Fr – Preuve par tape

Tape de base : règles et convergence

Règles (telles qu’on les fige ici) :

• pair + : devient impair + (on reste côté + et on atteint une valeur impaire).
• impair + : devient impair − (on change de signe en restant impaire).
• pair − : halving jusqu’à l’impair − suivant (ex. : -14 → -7).
• impair − : si \(t=-(2d-1)\) avec \(d=\frac{|t|+1}{2}\ge 1\), on pose
  \[
  G(t)\;=\;-\operatorname{odd}\!\Big(\Big\lfloor \frac{3d-1}{2}\Big\rfloor\Big),
  \]
  où \(\operatorname{odd}(n)=\frac{n}{2^{\nu_2(n)}}\) est la partie impaire de \(n\).

Lemme (contraction sur les impairs négatifs).
Pour tout \(t=-(2d-1)\) avec \(d\ge2\) :
\[
\Big\lfloor \frac{3d-1}{2}\Big\rfloor \;<\; 2d-1 \;=\; |t| \quad\Longrightarrow\quad |G(t)| \;<\; |t|. \] Et \(G(-1)=-1\) (point fixe).

Proposition (convergence).
Toute orbite de la tape de base finit à \(-1\).
En effet, tout \(t>0\) passe obligatoirement par la zone impair − (pair+ → impair+ → impair−), et
le lemme montre que, dès qu’on est sur un impair −, la valeur \(|t|\) décroît strictement (après halving pour les pairs −), jusqu’à \(-1\).

Ricochet vers Collatz (impair compressé)

On note la dynamique impair compressée
\[
T(y)=\frac{3y+1}{2^{\nu_2(3y+1)}}\quad (y\ \text{impair > 0}).
\]
Pour relier Collatz à la tape de base, on construit un pont et un potentiel.

(A) Projection (pli de signe)

On travaille dans l’espace quotient \([t]=\{\,t,\,-t-1\,\}\) (le repli que tu utilises déjà).
À chaque impair \(y\ge1\) on associe
\[
h(y)\;=\;[t],\qquad t=\frac{y+1}{2}.
\]
L’idée : même si la tape visite des indices négatifs, le pli ramène tout sur une classe compatible avec \(y>0\).

(B) Simulation faible (à établir)

Montrer qu’un pas Collatz
\[
y \xrightarrow{T} y’=\frac{3y+1}{2^{\nu_2(3y+1)}}
\]
est simulé par un bloc de \(\le m\) pas de la tape de base dans l’espace plié :
\[
h(y)\ \xRightarrow{\;\hat f^{\le m}\;}\ h(y’)
\]
avec un \(m\) uniforme (indépendant de \(y\)). Autrement dit, aucune transition réelle n’échappe à la tape (après pli), et chaque pas réel correspond à quelques pas tape.

(C) Potentiel hérité (Lyapunov)

Sur les classes, on définit
\[
V([t])\;=\;\min\{|u|\;:\;u\in[t]\}.
\]
Grâce à la contraction sur impair −, il existe \(q\in\mathbb N\) et \(\epsilon>0\) tels que, pour tout \([t]\) assez grand,
\[
V\bigl(\hat f^{\,q}([t])\bigr)\;\le\;\Big\lfloor \frac{3\,V([t])+1}{4}\Big\rfloor\;\le\;V([t])-\epsilon.
\]
En combinant (B), on transfère cette décroissance à Collatz : il existe \(Q\) constant tel que
\[
\widetilde V\bigl(T^{\,Q}(y)\bigr)\;\le\;\Big\lfloor \frac{3\,\widetilde V(y)+1}{4}\Big\rfloor \;<\;\widetilde V(y), \] où \(\widetilde V(y):=V(h(y))\). Par descente bien-fondée, on atteint la classe de \(-1\), i.e. \(y=1\).

(D) Quatre verrous (techniques à boucler)

1. Pli \([t]\) : prouver que \([t]=[-t-1]\) ne crée aucun artefact nuisible (conservativité vis-à-vis de Collatz).
2. Simulation (B) : démontrer, pour tout \(y\), l’existence d’un bloc \(\le m\) pas tape réalisant \(h(y)\Rightarrow h(T(y))\).
3. Fréquence “impair −” : borner uniformément l’intervalle (en pas tape) entre deux visites d’impair −.
4. Monotone globale : encapsuler (2)+(3) dans une inégalité de type min–moyenne (esprit \(\mu_{\min}>\log_2 3\) de nos certificats).

Deux voies pratico-pratiques

Voie 1 — Preuve de simulation (papier)

1. Écrire précisément les règles “tape de base” par classes modulo 8 (pour lever toute ambiguïté de cas).
2. Pour chaque \(y\) (via \(t=\frac{y+1}{2}\)), construire un bloc tape \(\le m\) qui réalise le pas \(y\mapsto T(y)\) après pli.
3. En déduire la décroissance de \(\widetilde V\) au moins tous les \(Q\) pas de \(T\).
4. Conclure par descente : \(T\) atteint \(1\).

Voie 2 — Automate global (machine)

1. Construire l’automate des classes pliées \([t]\) (résidus \(\alpha\bmod 64\), \(\beta\bmod 3^b\), etc.).
2. Vérifier couverture + min-moyenne \(>\log_2 3\) comme dans le global certificate, mais pour cette variante pliée.
3. Montrer que chaque pas réel se projette dans cet automate (sur-approximation) ⇒ preuve machine-assistée.

TL;DR

La tape de base converge vers \(-1\) (descente stricte dès qu’on est en impair −). Pour “prouver Collatz par ricochet”, il faut
(i) un pli \([t]\) propre,
(ii) une simulation “un pas de \(T\) = quelques pas tape”,
(iii) une fréquence uniforme de passage en impair −, et
(iv) une inégalité de type min–moyenne qui transporte la décroissance.