UPdelta — Échelle 24 = 1 : un « modèle dans le modèle » pour comprendre l’anti-cycle

Idée clé : en divisant toutes les quantités par 24, chaque rangée (distance D) devient le même gabarit
géométrique — un « ruban » constant — et toute la dynamique intéressée par les cycles se concentre alors sur la seule
évolution de D et des valuations 2-adiques.

1) Cadre UPdelta (rappels compacts)

Pour une distance entière \(D\), on définit les cinq points de la rangée :

\(r^-(D)=2D-1,\quad Y^-(D)=3D-1,\quad \mathrm{med}(D)=3D,\quad Y^+(D)=3D+1,\quad r^+(D)=4D+1.\)

• Étiquettes modulo 3 : \(Y^- \equiv 2 \pmod 3\), \(Y^+ \equiv 1 \pmod 3\) pour tout \(D\).
• Divisions (valuations) nécessaires pour le lien odd-only :
  \(t_-(D)=1+\nu_2(3D-1),\quad t_+(D)=2+\nu_2(3D+1).\)
  
  D pair exactement \(t_-{=}1,\ t_+{=}2\).
  
  D impair on « paie » des divisions supplémentaires : \(t_-{\ge}2,\ t_+{\ge}3\).

2) Échelle 24 = 1 : un gabarit géométrique universel

On travaille avec la quantité mise à l’échelle \(\tilde x = x/24\). Alors :

Conséquences « micro » (indépendantes de \(D\)) :

• Ruban constant : \(\tilde Y^+ – \tilde Y^- = \frac{1}{12}\).
• Centre commun : \( \widetilde{\mathrm{med}} = D/8\).
• Bras symétriques : \( \tilde Y^- – \tilde r^- = \tilde r^+ – \tilde Y^+ = \frac{D}{24}\).

Autrement dit, le « modèle local » d’une ligne est identique pour toutes les distances : seule l’échelle macro (via \(D\)) s’étire.

3) « Modèle dans le modèle » et réduction du catalogue de cycles

3.1 Forme normale des trajectoires

Grâce au lemme de pli, on peut supposer sans perte que toute trajectoire est écrite sous la forme normale :

• des pas \(Y^-\) pour n’importe quel \(D\) ;
• des pas \(Y^+\) uniquement avec \(D\) pair (exactement 2 divisions).

Au niveau « micro », toutes les étapes sont le même ruban (largeur \(1/12\)). Au niveau « macro », le jeu se réduit à l’évolution de \(D\) et aux surplus de division \(e_\pm=\nu_2(3D\pm1)\).

3.2 Moyenne des divisions vs \(\log_2 3\) (biais contractant)

Sur une boucle fermée (odd-only), la moyenne des divisions doit satisfaire \(\bar t = \log_2 3\) (sinon la taille dérive). Or :

• à \(D\) pair, la base minimale est \(t_-{=}1\), \(t_+{=}2\) ;
• à \(D\) impair, on ajoute des divisions ( \(e_\pm \ge 1\) « en moyenne » sur de longues marches ).

Conclusion : par défaut \(\bar t > \log_2 3\) — la trajectoire contracte la taille —, et il faudrait une corrélation fine des \(D\) et des \(e_\pm\) pour maintenir exactement \(\bar t=\log_2 3\). C’est un frein structurel aux cycles non triviaux.

3.3 Monotonicités en \(D\) (ciseau)

Le pli remplace chaque « \(+\) impair » par \(-\) à \(D’ = 3D + 1\) (strictement croissant). Revenir au \(D\) initial nécessiterait des étapes qui abaissent fortement \(D\).
Mais ces étapes coïncident avec des valuations plus grandes, ce qui augmente encore la contraction (cf. §3.2). Le cycle se heurte donc à un ciseau : ou bien \(D\) ne se referme pas, ou bien la taille décroît.

4) Guide de lecture du tableau (version pratique)

• Étiquette mod 3 : toujours \(Y^-\equiv 2\), \(Y^+\equiv 1\).
• Compter les divisions \(t_\pm\) :
  \(t_-(D)=1+\nu_2(3D-1)\),
  \(t_+(D)=2+\nu_2(3D+1)\).
  
  D pair propre : (1,2). D impair surplus.
• Mise à l’échelle 24 = 1 : afficher les 5 points aux positions \(\frac{D}{8}\pm\frac{1}{24}\) (liens) et \(\frac{D}{6}\pm\frac{1}{24}\) (racines). Le ruban \(Y^-{\leftrightarrow}Y^+\) est d’emblée visible et constant.

5) Deux exemples éclair

Ex. A — \(D=10\) (pair, cas « propre »)

\(r^-=19,\ Y^-=29,\ \mathrm{med}=30,\ Y^+=31,\ r^+=41\).

• mod 3 : \(Y^- \equiv 2\), \(Y^+ \equiv 1\).
• divisions : \(t_-{=}1,\ t_+{=}2\).
• échelle 24 = 1 : \(\tilde Y^\pm = 10/8 \pm 1/24\), largeur \(=1/12\); bras \(= D/24 = 10/24\).

Ex. B — \(D=9\) (impair, pli puis normalisation)

\(r^-=17,\ Y^-=26,\ \mathrm{med}=27,\ Y^+=28,\ r^+=37\).

• divisions : \(t_-= 1+\nu_2(26)=2\), \(t_+=2+\nu_2(28)=4\) (surplus).
• Pli : \(\displaystyle \frac{3r_+(9)-1}{2} = r_-(3\cdot 9 + 1) = r_-(28) = 55\) (on passe dans la branche « − » à \(D’=28\)).
• Échelle 24 = 1 : même ruban (largeur \(1/12\)), mais centre reculé \(D’/8=3.5\) au lieu de \(9/8\).

6) Mise en œuvre (check-list)

1. Normaliser : remplacer chaque pas « \(+\) avec \(D\) impair » par « \(-\) avec \(D’ = 3D+1\) ».
2. Suivre \(D\) : travailler sur l’automate des résidus de \(D\) (et l’étiquette de branche) plutôt que sur les valeurs.
3. Poids : utiliser \(k = t – \log_2 3\) par transition. Sur un cycle, \(\sum k = 0\) est nécessaire ; en pratique on observe \(\sum k > 0\) (biais contractant).
4. Visualiser : superposer plusieurs rangées à l’échelle 24 = 1. Un cycle exigerait de recoller exactement le même ruban et la même échelle \(D/8\) après un nombre fini d’étapes — excellent diagnostic visuel.

7) TL;DR

• L’échelle 24 = 1 rend identique la micro-géométrie de chaque rangée : ruban \(Y^-{\leftrightarrow}Y^+\) de largeur fixe \(1/12\), bras symétriques.
• Le lemme de pli envoie « \(+\) impair » vers « − » à \(D’ = 3D+1\) : on obtient une forme normale de toute trajectoire.
• Au macro-niveau, le problème des cycles se réduit à la suite des \(D\) et aux valuations \(\nu_2(3D\pm 1)\) ; la moyenne des divisions dépasse naturellement \(\log_2 3\), ce qui contrarie les cycles non triviaux.

Si tu veux, je peux ajouter à la fin de l’article un petit script SVG « light » (sans dépendances) pour afficher automatiquement la ligne \(D\) et ses positions à l’échelle — pratique pour des lecteurs non spécialistes.