Variante unifiée F_m, pivot 2^m−1 et conjugaison vers Collatz

Pour \(m \ge 1\), on définit :

$$ F_m(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{x}{2}, & \nu_2(x)\ge m,\\[6pt] \displaystyle 3x+2^{\,m-1}, & \nu_2(x)\le m-1, \end{cases} $$

Cas particuliers.

• Semi-entiers (règle « entier ⇒ ÷2, sinon \(3x+\frac{1}{2}\) ») : c’est \(m=1\) vu à l’échelle \(w=2x\) (conjugaison globale avec Collatz).
• Variante +2 (\(m=2\)) : bassin \(S_2=\{x\equiv0\ (\mathrm{mod}\ 2)\}\) et cycle \((2,8,4)\).
• Variante +4 (\(m=3\)) : bassin \(S_3=\{x\equiv0\ (\mathrm{mod}\ 4)\}\) et cycle \((4,16,8)\).

Décomposition de \(3x+2^{m-1}\) et rôle de l’échelle \(2^{\,m-1}\)

Cas 1 — sur le bassin \(S_m\) (i.e. \(x=2^{\,m-1}y\) avec \(y\) impair). Alors

$$ 3x+2^{m-1} =3\cdot 2^{\,m-1}y + 2^{\,m-1} =2^{\,m-1}\bigl((2+1)y+1\bigr) =2^{\,m-1}\bigl(2y+(y+1)\bigr) =2^{\,m-1}\bigl(3y+1\bigr). $$

Autrement dit, en posant \(y=\frac{x}{2^{\,m-1}}\) (ton « \(n\) »), on obtient directement la conjugaison Collatz sur \(y\).

Cas 2 — général : écris \(x=2^{t}y\) avec \(y\) impair et \(t=\nu_2(x)\). Alors

$$ 3x+2^{m-1} =2^{t}\Bigl(3y+2^{\,m-1-t}\Bigr) =2^{t}\Bigl(2y+\bigl(y+2^{\,m-1-t}\bigr)\Bigr). $$

Si \(t\le m-2\), alors \(m-1-t\ge 1\) et \(y+2^{\,m-1-t}\) est impair : on a donc \(\nu_2(3x+2^{m-1})=\nu_2(x)=t\) (valuation invariante). Si \(t=m-1\), on retombe sur le Cas 1 (conjugaison). Si \(t\ge m\), on est dans la branche \(\,x\mapsto x/2\,\) qui fait simplement décroître \(\nu_2\) d’une unité.

La loi universelle F_m (pivot 2^m−1) : comprendre Collatz par les distances m‑adiques

Idée. On étudie une variante unifiée \(F_m\) paramétrée par un pivot binaire \(2^{m-1}\). Mesurée à l’échelle « universelle » \(U_m=2^{m-1}\), sa dynamique ne dépend que de distances (combien on monte/descend en unités \(U_m\)), et non des valeurs précises. Cette vision « distance‑only » explique pourquoi le seul cycle possible est universel : \(2^{m-1}\to 2^{m+1}\to 2^{m}\to 2^{m-1}\).

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A. Définition de \(F_m\) et découpe en zones

A.1 — Règle unifiée et « mètre » universel

Pour \(m\ge1\), on pose \[ F_m(x)= \begin{cases} \frac{x}{2},& \nu_2(x)\ge m,\\[6pt] 3x+2^{m-1},& \nu_2(x)\le m-1. \end{cases} \] On adopte l’unité \(U_m:=2^{m-1}\). Parler « en unités \(U_m\) », c’est remplacer chaque différence \(\Delta x\) par \(\Delta_m=\Delta x/2^{m-1}\).

A.2 — Palier \(S_m\) et conjugaison avec Collatz

Soit \(S_m:=2^{m-1}\mathbb Z\) (multiples de \(U_m\)). En écrivant \(x=2^{m-1}y\) on obtient \[ \frac{F_m(2^{m-1}y)}{2^{m-1}}= \begin{cases} \frac{y}{2},& y\ \text{pair},\\[6pt] 3y+1,& y\ \text{impair}. \end{cases} \] Autrement dit, sur \(S_m\) la dynamique de \(F_m\) coïncide exactement avec la Collatz classique sur \(y\).

