple)

La formule de MCC est \( L_{r,n} = r \cdot 4^n + \frac{4^n – 1}{3} \)

Voici une formule inline : \\( E = mc^2 \\)

Et une formule en bloc : \ \[ \int_0^1 x^2 \, dx \\]

MCC — recentrage sur le 1er 0 mod 3 (MCC2), racines en 1re colonne, tri par MCC2 croissant

MCC — Classique (impairs) — tri par MCC2

fratrie \(r\)	MCC0	MCC1	MCC2 (1er 0 mod 3)	MCC3	MCC4	MCC5
\(3\)			3	13	53	213
\(9\)			9	37	149	597
\(15\)			15	61	245	981
\(1\)	1	5	21	85	341	1365
\(27\)			27	109	437	1749
\(33\)			33	133	533	2133
\(39\)			39	157	629	2517
\(11\)		11	45	181	725	2901
\(17\)		17	69	277	1109	4437
\(7\)	7	29	117	469	1877	7509

MCC — Variante W (pairs) — tri par MCC2 (valeurs ×2)

fratrie \(2r\)	MCC0	MCC1	MCC2	MCC3	MCC4	MCC5
\(6\)			6	26	106	426
\(18\)			18	74	298	1194
\(30\)			30	122	490	1962
\(2\)	2	10	42	170	682	2730
\(54\)			54	218	874	3498
\(66\)			66	266	1066	4266
\(78\)			78	314	1258	5034
\(22\)		22	90	362	1450	5802
\(34\)		34	138	554	2218	8874
\(14\)	14	58	234	938	3754	15018

Diagonales MCC — formules révisées (avec tri par MCC2)

• Indexation par la colonne MCC. Pour une ligne \(r\) donnée, posons \(n_\star(r)\) son 1er zéro mod 3. En notant \(c\in\{0,1,2,\dots\}\) l’indice de colonne MCC (MCC0/MCC1/MCC2/MCC3… = 0/1/2/3…), on a la formule locale :
  \(\displaystyle \mathrm{MCC}[r,c]\;=\;L_{r,\;n_\star(r)+c-2}\,.\)
  (La cellule existe ssi \(n_\star(r)+c-2\ge0\).)
• Diagonale NE sur une ligne. Passer de \(c\) à \(c{+}1\) :
  \(\mathrm{MCC}[r,c{+}1]=4\,\mathrm{MCC}[r,c]+1\).
  Valuation : \(\nu_2\!\bigl(3\,\mathrm{MCC}[r,c{+}1]+1\bigr)=\nu_2\!\bigl(3\,\mathrm{MCC}[r,c]+1\bigr)+2\) (et côté W : \(\nu_2(3x{+}2)-1\) subit le même \(+2\)).
• Périodicité \(\bmod 3\) (ancrée en MCC2). Comme \(\mathrm{MCC}[r,2]\equiv0\ (\bmod 3)\) et \(\mathrm{MCC}[r,c{+}1]\equiv\mathrm{MCC}[r,c]+1\ (\bmod 3)\), on a :
  \(\mathrm{MCC}[r,c]\equiv0\ (\bmod 3)\) ssi \(c\equiv2\ (\bmod 3)\) (zéros tous les 3 pas).
• Barrière \(\bmod 64\) (classique). Pour \(c\ge5\) (i.e. \(c{-}2\ge3\)), \(4^{\,c-2}\equiv0\ (\bmod 64)\) et
  \(\displaystyle \mathrm{MCC}[r,c]\equiv\frac{4^{\,c-2}-1}{3}\equiv\frac{-1}{3}\equiv21\pmod{64}\),
  car \(3^{-1}\equiv43\ (\bmod 64)\) et \(-43\equiv21\).
• Barrière W \(\bmod 128\). \(\mathrm{MCC}_W[r,c]=2\,\mathrm{MCC}[r,c]\), donc pour \(c\ge5\) :
  \(\mathrm{MCC}_W[r,c]\equiv 42\pmod{128}\).
• Effet du tri par MCC2 (propriété de monotonie verticale). Comme \(\mathrm{MCC}[r,c]=4^{\,c-2}\,\mathrm{MCC}[r,2]+\tfrac{4^{\,c-2}-1}{3}\) est croissante en \(\mathrm{MCC}[r,2]\), trier les lignes par MCC2 rend chaque colonne (c fixée) croissante de haut en bas. Les formules NE/SE ci-dessus restent identiques (elles sont locales à la ligne), mais la lecture verticale est maintenant ordonnée.
• SE (inverse local). Quand défini : \(\mathrm{MCC}[r,c{-}1]=\dfrac{\mathrm{MCC}[r,c]-1}{4}\) (et côté W : idem avec les valeurs doublées).

