Collatz – Preuve variante 2x-1 mod basée sur structure compressé

1) Ossature Collatz conservée  —  racine, lien, distance

Colonnes compressées comme en Collatz : $latex L_{r,n}=\frac{(3r+1)4^n-1}{3}$ (n≥1). Chaque paire « racine ↔ lien » se code par une distance $latex D\in\mathbb N$ :

• $latex r_-=2D-1,\quad Y_-=3D-1,\quad \mathrm{med}=3D,\quad Y_+=3D+1,\quad r_+=4D+1$.
• Lectures rapides : $latex D=\frac{r_-+1}{2}=\frac{Y_-+1}{3}=\frac{\mathrm{med}}{3}=\frac{Y_+-1}{3}=\frac{r_+-1}{4}$.
• $latex r_+\equiv1\ (\mathrm{mod}\ 4)$ (raccourci immédiat vers $latex D$).

5) Pont vers Collatz (projection segments r+ → r+)

En Collatz impairs accéléré $latex T(y)=\frac{3y+1}{2^{\,k}}$ avec $latex k=\nu_2(3y+1)$. Au départ d’un $latex r_+=4D+1$, on a $latex k\ge 2$ donc au moins une « $latex \div 4$ » nette. En échantillonnant seulement les retours sur $latex r_+$, on associe une suite $latex (D_t)$ telle que la variation $latex \Delta D=D_{t+1}-D_t\le -1$ (souvent $\le -1-j$ avec $latex j=\nu_2(3D+1)$ du premier pas). Par le lemme $latex R_+$, tout cycle impair se décompose en ces segments : la somme des $latex \Delta D$ sur un tour est donc strictement négative.

6) Outil pratique : super-graphe r+ avec poids $latex \Delta D$

• Super-nœuds : états $latex r_+$ (classes $latex \alpha\equiv1\ (\mathrm{mod}\ 4)$).
• Super-arêtes : « $latex r_+\to$ prochain $latex r_+$ » le long de l’orbite.
• Poids : $latex \Delta D\le -1$ (bonus $latex \Delta D=-1-(\nu_2(3D+1)-2)$ si on lit $latex k$ au premier pas).
• Certificat min–mean : sur ce graphe, toute CFC a moyenne $latex <0$ ⇒ pas de cycle (plus court, plus lisible que « $latex \mu_{\min}>\log_2 3$ »).

7) Ce qui manque encore pour une preuve complète de Collatz

• Uniformiser la négativité $latex \Delta D<0$ sur tous les segments $latex r_+\to r_+$ (pas seulement « souvent »).
• Deux voies concrètes :
  • Barrière MCC : couverture inverse vers un sous-ensemble $latex B\subset\{\alpha\equiv1\ (\mathrm{mod}\ 4)\}$ revu par toute CFC.
  • Potentiel complémentaire (sur les pas hors $latex r_+$) pour rendre toute boucle négative, même si un segment $latex r_+\to r_+$ était limite.

1) La règle et l’ossature Collatz

Règle étudiée (entiers ≥ 0) : $latex f(x)=\begin{cases}\frac{x-1}{4},& x\equiv 1\ (\mathrm{mod}\ 4),\\[4pt]2x-1,& \text{sinon.}\end{cases}$

On garde la géométrie compressée de Collatz : $latex L_{r,n}=\frac{(3r+1)4^n-1}{3}$ (n≥1). Chaque paire « racine ↔ lien » se code par une distance $latex D\in\mathbb N$ :

• $latex r_-=2D-1,\qquad Y_-=3D-1,\qquad \mathrm{med}=3D,$
• $latex Y_+=3D+1,\qquad r_+=4D+1\ (\equiv1\ \mathrm{mod}\ 4)$,
• Lectures rapides : $latex D=\frac{r_-+1}{2}=\frac{Y_-+1}{3}=\frac{\mathrm{med}}{3}=\frac{Y_+-1}{3}=\frac{r_+-1}{4}$.