A.3 — Trois zones (lecture m‑adique)

• Zone A (au‑dessus du pivot) : \(t:=\nu_2(x)\ge m\). Chaque pas fait \(x\mapsto x/2\). En unités \(U_m\), c’est un facteur 1/2 par pas jusqu’à atteindre \(t=m-1\).
• Interface/palier \(S_m\) : \(t=m-1\). C’est la copie conforme de Collatz sur \(y=x/2^{m-1}\).
• Zone C (en‑dessous du pivot) : \(t\le m-2\). On est forcément dans la branche \(x\mapsto 3x+2^{m-1}\) et la valuation reste invariante : \(\nu_2(F_m(x))=\nu_2(x)=t\). En unités \(U_m\), l’incrément vaut \[ \Delta_m=\frac{F_m(x)-x}{2^{m-1}}=2^{\,t-m+2}y+1\ \ge\ 1+2^{\,2-m}>1, \] (avec \(x=2^t y\), \(y\) impair). On monte strictement à chaque pas et on ne peut jamais atteindre \(S_m\).

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B. Exclure tous les cycles (hors universel) uniquement par les distances

B.1 — Réduction à \(S_m\)

Par A.3 : aucune orbite cyclique ne peut séjourner en zone C (croissance stricte) ; en zone A on descend en temps fini vers \(S_m\). Tout cycle vit donc dans \(S_m\), où \(F_m\) est la Collatz classique sur \(y\).

B.2 — Comptabilité d’un « bloc impair » (distance seule)

Sur \(S_m\), quand \(y\) est impair, on note \(\kappa:=\nu_2(3y+1)\). Un bloc « impair » (\(\times3\) puis \(/2^\kappa\)) induit sur \(x=2^{m-1}y\) la mise à jour linéaire suivante :

— une mise à jour qui ne dépend que de la distance \(\kappa\), et non de la valeur de \(x\).

B.3 — Deux bilans sur un tour

1. Multiplicatif : produit des facteurs \(\prod (3/2^{\kappa_j})\). Pour boucler : \[\frac{1}{s}\sum_{j=1}^s \kappa_j\ =\ \log_2 3\ \approx\ 1{,}5859.\]
2. Additif : somme des termes \(U_m\,\sum 2^{-\kappa_j}\) > 0. Elle doit être « auto‑compensée » dans le tour ; en pratique cela force une surcompensation du multiplicatif (moyenne \(\kappa\) légèrement > \(\log_2 3\)) et/ou des contraintes modulaires très strictes.

Encadré – Condition de divisibilité (version rigoureuse de B.3). Pour un tour de s blocs impairs avec exponents \(\kappa_1,\dots,\kappa_s\) et \(K=\sum\kappa_j\) : \[ (2^{K}-3^{s})\,y=\sum_{j=1}^s 3^{\,s-j}\,2^{\,K-(\kappa_j+\cdots+\kappa_s)}. \] Donc \(2^{K}-3^{s}\) divise le membre de droite. En particulier \(K>s\log_2 3\) (strict) : l’additif impose une moyenne \(\bar\kappa\) strictement supérieure à \(\log_2 3\).

B.4 — Forçages 2‑adiques sur \(\kappa\)

Structurellement (arithmétique binaire), l’ensemble \(\{y:\ \nu_2(3y+1)=t\}\) est une progression arithmétique modulo \(2^t\) : les « grands \(\kappa\) » sont inévitables à intervalles réguliers. Ces forçages font monter la moyenne \(\bar\kappa\) au‑dessus de \(\log_2 3\) sur tout tour, ce qui rend le bouclage impossible sans tomber dans le petit cycle universel.

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C. Exemples concrets (m=2 et m=3)

C.1 — Variante « +2 » (m=2)

Règle. \(F_2(x)=x/2\) si \(\nu_2(x)\ge2\), sinon \(F_2(x)=3x+2\). Bassin \(S_2=2\mathbb Z\) (les pairs) et \(U_2=2\).

