Collatz – Variante mod basée sur structure compressé

1) Version compressée « impairs » : deux blocs canoniques

Restreinte aux impairs, la dynamique se résume en deux transformations affines :

• Bloc 1-pas (descente forte) : si $latex y\equiv1\ (\mathrm{mod}\ 4)$, $latex \quad y\mapsto \frac{y-1}{4}$.
• Bloc 3-pas (montée modérée) : si $latex y\equiv3\ (\mathrm{mod}\ 4)$, $latex \ y\ \xrightarrow{3y-1}\ \text{pair}\ \xrightarrow{3x+1}\ 9y-2\ (\equiv1\bmod4)\ \xrightarrow{(x-1)/4}\ \frac{9y-3}{4}$.

Ces deux blocs suffisent à décrire toutes les transitions impaires. En particulier, le bloc « 3-pas » envoie toujours un impair $latex 3\ (\mathrm{mod}\ 4)$ vers un impair, et sa forme affine est $latex \frac{9}{4}y-\frac{3}{4}$.

2) Paramètre « distance » $latex D$ et ossature racine ↔ lien

Comme dans le compressé Collatz classique, toute paire « racine ↔ lien » se code par une distance $latex D\in\mathbb N$ :

La « division minimale par 4 » associée à la racine + est exactement $latex \mathrm{minodiv4}=D$.

3) Tableau distances (extrait $latex D=1\ldots16$)

On affiche, pour chaque $latex D$, la quintuple $(r_-,Y_-,\mathrm{med},Y_+,r_+)$ et les résidus caractéristiques.

Remarque : $latex r_+$ est toujours $latex \equiv1\ (\mathrm{mod}\ 4)$, d’où le « raccourci » $latex D=\frac{r_+-1}{4}$ pour lire la distance directement.

4) Colonnes compressées et diagonales (géométrie partagée)

La géométrie est celle du compressé Collatz : $latex \displaystyle L_{r,n}=\frac{(3r+1)4^n-1}{3}$ pour $latex n\ge1$. Elle ne dépend que de $latex r$ et du facteur $latex 4^n$ (même « fratries », mêmes diagonales NE/SE). La différence avec Collatz tient uniquement à la valeur fixée de la division par 2 : ici, dès que l’on atteint $latex \equiv1\ (\mathrm{mod}\ 4)$ on divise par 4 (au lieu de diviser par $latex 2^{v_2(3y+1)}$ variable).

Lecture diagonale (schéma standard) : pour un pivot $latex r$, la diagonale NE d’ordre $latex d$ s’écrit $latex D_d(j)=4^d r_{j+d}+\frac{4^d-1}{3}$, et les liens restent $latex \equiv1\ \text{ou}\ 2\ (\mathrm{mod}\ 3)$ comme dans le tableau classique.

Ton tri « par premier $latex 0\ (\mathrm{mod}\ 3)$ » se transpose sans changement.

5) Exemples de trajectoires (complet et compressé)

Depuis 17 : $latex 17\equiv1\ (\mathrm{mod}\ 4)$, donc bloc 1-pas : $latex 17\mapsto \frac{16}{4}=4$ (pair) $latex \mapsto 13\ (\equiv1\bmod4)\mapsto 3\ (\equiv3\bmod4)$, puis bloc 3-pas, etc. Évolution impairs (compressé) :

17 → 13 → 3 → 25 → 19 → 127 → 285 → 71 → 159 → 89 → ...

Depuis 19 : $latex 19\equiv3\ (\mathrm{mod}\ 4)$ donc bloc 3-pas $latex \big(19\mapsto \frac{9\cdot19-3}{4}=42\big)$, puis alternance de 1-pas et 3-pas selon $latex \ (\mathrm{mod}\ 4)$. Blocs compressés :

19 --(3-pas)→ 42 --(1-pas)→ 10 --(pair…)→ 127 --(3-pas)→ 285 --(1-pas)→ 71 --(1-pas)→ 17 ...

6) Résidus clés et « lectures rapides »

• $latex r_-\equiv3,7\ (\mathrm{mod}\ 8)$ en alternance selon la parité de $latex D$.
• $latex Y_-\equiv2\ (\mathrm{mod}\ 3)$, $latex \mathrm{med}\equiv0\ (\mathrm{mod}\ 3)$, $latex Y_+\equiv1\ (\mathrm{mod}\ 3)$.
• $latex r_+\equiv1\ (\mathrm{mod}\ 4)$, donc $latex D=\frac{r_+-1}{4}$ immédiatement.

Mnémo distance : $latex D=\frac{r_-+1}{2}=\frac{Y_-+1}{3}=\frac{\mathrm{med}}{3}=\frac{Y_+-1}{3}=\frac{r_+-1}{4}$.

7) Heuristique « énergétique »

Sur les impairs, le bloc 1-pas applique $latex y\mapsto \frac{y}{4}-\frac14$ (contraction forte), le bloc 3-pas applique $latex y\mapsto \frac{9}{4}y-\frac34$ (dilatation modérée). Si la fréquence des états $latex \equiv1\ (\mathrm{mod}\ 4)$ n’est pas trop faible, la dynamique montre une tendance à la baisse (contrainte non-probante mais informative). Cette lecture s’aligne avec l’intuition « cône/barrière » du compressé classique.

