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1) Règle et ossature Collatz

Règle étudiée (entiers ≥ 0) : $latex f(x)=\begin{cases}\frac{x-1}{4},& x\equiv 1\pmod 4,\\[4pt] 2x-1,& \text{sinon.}\end{cases}$

On garde la géométrie compressée : $latex L_{r,n}=\frac{(3r+1)4^n-1}{3}$ pour $latex n\ge1$. Chaque paire « racine ↔ lien » se code par une distance $latex D\in\mathbb N$ : $latex \ r_-=2D-1,\ Y_-=3D-1,\ \mathrm{med}=3D,\ Y_+=3D+1,\ r_+=4D+1$. Lectures rapides : $latex D=\frac{r_-+1}{2}=\frac{Y_-+1}{3}=\frac{\mathrm{med}}{3}=\frac{Y_+-1}{3}=\frac{r_+-1}{4}$. On a toujours $latex r_+\equiv1\pmod 4$.

5) Pont vers Collatz : segments r+→r+ et poids $latex \Delta D$

Dans Collatz impaire accéléré, $latex T(y)=\frac{3y+1}{2^{\,k}}$ avec $latex k=\nu_2(3y+1)$. En échantillonnant seulement les retours $latex r_+\to r_+$, on définit $latex \Delta D=D_{\text{arrivée}}-D_{\text{départ}}\le -1$. Version « bonus » : lire $latex k_0=\nu_2(3r_++1)$ au premier pas et poser $latex \Delta D_{\text{bonus}}=1-k_0\ (\le -1)$.

Idée-preuve. Par le lemme $latex R_+$, tout cycle impair se découpe en ces segments. Si la somme des $latex \Delta D$ sur un tour est strictement négative, alors aucun cycle n’est possible.

6) Expériences numériques (b = 7, 8, 9)

Protocole : export du graphe odd-only cohérent, contraction $latex r_+\to r_+$, puis analyse (Karp, CFC). On observe un DAG côté super-graphe $latex r_+\mid\Delta D$ (aucun cycle), avec histogramme invariant des poids $latex \Delta D\in\{-10,-8,-6,-4,-2\}$ (multiplié par $latex 3^b$).

7) Vue « odd-only » en deux blocs affines

• Bloc 1-pas (descente forte) : si $latex y\equiv1\pmod 4$, alors $latex y\mapsto\frac{y-1}{4}$.
• Bloc 3-pas (montée modérée) : si $latex y\equiv3\pmod 4$, alors $latex y\to 3y-1\to 9y-2\ (\equiv1\!\!\pmod 4)\to \frac{9y-3}{4}$, i.e. $latex y\mapsto \frac94\,y-\frac34$.

Un tour de cycle impair avec $latex s$ blocs 1-pas et $latex t$ blocs 3-pas composerait en $latex y\mapsto Ay+B$ avec $latex A=\frac{9^t}{4^{s+t}}$. La contrainte $latex y=Ay+B$ donne $latex y=\frac{B\,4^{s+t}}{\,4^{s+t}-9^t\,}$, à concilier avec l’intégralité et les congruences (mod 3, mod 4) : restrictions fortes (les valuations 2-adiques étant figées).

8) Résidus utiles et « lectures rapides »

• $latex r_-\equiv1,3,5,7\pmod 8$ selon $latex D$.
• $latex Y_-\equiv2\pmod 3$, $latex \mathrm{med}\equiv0\pmod 3$, $latex Y_+\equiv1\pmod 3$.
• $latex r_+\equiv1\pmod 4$ ⇒ $latex D=\frac{r_+-1}{4}$ immédiatement.

Mnémo : $latex D=\frac{r_-+1}{2}=\frac{Y_-+1}{3}=\frac{\mathrm{med}}{3}=\frac{Y_+-1}{3}=\frac{r_+-1}{4}$.

Annexe A — Tableau distances et $latex j=\nu_2(3D+1)$ (extrait)

Pour chaque $latex D$, on liste $latex (r_-,Y_-,\mathrm{med},Y_+,r_+)$ et $latex j=\nu_2(3D+1)$ (ainsi $latex \nu_2(3r_++1)=2+j$). Extrait $latex D=1\ldots 16$ :

Annexe B — Générateur minimal (Python)

  def ligne_D(D:int): 
    r_m = 2*D - 1 
    Y_m = 3*D - 1 
    med = 3*D 
    Y_p = 3*D + 1 
    r_p = 4*D + 1 
    
    # v2(3D+1) j = (Y_p & -Y_p).bit_length() - 1 
    
    return (D, r_m, Y_m, med, Y_p, r_p, j, 2 + j)

for D in range(1, 21):
print(ligne_D(D))