5) Contraction $latex r_+\to r_+$ et poids $latex \Delta D$

On construit un super-graphe : nœuds = états $latex r_+$, arêtes = « $latex r_+\to$ prochain $latex r_+$ ». On étiquette chaque arête par $latex \Delta D = D_{\text{arrivée}} – D_{\text{départ}}$. Au minimum $latex \Delta D\le -1$ ; en version « bonus », on prend le $latex k_0=\nu_2(3r_+ + 1)$ du premier pas, et $latex \Delta D = -1 – \max(0,k_0-2)=1-k_0$.

Idée-preuve : par le lemme $latex R_+$, tout cycle impair se découpe en segments $latex r_+\to r_+$. Si la somme des $latex \Delta D$ sur le tour est strictement négative, pas de cycle.

6) Reproductibilité : pipeline b = 7

# 1) Export du graphe U_fin cohérent (odd-only prêt à filtrer)
python export_edges_coherent2.py `
  --b 7 `
  --kmax 12 `
  --out-prefix out\ufin_b7_coh `
  --U 128 `
  --annotate-j

# 2) Filtrer en odd-only (et nettoyer les isolés)
python filter_edges_by_k.py `
  --edges  out\ufin_b7_coh_edges.csv `
  --states out\ufin_b7_coh_states.csv `
  --out    out\ufin_b7_odd_edges.csv `
  --parity odd `
  --drop_isolated

# 3) Contraction r+→r+ avec ΔD (mode bonus)
python export_rplus_deltaD_superedges.py `
  --edges  out\ufin_b7_odd_edges.csv `
  --states out\ufin_b7_odd_edges.csv.states.csv `
  --out    out\ufin_b7_rplus_deltaD_bonus.csv `
  --mode   bonus `
  --id-col state_id `
  --alpha-col alpha64

# 4) Adapter les colonnes pour Karp (src,dst,k)
Import-Csv out\ufin_b7_rplus_deltaD_bonus.csv |
  Select-Object @{n='src';e={$_.src_rplus}}, @{n='dst';e={$_.dst_rplus}}, @{n='k';e={$_.deltaD}} |
  Export-Csv out\ufin_b7_rplus_deltaD_bonus.karp.csv -NoTypeInformation -Encoding UTF8

# 5) Karp / SCC sur le super-graphe ΔD
python karp_minmean_from_edges.py --edges out\ufin_b7_rplus_deltaD_bonus.karp.csv
python scc_stats.py --edges out\ufin_b7_rplus_deltaD_bonus.karp.csv --top 10

8) Comparaison avec les certificats « k » classiques

Sur le graphe odd-only b=7, Karp renvoie un cycle de moyenne $latex \bar{k}=5$ (cycle [3,3,9]) : la marge vs $latex \log_2 3$ est $latex 5-\log_2 3\approx +3.415$. Côté $latex \Delta D$, on obtient plus fort : aucun cycle du tout après contraction $latex r_+\to r_+$ (DAG). Les deux vues sont cohérentes et se renforcent ; la vue $latex \Delta D$ est plus simple et plus robuste (poids entiers, indépendants de b).

9) FAQ & pièges courants

• Colonnes CSV pour Karp : il attend src,dst,k. Renomme src_rplus,dst_rplus,deltaD en une ligne PowerShell (voir §6.4).
• Out-prefix : export_edges_coherent2.py utilise --out-prefix (pas --out-edges/--out-states).
• Overrides colonnes : pour la contraction, le script accepte --id-col state_id et --alpha-col alpha64.
• Mode « safe » : si tu mets --mode safe, toutes les arêtes ont $latex \Delta D=-1$ (certificat minimal) ; le graphe reste un DAG.

10) Et après ?

• Monter b : répéter le pipeline pour b=8,9… et documenter que le DAG (ou à défaut la moyenne $latex \Delta D<0$) persiste.
• Variante universelle : remplacer $latex r_+=4D+1$ par $latex r_+^{(m)}=2^m D+1$ ; le même schéma donne $latex \Delta D_m\le -1$ (bonus via $latex \nu_2(3D+1)-m$).
• Publication : présenter côte-à-côte la marge « k » (vs $latex \log_2 3$) et la vue $latex \Delta D$ (DAG) ; c’est pédagogique et convaincant.