8) Contraintes algébriques sur d’éventuels cycles

Notons $latex s$ le nombre de blocs 1-pas et $latex t$ le nombre de blocs 3-pas sur un tour de cycle impairs. La composition est une affine $latex y\mapsto Ay+B$ avec $latex \displaystyle A=\frac{9^t}{4^{\,s+t}}$ (et $latex B$ combinaison entière des constantes $latex -\frac14$ et $latex -\frac34$ transportées par les facteurs $latex \frac14$ et $latex \frac94$).

La condition de cycle $latex y=Ay+B$ impose $latex \displaystyle y=\frac{B}{1-A}=\frac{B\cdot 4^{\,s+t}}{\,4^{\,s+t}-9^{\,t}\,}$. Ainsi le dénominateur $latex 4^{\,s+t}-9^{\,t}$ doit diviser $latex B\cdot 4^{\,s+t}$, avec en plus les contraintes de résidus (retomber sur les bonnes classes $latex \bmod 4$ et $latex \bmod 3$ aux positions adéquates).

Conséquence : sauf choix très particuliers de $latex (s,t)$, on a $latex A<1$ et un dénominateur grand $latex \Rightarrow$ l’intégralité et les congruences deviennent fortement restrictives. Cette stratégie « compte des blocs & affine globale » est l’analogue direct de la méthode classique dans l’ossature Collatz, mais ici les valuations 2-adiques étant figées, elle est souvent plus lisible.

9) Lien et différences avec Collatz compressé

• Ossature identique : colonnes $latex L_{r,n}$, fratries, diagonales, paires racine↔lien et distance $latex D$ coïncident.
• Différence clé : au lieu de $latex v_2(3y+1)$ variable (classique), on a ici une division fixée par 4 chaque fois que l’on revient en $latex 1\ (\mathrm{mod}\ 4)$. Les raisonnements « par distance » et « par cône/barrière » se transportent donc au cordeau.
• Lecture rapide : grâce à $latex r_+=4D+1$, on lit $latex D$ immédiatement via $latex D=\frac{r_+-1}{4}$, comme dans ton tableau « raccourci ».

Annexe : générateur de la table des distances

def ligne_D(D:int):
    r_m = 2*D - 1
    Y_m = 3*D - 1
    med = 3*D
    Y_p = 3*D + 1
    r_p = 4*D + 1
    return (D, r_m, Y_m, med, Y_p, r_p)

for D in range(1, 21):
    print(ligne_D(D))

1) Version compressée « impairs » : deux blocs

• Bloc 1-pas (descente) : si $latex y\equiv1\ (\mathrm{mod}\ 4)$, $latex \ y\mapsto \frac{y-1}{4}$.
• Bloc 3-pas (montée modérée) : si $latex y\equiv3\ (\mathrm{mod}\ 4)$, $latex y\ \xrightarrow{3y-1}\ \text{pair}\ \xrightarrow{3x+1}\ 9y-2\ (\equiv1\bmod4)\ \xrightarrow{(x-1)/4}\ \frac{9y-3}{4}$.

2) Paramètre distance $latex D$ et ossature racine ↔ lien

3) Distances et divisions cachées : $latex j=\nu_2(3D+1)$

Pour chaque $latex D$, on affiche la quintuple $(r_-,Y_-,\mathrm{med},Y_+,r_+)$ et le nombre de « $latex \div2$ supplémentaires » côté classique : $latex j=\nu_2(3D+1)$ (ainsi $latex \nu_2(3r_+{+}1)=2+j$).

4) Colonnes compressées et diagonales (géométrie partagée)

La géométrie est celle du compressé Collatz : $latex \displaystyle L_{r,n}=\frac{(3r+1)4^n-1}{3}$ pour $latex n\ge1$. Elle dépend de $latex r$ et du facteur $latex 4^n$ (mêmes « fratries », mêmes diagonales NE/SE). La différence avec Collatz tient uniquement à la valeur fixée de la division par 2 : dès que l’on atteint $latex \equiv1\ (\mathrm{mod}\ 4)$ on divise par 4 (au lieu de $latex \div 2^{\nu_2(3y+1)}$ variable).

5) Exemples de trajectoires (complet & compressé)

Depuis 17 : impairs visités (compressé) 17 → 13 → 3 → 25 → 19 → 127 → 285 → 71 → 159 → 89 → …

Depuis 19 : premiers blocs 19 --(3-pas)→ 42 --(1-pas)→ 10 --(pair…)→ 127 --(3-pas)→ 285 --(1-pas)→ 71 …

6) Contraintes algébriques sur d’éventuels cycles

Si un tour de cycle impairs comporte $latex s$ blocs 1-pas et $latex t$ blocs 3-pas, la composition vaut $latex \ y\mapsto Ay+B$ avec $latex \ A=\frac{9^t}{4^{\,s+t}}$. La condition $latex y=Ay+B$ force $latex \ y=\dfrac{B}{1-A}=\dfrac{B\cdot 4^{\,s+t}}{\,4^{\,s+t}-9^{\,t}\,}$, à concilier avec l’intégralité et les congruences (mod 3, mod 4) — fortes restrictions, d’autant que les valuations 2-adiques sont ici figées.

Annexe : générer la table

def ligne_D(D:int):
    r_m = 2*D - 1
    Y_m = 3*D - 1
    med = 3*D
    Y_p = 3*D + 1
    r_p = 4*D + 1
    j   = (Y_p & -Y_p).bit_length() - 1  # v2(3D+1)
    return (D, r_m, Y_m, med, Y_p, r_p, j, 2 + j)

for D in range(1, 21):
    print(ligne_D(D))