• Cycle universel. \(2\to 8\to 4\to 2\).
• Zone C (nombres impairs : \(t=0\)) : \(\Delta_2 = 2^{0-2+2}y+1 = y+1\ge 2\). Croissance stricte, jamais de retour au palier.
• Zone A (\(t\ge2\)) : divisions jusqu’à \(t=1\), puis palier \(S_2\) et conjugaison Collatz sur \(y=x/2\).

C.2 — Variante « +4 » (m=3)

Règle. \(F_3(x)=x/2\) si \(\nu_2(x)\ge3\), sinon \(F_3(x)=3x+4\). Bassin \(S_3=4\mathbb Z\), \(U_3=4\).

• Cycle universel. \(4\to 16\to 8\to 4\).
• Zone C (\(t\le1\)) : \(\Delta_3 = 2^{t-3+2}y+1 = 2^{t-1}y+1\ge 1+\frac{1}{2}=1{,}5\). Croissance stricte en unités de 4.
• Zone A (\(t\ge3\)) : divisions jusqu’au palier, puis comportement Collatz sur \(y=x/4\).

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D. Questions fréquentes (grand public)

Pourquoi parler de « distances » plutôt que des nombres eux‑mêmes ?

Parce que la règle ne dépend que d’un seuil binaire (le pivot) et d’un compteur de divisions par 2. Vu à l’échelle \(U_m\), on a juste des paliers (descente par 2), une marche forcée (ajouts \(+U_m\) et plus), et un palier central régi par un petit budget « \(\times3\) / \(/2^\kappa\) ». La valeur exacte des nombres est secondaire.

Qu’est‑ce qui empêche un grand cycle compliqué ?

Hors du palier, on ne peut pas boucler : soit on monte tout le temps (zone C), soit on descend jusqu’au palier (zone A). Sur le palier, la moyenne des « \(\kappa\) » imposée par la géométrie binaire est trop grande pour un retour exact. La seule combinaison qui ferme exactement est le cycle universel.

Quel rapport avec la Collatz classique ?

Sur \(S_m\), \(F_m\) est Collatz (appliquée à \(y=x/2^{m-1}\)). Le cycle universel \(\{2^{m-1},2^m,2^{m+1}\}\) est l’image de \(\{1,2,4\}\).

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E. Annexes techniques

E.1 — Décomposition générale et invariance de \(\nu_2\) en zone C

Écris \(x=2^t y\) avec \(y\) impair. Alors \[ 3x+2^{m-1}=2^t\,\big(3y+2^{m-1-t}\big)=2^t\,\big(2y+(y+2^{m-1-t})\big). \] Si \(t\le m-2\), alors \(m-1-t\ge1\) et \(y+2^{m-1-t}\) est impair ; d’où \(\nu_2(3x+2^{m-1})=t\). En unités \(U_m\), \[ \Delta_m=\frac{3x+2^{m-1}-x}{2^{m-1}}=2^{t-m+2}y+1\ge 1+2^{2-m}. \]

E.2 — Formule « bloc impair » sur le palier

Sur \(S_m\), \(x=2^{m-1}y\) ; si \(y\) est impair et \(\kappa=\nu_2(3y+1)\), alors \[ F_m^{\text{bloc}}(x)=\frac{3x+2^{m-1}}{2^{\kappa}}=\frac{3}{2^{\kappa}}x+\frac{1}{2^{\kappa}}U_m. \] La partie multiplicative force la contrainte moyenne \(\bar\kappa=\log_2 3\) pour un cycle ; l’additif est strictement positif et doit être compensé simultanément.

E.3 — Cas particuliers

• Semi‑entiers (m=1). En posant \(w=2x\), la règle « entier ⇒ ÷2, sinon 3x+1 » se conjugue globalement avec la Collatz classique.
• Variante +2 (m=2). Bassin \(S_2=2\mathbb Z\) et cycle \((2,8,4)\).
• Variante +4 (m=3). Bassin \(S_3=4\mathbb Z\) et cycle \((4,16,8)\).