Exemples guidés — calcul des diagonales en MCC

Règle locale (rappel). Pour une fratrie racine \(r\equiv1,3,7\ (\mathrm{mod}\ 8)\), note \(n_\star(r)\) le plus petit rang tel que \(L_{r,n_\star}\equiv0\ (\mathrm{mod}\ 3)\) avec \(L_{r,n}=r4^n+\frac{4^n-1}{3}\). En MCC : \(\mathrm{MCC}[r,2]=L_{r,n_\star}\), et pour toute colonne \(c\ge0\) :

\(\displaystyle \mathrm{MCC}[r,c]=L_{r,\;n_\star(r)+c-2}\)    (la cellule existe ssi \(n_\star+c-2\ge0\)).

• Pas NE (une colonne vers la droite) : \(\mathrm{MCC}[r,c{+}1]=4\,\mathrm{MCC}[r,c]+1\).
• Pas SE (inverse, une colonne vers la gauche quand défini) : \(\mathrm{MCC}[r,c{-}1]=\dfrac{\mathrm{MCC}[r,c]-1}{4}\).
• Valuation : \(k_c=\nu_2\!\bigl(3\,\mathrm{MCC}[r,c]+1\bigr)\) (et côté variante W : \(k’_c=\nu_2(3\,\mathrm{MCC}_W[r,c]+2)-1\)). À chaque pas NE, \(k\) gagne systématiquement +2.

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Exemple 1 — racine \(r=27\) (cas \(r\equiv0\ (\mathrm{mod}\ 3)\), donc \(n_\star=0\))

Point d’ancrage. \(\mathrm{MCC}[27,2]=L_{27,0}=27\) (MCC0/MCC1 vides).

• NE vers MCC3 : \(4\cdot 27+1=109\).
• NE vers MCC4 : \(4\cdot 109+1=437\).
• Valuations : \(\nu_2(3\cdot27+1)=\nu_2(82)=1\), puis \(\nu_2(3\cdot109+1)=\nu_2(328)=3\), puis \(\nu_2(3\cdot437+1)=\nu_2(1312)=5\) : on gagne bien +2 à chaque pas.

Formule fermée (depuis MCC2). Pour \(c\ge2\), \(\mathrm{MCC}[27,c]=4^{c-2}\cdot 27+\dfrac{4^{c-2}-1}{3}\). Par ex. pour \(c=5\) : \(4^3\cdot27+\frac{64-1}{3}=64\cdot27+21=1749\).

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Exemple 2 — racine \(r=11\) (cas \(r\equiv2\ (\mathrm{mod}\ 3)\), donc \(n_\star=1\))

Points d’ancrage. \(\mathrm{MCC}[11,1]=L_{11,0}=11\), \(\mathrm{MCC}[11,2]=L_{11,1}=4\cdot11+1=45\).

• NE (MCC2 → MCC3) : \(4\cdot45+1=181\).
• NE (MCC3 → MCC4) : \(4\cdot181+1=725\).
• Valuations : \(\nu_2(3\cdot11+1)=\nu_2(34)=1\), puis \(\nu_2(3\cdot45+1)=\nu_2(136)=3\), puis \(\nu_2(3\cdot181+1)=\nu_2(544)=5\).
• SE (inverse) : on revient de MCC2 à MCC1 par \((45-1)/4=11\).

