Collatz – Preuve variante 2x-1 mod basée sur structure compressé

1) Ossature Collatz conservée  —  racine, lien, distance

Colonnes compressées comme en Collatz : \(L_{r,n}=\frac{(3r+1)4^n-1}{3}\) (n≥1). Chaque paire « racine ↔ lien » se code par une distance \(D\in\mathbb N\) :

• \(r_-=2D-1,\quad Y_-=3D-1,\quad \mathrm{med}=3D,\quad Y_+=3D+1,\quad r_+=4D+1\).
• Lectures rapides : \(D=\frac{r_-+1}{2}=\frac{Y_-+1}{3}=\frac{\mathrm{med}}{3}=\frac{Y_+-1}{3}=\frac{r_+-1}{4}\).
• \(r_+\equiv1\ (\mathrm{mod}\ 4)\) (raccourci immédiat vers \(D\)).

5) Pont vers Collatz (projection segments r+ → r+)

En Collatz impairs accéléré \(T(y)=\frac{3y+1}{2^{\,k}}\) avec \(k=\nu_2(3y+1)\). Au départ d’un \(r_+=4D+1\), on a \(k\ge 2\) donc au moins une « \(\div 4\) » nette. En échantillonnant seulement les retours sur \(r_+\), on associe une suite \((D_t)\) telle que la variation \(\Delta D=D_{t+1}-D_t\le -1\) (souvent $\le -1-j$ avec \(j=\nu_2(3D+1)\) du premier pas). Par le lemme \(R_+\), tout cycle impair se décompose en ces segments : la somme des \(\Delta D\) sur un tour est donc strictement négative.

6) Outil pratique : super-graphe r+ avec poids \(\Delta D\)

• Super-nœuds : états \(r_+\) (classes \(\alpha\equiv1\ (\mathrm{mod}\ 4)\)).
• Super-arêtes : « \(r_+\to\) prochain \(r_+\) » le long de l’orbite.
• Poids : \(\Delta D\le -1\) (bonus \(\Delta D=-1-(\nu_2(3D+1)-2)\) si on lit \(k\) au premier pas).
• Certificat min–mean : sur ce graphe, toute CFC a moyenne \(<0[/latex] ⇒ pas de cycle (plus court, plus lisible que « [latex]\mu_{\min}>\log_2 3\) »).

7) Ce qui manque encore pour une preuve complète de Collatz

• Uniformiser la négativité \(\Delta D<0[/latex] sur tous les segments [latex]r_+\to r_+\) (pas seulement « souvent »).
• Deux voies concrètes :
  • Barrière MCC : couverture inverse vers un sous-ensemble \(B\subset\{\alpha\equiv1\ (\mathrm{mod}\ 4)\}\) revu par toute CFC.
  • Potentiel complémentaire (sur les pas hors \(r_+\)) pour rendre toute boucle négative, même si un segment \(r_+\to r_+\) était limite.

1) La règle et l’ossature Collatz

Règle étudiée (entiers ≥ 0) : \(f(x)=\begin{cases}\frac{x-1}{4},& x\equiv 1\ (\mathrm{mod}\ 4),\\[4pt]2x-1,& \text{sinon.}\end{cases}\)

On garde la géométrie compressée de Collatz : \(L_{r,n}=\frac{(3r+1)4^n-1}{3}\) (n≥1). Chaque paire « racine ↔ lien » se code par une distance \(D\in\mathbb N\) :

• \(r_-=2D-1,\qquad Y_-=3D-1,\qquad \mathrm{med}=3D,\)
• \(Y_+=3D+1,\qquad r_+=4D+1\ (\equiv1\ \mathrm{mod}\ 4)\),
• Lectures rapides : \(D=\frac{r_-+1}{2}=\frac{Y_-+1}{3}=\frac{\mathrm{med}}{3}=\frac{Y_+-1}{3}=\frac{r_+-1}{4}\).