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F. Mode d’emploi (papier‑crayon, sans code)

1. Choisir m (donc \(U_m=2^{m-1}\)).
2. Classer un x par valuation \(t=\nu_2(x)\) :
   • si \(t\le m-2\) → zone C : incrément \(\Delta_m\ge 1+2^{2-m}\), on diverge ;
   • si \(t\ge m\) → zone A : divisions jusqu’à \(S_m\) ;
   • si \(t=m-1\) → sur \(S_m\) : passer à \(y=x/U_m\) et raisonner en « blocs \(\kappa\) ».
3. Sur \(S_m\) : pour tout tour hypothétique, vérifier \(\prod (3/2^{\kappa})=1\) et \(\sum U_m/2^{\kappa}\) = 0 (impossible sauf cycle universel).

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G. Remplissage structurel des colonnes (zéro trajectoire, zéro proba)

On fige l’échelle universelle U_m=2^m−1 et on construit le tableau compressé par
X_r,n = U_m · L_r,n, avec L_r,n = ((3r+1)·4ⁿ−1)/3, r ∈ {1,3,7} (mod 8), n ≥ 0.
On observe le tableau à la résolution binaire M_s := 2^m+s (s ≥ 0). Toute la variabilité en r provient du terme U_m·4ⁿ·r ; le terme constant U_m·(4ⁿ−1)/3 ne dépend pas de r.

G.1 — Loi stricte « 3 → 2 → 1 » par colonne

Les trois fratries r≡1,3,7 (mod 8) diffèrent par 2, 4, 6 (valuations 2-adiques 1, 2, 1). Les différences entre deux cellules d’une même colonne valent
Δ = U_m·4ⁿ·(r_i−r_j) = 2^m+2n−1·(r_i−r_j).
Elles sont nulles modulo M_s=2^m+s dès que leur valuation atteint m+s. En examinant les trois paires (1,3), (1,7), (3,7), on obtient la loi déterministe suivante :

G.2 — Exemples compacts (m=2, variante « +2 »)

Ici U₂=2. Pour quelques résolutions M_s=2^2+s, on obtient :

Résolution Ms	Param. s	Col. n=0	Col. n=1	Col. n=2	Col. n≥3
8	s=1	2	1	1	1
16	s=2	3	1	1	1
32	s=3	3	2	1	1

Lecture : à M=32, on a bien « 3 classes en 1^re colonne, 2 classes en 2^e, puis 1 ensuite ».

G.3 — Classe unique et « glissement » de colonne

Quand s ≤ 2n, on a une classe unique donnée par X_r,n ≡ U_m·(4ⁿ−1)/3 (mod M_s), indépendante de r. Le passage n→n+1 effectue x↦4x+U_m, qui déplace cette classe unique d’une colonne (au sens des colonnes C_k=⌊κ/2⌋). Ce déplacement est lui‑même déterministe à résolution fixée.

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H. Superposer les familles (+1, +2, +4, +8, …) : même résolution, mêmes gestes

Idée « papier calque ». Pour m=1,2,3,4 (familles « +1, +2, +4, +8 »), posons U_m=2^m−1 et le tableau X^(m)_r,n=U_m·L_r,n. Si l’on « empile » ces tableaux et qu’on trace au crayon la résolution d’une cellule (r,n), alors :

• les valeurs numériques sont différentes (multipliées par U_m),
• mais les valeurs universelles (colonnes C_k, séquence des κ, positions résiduelles modulo M_s) sont identiques pour tous les m.

H.1 — Petite démo (m=1,2,3) sur une même cellule (r,n)=(3,1)

On prend L_3,1=4·3+1=13. Alors κ=ν₂(3·13+1)=ν₂(40)=3. La mise à jour « bloc » est
x ↦ (3x+U_m)/2³ = (3/8)·x + (1/8)·U_m.
Pour m=1,2,3, on obtient des valeurs différentes (U₁=1, U₂=2, U₃=4), mais la colonne suivante et la suite des κ sont identiques : c’est le même geste de résolution « au crayon », simultanément correct pour toutes les familles.

