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Couture par distances et potentiel décroissant pour la dynamique Collatz (odd-only) TL;DR. On code chaque pas impair par une distance paire \( D=2d \) et une branche \((\,-\,)\) ou \( (+) \). On obtient une couture explicite \( D \mapsto D’ \) via \( s=\nu_2(9d\pm\text{const}) \). Puis on construit un potentiel \[ \Phi=\log_2(D+\kappa)\;-\;\gamma\cdot \mathrm{clip}(k-2,\,\le 2)…

Tape de base : règles et convergence Règles (telles qu’on les fige ici) : pair + : devient impair + (on reste côté + et on atteint une valeur impaire). impair + : devient impair − (on change de signe en restant impaire). pair − : halving jusqu’à l’impair − suivant (ex. : -14 →…

Collatz “aplati” : deux courbes pliées, un pont de longueur 1 Résumé. On projette la dynamique impaire compressée du Collatz sur deux suites très clairsemées : la branche positive (décalage −1 puis un impair sur deux) et la branche négative (décalage +1 puis un impair sur trois). Ces deux sous-dynamiques s’identifient aux triangulaires \( T(n)=\frac{n(n+1)}{2}\;\)…

UPdelta — Échelle 24 = 1 : un « modèle dans le modèle » pour comprendre l’anti-cycle Idée clé : en divisant toutes les quantités par 24, chaque rangée (distance D) devient le même gabarit géométrique — un « ruban » constant — et toute la dynamique intéressée par les cycles se concentre alors sur…

Dynamique « ultra-compressée » sur l’ossature Collatz : potentiel, contraction r+→r+ et certificats On conserve la géométrie compressée de Collatz (colonnes, fratries, diagonales), mais on « avale » la cascade de divisions par 2 en ne visitant que les impairs. On exhibe un potentiel entier \(D\) qui décroît pour la règle étudiée, puis on construit…

Résumé — Dynamique « ultra-compressée » sur l’ossature Collatz & pont vers la classique Règle étudiée (entiers ≥ 0) : \(f(x)=\begin{cases}\frac{x-1}{4},& x\equiv 1\ (\mathrm{mod}\ 4),\\[4pt]2x-1,& \text{sinon.}\end{cases}\) Idée : on garde la géométrie compressée de Collatz (colonnes \(L_{r,n}\), fratries, diagonales), mais on « avale » la cascade des pairs en ne visitant que les frères impairs. 1) Ossature Collatz conservée…

Dynamique affine sur l’ossature Collatz Règle à trois branches (entiers ≥ 0) : \(f(x)=\begin{cases} \frac{x-1}{4}& \text{si }x\equiv1\ (\mathrm{mod}\ 4),\\[4pt] 3x-1& \text{si }x\equiv1\ (\mathrm{mod}\ 2)\ \text{(i.e. }x\equiv3\ (\mathrm{mod}\ 4)\text{)},\\[4pt] 3x+1& \text{si }x\equiv0\ (\mathrm{mod}\ 2). \end{cases}\) Idée : on conserve la géométrie compressée de Collatz (colonnes \(L_{r,n}\), racines minimales, « liens », diagonales NE/SE), mais on fige la…

Conjoncture “−1/4 si possible, sinon +1” — Lien complet avec Collatz compressé et la distance D Règle (sur les entiers) : \[ f(n)= \begin{cases} \frac{n-1}{4}, & \text{si } n\equiv 1\pmod 4,\\[4pt] n+1, & \text{sinon.} \end{cases} \] On montre : (i) pas de cycle non trivial (tout converge vers \(0\leftrightarrow 1\)) ; (ii) traduction exacte dans…

Frères « double − 1 » non divisibles par 3 — lecture en distance D (repère MCC) But. Pour une fratrie impaire \(r\), on considère les nombres \(\;y_k(r)=r\cdot4^k-1\;\) (les « frères −1 »). On veut : (i) les reclasser par liens \(Y_\pm=3D\pm1\) (distance \(D\) paire), (ii) décrire leur dynamique compressée \(T(y)=\mathrm{oddize}(3y+1)\) en \(D\), et (iii)…

Collatz « en distances » : définition, itération, exemples et pistes anti-cycle Idée. On remplace l’impair visité x par une distance entière D et un signe de branche \( \sigma\in\{-,+\} \) tels que \(\;x=Y_\sigma(D)=\begin{cases} 3D-1 &(\sigma=-),\\ 3D+1 &(\sigma=+). \end{cases}\) C’est une formulation strictement équivalente à la Collatz compressée classique (impair \(\mapsto\) diviser par \(2^k\) jusqu’à l’impair suivant),…

Retours −1/4, squelette MCC et « distance » : pourquoi c’est utile (et comment s’en servir) Idée générale. Les retours (y−1)/4 ne sont pas la règle Collatz compressée, mais l’inverse du pas fratrie NE : x↦4x+1. Ils permettent de remonter le squelette MCC jusqu’à la racine minimale et fournissent des congruences fortes modulo \(4^{j}\) qui forcent des poids 2-adiques…

Variante « /3 sinon *2−1 » vs Collatz classique : équations de cycle et seuils critiques But. Mettre en parallèle la variante T(n)=n/3 si 3|n, sinon T(n)=2n−1 (où l’on prouve qu’il n’y a aucun cycle non trivial), et la Collatz classique compressée (où il faut certifier une marge sur la moyenne des valuations). Les deux…