5) Contraction \(r_+\to r_+\) et poids \(\Delta D\)

On construit un super-graphe : nœuds = états \(r_+\), arêtes = « \(r_+\to\) prochain \(r_+\) ». On étiquette chaque arête par \(\Delta D = D_{\text{arrivée}} – D_{\text{départ}}\). Au minimum \(\Delta D\le -1\) ; en version « bonus », on prend le \(k_0=\nu_2(3r_+ + 1)\) du premier pas, et \(\Delta D = -1 – \max(0,k_0-2)=1-k_0\).

Idée-preuve : par le lemme \(R_+\), tout cycle impair se découpe en segments \(r_+\to r_+\). Si la somme des \(\Delta D\) sur le tour est strictement négative, pas de cycle.

6) Reproductibilité : pipeline b = 7

# 1) Export du graphe U_fin cohérent (odd-only prêt à filtrer)
python export_edges_coherent2.py `
  --b 7 `
  --kmax 12 `
  --out-prefix out\ufin_b7_coh `
  --U 128 `
  --annotate-j

# 2) Filtrer en odd-only (et nettoyer les isolés)
python filter_edges_by_k.py `
  --edges  out\ufin_b7_coh_edges.csv `
  --states out\ufin_b7_coh_states.csv `
  --out    out\ufin_b7_odd_edges.csv `
  --parity odd `
  --drop_isolated

# 3) Contraction r+→r+ avec ΔD (mode bonus)
python export_rplus_deltaD_superedges.py `
  --edges  out\ufin_b7_odd_edges.csv `
  --states out\ufin_b7_odd_edges.csv.states.csv `
  --out    out\ufin_b7_rplus_deltaD_bonus.csv `
  --mode   bonus `
  --id-col state_id `
  --alpha-col alpha64

# 4) Adapter les colonnes pour Karp (src,dst,k)
Import-Csv out\ufin_b7_rplus_deltaD_bonus.csv |
  Select-Object @{n='src';e={$_.src_rplus}}, @{n='dst';e={$_.dst_rplus}}, @{n='k';e={$_.deltaD}} |
  Export-Csv out\ufin_b7_rplus_deltaD_bonus.karp.csv -NoTypeInformation -Encoding UTF8

# 5) Karp / SCC sur le super-graphe ΔD
python karp_minmean_from_edges.py --edges out\ufin_b7_rplus_deltaD_bonus.karp.csv
python scc_stats.py --edges out\ufin_b7_rplus_deltaD_bonus.karp.csv --top 10

8) Comparaison avec les certificats « k » classiques

Sur le graphe odd-only b=7, Karp renvoie un cycle de moyenne \(\bar{k}=5\) (cycle [3,3,9]) : la marge vs \(\log_2 3\) est \(5-\log_2 3\approx +3.415\). Côté \(\Delta D\), on obtient plus fort : aucun cycle du tout après contraction \(r_+\to r_+\) (DAG). Les deux vues sont cohérentes et se renforcent ; la vue \(\Delta D\) est plus simple et plus robuste (poids entiers, indépendants de b).

9) FAQ & pièges courants

• Colonnes CSV pour Karp : il attend src,dst,k. Renomme src_rplus,dst_rplus,deltaD en une ligne PowerShell (voir §6.4).
• Out-prefix : export_edges_coherent2.py utilise --out-prefix (pas --out-edges/--out-states).
• Overrides colonnes : pour la contraction, le script accepte --id-col state_id et --alpha-col alpha64.
• Mode « safe » : si tu mets --mode safe, toutes les arêtes ont \(\Delta D=-1\) (certificat minimal) ; le graphe reste un DAG.

10) Et après ?

• Monter b : répéter le pipeline pour b=8,9… et documenter que le DAG (ou à défaut la moyenne \(\Delta D<0[/latex]) persiste.
• Variante universelle : remplacer [latex]r_+=4D+1\) par \(r_+^{(m)}=2^m D+1\) ; le même schéma donne \(\Delta D_m\le -1\) (bonus via \(\nu_2(3D+1)-m\)).
• Publication : présenter côte-à-côte la marge « k » (vs \(\log_2 3\)) et la vue \(\Delta D\) (DAG) ; c’est pédagogique et convaincant.