H.2 — Recette « papier calque »

1. Empiler les tableaux X^(m)_r,n=U_m·L_r,n pour m∈{1,2,3,4}.
2. Choisir une cellule (r,n) et la résoudre par blocs : déterminer κ=ν₂(3y+1), puis appliquer x↦(3x+U_m)/2^κ.
3. À chaque étape, reporter le même κ dans chaque calque m : la colonne visitée et la position résiduelle modulo M_s coïncident automatiquement.

On a ainsi une résolution universelle (indépendante des valeurs), valable pour toutes les variantes « +1, +2, +4, +8, … ».

Fin du document.

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I. Tableau de synthèse : effondrement 3→2→1 par colonne (règle stricte)

Rappel. À résolution binaire fixée M_s=2^m+s, pour la colonne n on a exactement
3 classes si s ≥ 2n+2 ; 2 classes si s = 2n+1 ; 1 classe si s ≤ 2n. Le tableau ci‑dessous donne les comptages pour n=0…5 et s=1…8 (indépendant de m).

s	n=0	n=1	n=2	n=3	n=4	n=5
1	2	1	1	1	1	1
2	3	1	1	1	1	1
3	3	2	1	1	1	1
4	3	3	1	1	1	1
5	3	3	2	1	1	1
6	3	3	3	1	1	1
7	3	3	3	2	1	1
8	3	3	3	3	1	1

Lecture rapide. Pour la « barrière » usuelle 64·U_m (s=6), la classe unique apparaît dès n≥3. Pour 128·U_m (s=7), elle apparaît dès n≥4, etc.

I.1 — Résidus de la classe unique (exemples fermes)

Résolution	Seuil d’unicité	Résidu unique (colonne minimale)	Formule générale
64·Um (s=6)	n ≥ 3	21·Um (mod 64·Um)	Xr,n ≡ Um·(4n−1)/3 = 21·Um (mod 64·Um) pour n≥3
128·Um (s=7)	n ≥ 4	85·Um (mod 128·Um)	Xr,n ≡ Um·(4n−1)/3 = 85·Um (mod 128·Um) pour n≥4

(On peut dériver de même pour 32·U_m (s=5), 256·U_m (s=8), etc. Le résidu se stabilise dès qu’on dépasse le seuil d’unicité.)

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K. Tableau concret (encodage B|u) et conversions en distances universelles

Encodage « bloc | unité ». Pour un impair \(y\), on écrit \(y\equiv\{1,3,5,7\}\pmod 8\) ; on pose l’unité u par 1→1, 2→3, 3→5, 4→7, et le bloc B=\(\lceil\frac{y}{8}\rceil\). Les racines minimales sont \(u\in\{1,2,4\}\) (i.e. \(y\equiv1,3,7\pmod8\)). Le tableau compressé d’une racine minimale B|u vers la colonne \(C_n\) (\(n\ge1\)) est donné par

\[ L_{r,n}=\frac{(3r+1)4^n-1}{3},\quad r=8(B-1)+\mathrm{res}(u),\ \ \mathrm{res}(1)=1,\ \mathrm{res}(2)=3,\ \mathrm{res}(4)=7. \]

Fait structurel : pour tout \(n\ge1\), \(L_{r,n}\equiv5\pmod8\) ⇒ l’unité affichée en colonne \(C_n\) est toujours 3.

K.1 — Extrait de tableau (blocs 1→5, colonnes C1..C6)

RacineMinima	C1	C2	C3	C4	C5	C6
1|1	1|3	3|3	11|3	43|3	171|3	683|3
1|2	2|3	7|3	27|3	107|3	427|3	1707|3
1|4	4|3	15|3	59|3	235|3	939|3	3755|3
2|1	5|3	19|3	75|3	299|3	1195|3	4779|3
2|2	6|3	23|3	91|3	363|3	1451|3	5803|3
2|4	8|3	31|3	123|3	491|3	1963|3	7851|3
3|1	9|3	35|3	139|3	555|3	2211|3	8851|3
3|2	10|3	39|3	155|3	619|3	2475|3	9907|3
3|4	12|3	47|3	187|3	747|3	2987|3	11947|3
4|1	13|3	51|3	203|3	811|3	3243|3	12971|3
4|2	14|3	55|3	219|3	875|3	3507|3	14035|3
4|4	16|3	63|3	251|3	1003|3	4027|3	16123|3
5|1	17|3	67|3	267|3	1067|3	4275|3	17107|3
5|2	18|3	71|3	283|3	1131|3	4539|3	18171|3
5|4	20|3	79|3	315|3	1259|3	5067|3	20259|3

