Collatz “aplati” : deux courbes pliées, un pont de longueur 1

Résumé. On projette la dynamique impaire compressée du Collatz sur deux suites très clairsemées :
la branche positive (décalage −1 puis un impair sur deux) et la branche négative (décalage +1 puis un impair sur trois).
Ces deux sous-dynamiques s’identifient aux triangulaires
$latex T(n)=\frac{n(n+1)}{2}\;$ et $latex T(n)-1$,
se superposent après normalisation par “blocs d’impairs”, et sont reliées par un pont (vertical) de longueur 1.
On en déduit une géométrie simple : aucun cycle ne peut vivre intégralement sur l’une des branches,
et toute boucle non triviale devrait alterner (+/−), donc “quitter le squelette” à chaque tour — ce qui fournit un levier d’exclusion.

1) Aplatissement par décalage et sous-échantillonnage

On travaille sur la dynamique impaire compressée $latex y\mapsto T(y)=\frac{3y+1}{2^{k(y)}}\;$ (avec $latex k(y)=v_2(3y+1)$).
On aplanit selon deux règles conjuguées :

• Branche + : on décale $latex x\mapsto x-1$ puis on ne regarde qu’un impair sur deux.
  L’index aplati suit $latex J_{m+1}=J_m+(m+1)$, d’où $latex J_m=J_0+T(m)$.
  Les “distances positives” parcourables sont donc $latex P=\{T(0),T(1),T(2),\dots\}=\{0,1,3,6,10,15,21,28,\dots\}$.
• Branche − : on décale $latex x\mapsto x+1$ puis on ne regarde qu’un impair sur trois.
  L’index aplati suit $latex K_{m+1}=K_m-(m+1)$, d’où $latex K_m=K_0-T(m)$.
  Les “distances négatives” parcourables sont $latex N=\{T(n)-1:n\ge0\}=\{-1,0,2,5,9,14,20,27,35,\dots\}$.

Tests rapides (Gauss) :
$latex x\in P\iff 8x+1\;$ est un carré parfait ;
$latex x\in N\iff 8x+9\;$ est un carré parfait.

Figure 1. Courbes pliées : $latex y_+(x)=T\!\left(\frac{x}{2}\right)$ (blocs de 2 impairs) et
$latex y_-(x)=T\!\left(\frac{x}{3}\right)$ (blocs de 3 impairs).

2) Normaliser par blocs : le reflet autour de $latex T(n)-\frac12$

On synchronise les “horloges” en remplaçant l’abscisse “nombre d’impairs consommés” par l’index de bloc $latex n$ :
un bloc vaut 2 impairs pour la branche +, 3 impairs pour la branche −.
Après normalisation, on observe :

$latex y_+(n)=T(n),\qquad y_-(n)=T(n)-1.$

Les deux courbes ne diffèrent plus que d’un décalage vertical constant de 1,
et la droite médiane $latex y=T(n)-\frac12$ est un axe de reflet (branche − ↔ branche +).

Figure 2. Pliage normalisé (par blocs $latex n$) et reflet vertical.

3) Le “pont” (+/−) : longueur 1

Pour chaque $latex n$, les points $latex T(n)-1$ (branche −) et $latex T(n)$ (branche +)
sont reliés par un segment vertical de longueur 1 : c’est exactement le “décalage $latex \pm1$”.

Figure 3. Ponts entre branches (segments $latex T(n)-1\leftrightarrow T(n)$).

4) Conséquences structurelles

4.1. Monotonicités fortes ⇒ pas de cycle “pur”

• Branche + : $latex T(n)$ croît strictement ; on diverge ($latex \sim \frac{n^2}{2}$ après normalisation, $latex \sim \frac{x^2}{8}$ en impairs).
  Un cycle ne peut pas rester confiné ici.
• Branche − : $latex T(n)-1$ décroît en remontant le sens des liens (trajets du type $latex 14\to9\to5\to2\to0\to(-1)$).
  Là non plus, pas de cycle autonome.

Conclusion : tout cycle non trivial devrait alterner (+/−), donc emprunter le pont (décalage ±1) et quitter le squelette (les suites $latex P\cup N$ sont de densité 0).
Cette alternance impose des bilans impossibles si l’on reste dans un régime “dominant” (trop de blocs 2-impairs ou trop de blocs 3-impairs).

4.2. “Pentes” quadratiques et balance 2/3

En abscisse “impairs”, on a les équivalents :
$latex y_+(x)\sim \frac{x^2}{8}$ et $latex y_-(x)\sim \frac{x^2}{18}$.
Le rapport d’échelle $latex \frac{18}{8}\approx2.25$ encode la dissymétrie 2-impairs vs 3-impairs.
Dans un certificat min–moyenne (poids $latex k=v_2(3y+1)-\log_2 3$),
cette dissymétrie se traduit par une domination de $latex \mu_{\min}$ au-dessus (branche +) ou en-dessous (branche −) de $latex \log_2 3$,
et l’impossibilité d’équilibrer une boucle sans “payer” des violations de squelette.

4.3. Petit tableau de référence

5) Intégration pratique (scripts & certificats)

5.1. Marquer “sur squelette / hors squelette”

Pour chaque impair $latex y$ de ta trajectoire compressée :

1. Calculer l’indice aplati candidat côté + et côté − (via les décalages $latex \pm1$).
2. Tester l’appartenance :
   $latex y\in P\iff 8y+1$ carré ; $latex y\in N\iff 8y+9$ carré.
3. Logger les passages (+), (−), et les “sorties” (ni P ni N).

5.2. Critère d’exclusion pour les CFC

Sur une composante fortement connexe (CFC) de ton NFA/DFA, dénombrer :

• $latex b_2$ = nombre de blocs “2-impairs” réellement suivis (branche +),
• $latex b_3$ = nombre de blocs “3-impairs” (branche −),
• et le cumul des poids $latex \sum(k-\log_2 3)$.

Une boucle fermerait nécessairement avec un bilan combinant
les pas $latex (+1,+2,+3,\dots)$ et $latex (-1,-2,-3,\dots)$ ;
si l’on prouve que toutes les CFC imposent un signe strict (par ex. $latex \mu_{\min}>\log_2 3$
ou bien une inégalité stricte sur $latex b_2,b_3$), la boucle est exclue.

6) Annexe : snippets utiles

6.1. Tests d’appartenance (Python)

import math

def is_square(n): 
    r = int(math.isqrt(n))
    return r*r == n

def in_P(x):  # triangulaires
    return is_square(8*x + 1)

def in_N(x):  # un de moins que triangulaire
    return is_square(8*x + 9)

6.2. Rappels asymptotiques

En abscisse “impairs” : $latex y_+(x)\sim \frac{x^2}{8}$ et $latex y_-(x)\sim \frac{x^2}{18}$,
donc la branche + “monte” plus vite.
Après normalisation par blocs : $latex y_+(n)=T(n)$ et $latex y_-(n)=T(n)-1$ (pont de longueur 1).

Remerciements. Cette “vue pliée” fait écho aux tables MCC/MRC et aux familles universelles $latex F_m$ :
elle fournit un squelette très parcimonieux (densité nulle) et un pont de compensation $latex \pm1$.
C’est un support visuel/arithmétique robuste pour les certificats min–moyenne ($latex \mu_{\min}$)
et le contrôle des alternances (+/−) dans les CFC.