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Exemple 3 — racine \(r=7\) (cas \(r\equiv1\ (\mathrm{mod}\ 3)\), donc \(n_\star=2\))

Points d’ancrage. \(\mathrm{MCC}[7,2]=L_{7,2}=117\). Comme \(n_\star=2\), les colonnes de gauche existent : \(\mathrm{MCC}[7,1]=L_{7,1}=29\), \(\mathrm{MCC}[7,0]=L_{7,0}=7\).

• NE (MCC2 → MCC3) : \(4\cdot117+1=469\).
• NE (MCC3 → MCC4) : \(4\cdot469+1=1877\).
• Valuations : \(\nu_2(3\cdot117+1)=\nu_2(352)=5\), puis \(\nu_2(3\cdot469+1)=\nu_2(1408)=7\).
• SE (inverse) : \(\mathrm{MCC}[7,1]=(117-1)/4=29\), puis \(\mathrm{MCC}[7,0]=(29-1)/4=7\).

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Exemple 4 — calcul direct par la formule fermée (depuis MCC2)

Pour toute ligne, si l’on connaît \(\mathrm{MCC}[r,2]=M_2(r)\), alors pour \(c\ge2\) :

\(\displaystyle \mathrm{MCC}[r,c]=4^{\,c-2}\,M_2(r)\;+\;\frac{4^{\,c-2}-1}{3}\,.\)

• Ex. \(r=1\) : \(\mathrm{MCC}[1,2]=21\). Pour \(c=5\) : \(4^3\cdot21+\frac{64-1}{3}=64\cdot21+21=1344+21=1365\) (c’est bien MCC5 de la ligne \(r=1\)).
• Ex. \(r=7\) : \(\mathrm{MCC}[7,2]=117\). Pour \(c=5\) : \(4^3\cdot117+\frac{64-1}{3}=64\cdot117+21=7488+21=7509\).

Variante W (pairs) — même diagonale, valeurs ×2

On double toutes les valeurs : \(\mathrm{MCC}_W[r,c]=2\,\mathrm{MCC}[r,c]\) et \(k’_c=\nu_2(3\,\mathrm{MCC}_W[r,c]+2)-1=\nu_2(3\,\mathrm{MCC}[r,c]+1)=k_c\).

• Ex. Ligne \(r=1\) : \(\mathrm{MCC}[1,2]=21 \mapsto \mathrm{MCC}_W[2,2]=42\). Valuation : \(\nu_2(3\cdot42+2)-1=\nu_2(128)-1=7-1=6\), identique à \(\nu_2(3\cdot21+1)=6\).
• Ex. Puis NE : \(42\mapsto 4\cdot42+2=170\) ; \(\nu_2(3\cdot170+2)-1=\nu_2(512)-1=9-1=8\) (on a bien gagné +2, comme côté impair).

Fratries  L_r,n (n = 0…6)

r \ n	0	1	2	3	4	5	6
r = 1	1 (C)	5 (P)	21 (C)	85 (C)	341 (C)	1365 (C)	5461 (C)
r = 3	3 (P)	13 (P)	53 (P)	213 (C)	853 (P)	3413 (P)	13653 (C)
r = 7	7 (P)	29 (P)	117 (C)	469 (C)	1877 (P)	7509 (C)	30037 (C)

Image en 2 pas : G₂(L_r,n)

Pour lecture rapide : P → \((3y+1)/2\), C → \(9y+2\). Les valeurs ci-dessous sont des entiers (pairs ou impairs) atteints en deux pas depuis chaque cellule du tableau ci-dessus.

r \ n	0	1	2	3	4	5	6
r = 1	11	8	191	767	3071	12287	49151
r = 3	5	20	80	1919	1280	5120	122879
r = 7	11	44	1055	4223	2816	67583	270335