Note. Dans la copie manuscrite initiale, la cellule 1|1 @ C5 avait été notée 107|3 ; la valeur correcte est 171|3. La cellule 107|3 apparaît bien, mais sur la ligne 1|2 à C4.

Lien	RacineMinima	C1	C2	C3	C4	C5	C6
1 (1|1)	1|1	1|3	3|3	11|3	43|3	171|3	683|3
5 (1|3)	1|2	2|3	7|3	27|3	107|3	427|3	1707|3
11 (2|2)	1|4	4|3	15|3	59|3	235|3	939|3	3755|3
7 (1|4)	2|1	5|3	19|3	75|3	299|3	1195|3	4779|3
17 (3|1)	2|2	6|3	23|3	91|3	363|3	1451|3	5803|3
23 (3|4)	2|4	8|3	31|3	123|3	491|3	1963|3	7851|3
13 (2|3)	3|1	9|3	35|3	139|3	555|3	2211|3	8851|3
29 (4|3)	3|2	10|3	39|3	155|3	619|3	2475|3	9907|3
35 (5|2)	3|4	12|3	47|3	187|3	747|3	2987|3	11947|3
19 (3|2)	4|1	13|3	51|3	203|3	811|3	3243|3	12971|3
41 (6|1)	4|2	14|3	55|3	219|3	875|3	3507|3	14035|3
47 (6|4)	4|4	16|3	63|3	251|3	1003|3	4027|3	16123|3
25 (4|1)	5|1	17|3	67|3	267|3	1067|3	4275|3	17107|3
53 (7|3)	5|2	18|3	71|3	283|3	1131|3	4539|3	18171|3
59 (8|2)	5|4	20|3	79|3	315|3	1259|3	5067|3	20259|3

Check. 1|2 → r=3 ⇒ Lien=oddify(10)=5 ⇒ 5≡5(mod 8)→(1|3). 1|4 → r=7 ⇒ Lien=oddify(22)=11 ⇒ (2|2). 2|1 → r=9 ⇒ Lien=oddify(28)=7 ⇒ (1|4).

Note. Dans la copie manuscrite initiale, la cellule 1|1 @ C5 avait été notée 107|3 ; la valeur correcte est 171|3. La cellule 107|3 apparaît bien, mais sur la ligne 1|2 à C4.

K.2 — Conversion « B|u » ↔ valeurs et distances universelles

• Depuis B|u vers la valeur compressée : \(r=8(B-1)+\mathrm{res}(u)\), puis \(y_{n}=L_{r,n}\). À l’échelle \(F_m\), \(x^{(m)}_{n}=U_m\,y_{n}\) avec \(U_m=2^{m-1}\).
• Depuis une valeur vers B|u : \(u\) est déterminé par \(y\bmod8\in\{1,3,5,7\}\), et \(B=\lceil\frac{y}{8}\rceil\).
• Distance horizontale (colonnes) : l’indice de colonne est \(n\). Le saut \(C_n\to C_{n+1}\) réalise \[ \Delta x=U_m\,4^n(3r+1)\quad(\text{exact, en unités universelles}). \] En « distance de colonne », c’est simplement +1 dans \(n\).
• Distance verticale (lignes, minimal-only) : indexez les racines minimales par \(J(B,u)=3(B-1)+\iota(u)\) avec \(\iota(1)=1,\ \iota(2)=2,\ \iota(4)=3\). Alors \[ d_{\text{lignes}}\big((B,u),(B’,u’)\big)=|J(B,u)-J(B’,u’)|. \] La distance métrique correspondante vaut \[ |x-x’|=U_m\,\big|\,8(B’-B)+\mathrm{res}(u’)-\mathrm{res}(u)\,\big|. \]

L. Lien r ↔ racine minimale B|u : coalescences « 2→1 » (preuve 2-adique)

Encodage. Toute racine minimale s’écrit \(r=8(B-1)+\mathrm{res}(u)\) avec u∈{1,2,4} et \(\mathrm{res}(1)=1,\ \mathrm{res}(2)=3,\ \mathrm{res}(4)=7\). Le « lien » suivant dans la dynamique compressée est \(T(r)=\frac{3r+1}{2^{\nu_2(3r+1)}}\) (accélérée Collatz).

Valuations clés. Pour \(r\equiv1,3,7\pmod 8\) on a \(\nu_2(3r+1)=2,1,1\) respectivement. Autrement dit : les classes u=2 (résidu 3) et u=4 (résidu 7) divisent par 2 (même puissance 1), alors que u=1 (résidu 1) divise par 4.

L.1 — Règles exactes \( (B,u)\mapsto(B’,u’) \)

Écrivons \(r=8(B-1)+\mathrm{res}(u)\) et \(r’=T(r)\). Alors :

• Branche u=2 (r≡3 mod 8, k=1) :
  Si \(B\) est pair : \(B’= \frac{3B}{2}\) et \(u’=1\).
  Si \(B\) est impair : \(B’= \frac{3B-1}{2}\) et \(u’=3\) (résidu 5, non-minimal).
• Branche u=4 (r≡7 mod 8, k=1) :
  Si \(B\) est pair : \(B’= \frac{3B}{2}\) et \(u’=4\).
  Si \(B\) est impair : \(B’= \frac{3B+1}{2}\) et \(u’=2\).
• Branche u=1 (r≡1 mod 8, k=2) :
  \(r’=\frac{3r+1}{4}=6B-5\). (Pas de coalescence avec un autre u dans le paquet de 4.)

L.2 — Exemple chiffré (variante « +4 », m=3)

On illustre avec \(U_3=4\) (mais les équations se font sur \(r\), donc sans dépendre de \(m\)).

Départ (B|u)	r	k=ν₂(3r+1)	r’ = (3r+1)/2^k	Arrivée (B’|u’)	Règle K.1
2|2	11	1	17	3|1	B pair → \(3B/2,\,u’=1\)
2|4	15	1	23	3|4	B pair → \(3B/2,\,u’=4\)
3|2	19	1	29	4|3	B impair → \((3B-1)/2,\,u’=3\)
3|4	23	1	35	5|2	B impair → \((3B+1)/2,\,u’=2\)
4|2	27	1	41	6|1	B pair → \(3B/2,\,u’=1\)
4|4	31	1	47	6|4	B pair → \(3B/2,\,u’=4\)

Lecture. Pour B pair (ici 2 et 4), les deux unités u=2 et u=4 coalescent vers le même bloc \(B’=\frac{3B}{2}\). Pour B impair (ici 3), elles tombent sur deux blocs adjacents \(B’=\frac{3B-1}{2}\) et \(B’=\frac{3B+1}{2}\).

L.3 — Esquisse de preuve (cas u=2 et u=4)

u=2. Poser \(r=8(B-1)+3=8B-5\). Alors \(r’=\frac{3r+1}{2}=12B-7\). Réduction mod 8 : \(r’\equiv 4B-7\pmod 8\), donc \(u’=1\) si \(B\) est pair, \(u’=3\) si \(B\) est impair. L’écriture \(r’=8(B’-1)+\mathrm{res}(u’)\) donne \(B’=\frac{3B}{2}\) (B pair) et \(B’=\frac{3B-1}{2}\) (B impair).

u=4. Poser \(r=8(B-1)+7=8B-1\). Alors \(r’=\frac{3r+1}{2}=12B-1\). Réduction mod 8 : \(r’\equiv 4B-1\pmod 8\), donc \(u’=4\) si \(B\) est pair, \(u’=2\) si \(B\) est impair. On obtient \(B’=\frac{3B}{2}\) (B pair) et \(B’=\frac{3B+1}{2}\) (B impair).