Collatz – Variante mod basée sur structure compressé

1) Version compressée « impairs » : deux blocs canoniques

Restreinte aux impairs, la dynamique se résume en deux transformations affines :

• Bloc 1-pas (descente forte) : si \(y\equiv1\ (\mathrm{mod}\ 4)\), \(\quad y\mapsto \frac{y-1}{4}\).
• Bloc 3-pas (montée modérée) : si \(y\equiv3\ (\mathrm{mod}\ 4)\), \(\ y\ \xrightarrow{3y-1}\ \text{pair}\ \xrightarrow{3x+1}\ 9y-2\ (\equiv1\bmod4)\ \xrightarrow{(x-1)/4}\ \frac{9y-3}{4}\).

Ces deux blocs suffisent à décrire toutes les transitions impaires. En particulier, le bloc « 3-pas » envoie toujours un impair \(3\ (\mathrm{mod}\ 4)\) vers un impair, et sa forme affine est \(\frac{9}{4}y-\frac{3}{4}\).

2) Paramètre « distance » \(D\) et ossature racine ↔ lien

Comme dans le compressé Collatz classique, toute paire « racine ↔ lien » se code par une distance \(D\in\mathbb N\) :

La « division minimale par 4 » associée à la racine + est exactement \(\mathrm{minodiv4}=D\).

3) Tableau distances (extrait \(D=1\ldots16\))

On affiche, pour chaque \(D\), la quintuple $(r_-,Y_-,\mathrm{med},Y_+,r_+)$ et les résidus caractéristiques.

Remarque : \(r_+\) est toujours \(\equiv1\ (\mathrm{mod}\ 4)\), d’où le « raccourci » \(D=\frac{r_+-1}{4}\) pour lire la distance directement.

4) Colonnes compressées et diagonales (géométrie partagée)

La géométrie est celle du compressé Collatz : \(\displaystyle L_{r,n}=\frac{(3r+1)4^n-1}{3}\) pour \(n\ge1\). Elle ne dépend que de \(r\) et du facteur \(4^n\) (même « fratries », mêmes diagonales NE/SE). La différence avec Collatz tient uniquement à la valeur fixée de la division par 2 : ici, dès que l’on atteint \(\equiv1\ (\mathrm{mod}\ 4)\) on divise par 4 (au lieu de diviser par \(2^{v_2(3y+1)}\) variable).

Lecture diagonale (schéma standard) : pour un pivot \(r\), la diagonale NE d’ordre \(d\) s’écrit \(D_d(j)=4^d r_{j+d}+\frac{4^d-1}{3}\), et les liens restent \(\equiv1\ \text{ou}\ 2\ (\mathrm{mod}\ 3)\) comme dans le tableau classique.

Ton tri « par premier \(0\ (\mathrm{mod}\ 3)\) » se transpose sans changement.

5) Exemples de trajectoires (complet et compressé)

Depuis 17 : \(17\equiv1\ (\mathrm{mod}\ 4)\), donc bloc 1-pas : \(17\mapsto \frac{16}{4}=4\) (pair) \(\mapsto 13\ (\equiv1\bmod4)\mapsto 3\ (\equiv3\bmod4)\), puis bloc 3-pas, etc. Évolution impairs (compressé) :

17 → 13 → 3 → 25 → 19 → 127 → 285 → 71 → 159 → 89 → ...

Depuis 19 : \(19\equiv3\ (\mathrm{mod}\ 4)\) donc bloc 3-pas \(\big(19\mapsto \frac{9\cdot19-3}{4}=42\big)\), puis alternance de 1-pas et 3-pas selon \(\ (\mathrm{mod}\ 4)\). Blocs compressés :

19 --(3-pas)→ 42 --(1-pas)→ 10 --(pair…)→ 127 --(3-pas)→ 285 --(1-pas)→ 71 --(1-pas)→ 17 ...

6) Résidus clés et « lectures rapides »

• \(r_-\equiv3,7\ (\mathrm{mod}\ 8)\) en alternance selon la parité de \(D\).
• \(Y_-\equiv2\ (\mathrm{mod}\ 3)\), \(\mathrm{med}\equiv0\ (\mathrm{mod}\ 3)\), \(Y_+\equiv1\ (\mathrm{mod}\ 3)\).
• \(r_+\equiv1\ (\mathrm{mod}\ 4)\), donc \(D=\frac{r_+-1}{4}\) immédiatement.

Mnémo distance : \(D=\frac{r_-+1}{2}=\frac{Y_-+1}{3}=\frac{\mathrm{med}}{3}=\frac{Y_+-1}{3}=\frac{r_+-1}{4}\).

7) Heuristique « énergétique »

Sur les impairs, le bloc 1-pas applique \(y\mapsto \frac{y}{4}-\frac14\) (contraction forte), le bloc 3-pas applique \(y\mapsto \frac{9}{4}y-\frac34\) (dilatation modérée). Si la fréquence des états \(\equiv1\ (\mathrm{mod}\ 4)\) n’est pas trop faible, la dynamique montre une tendance à la baisse (contrainte non-probante mais informative). Cette lecture s’aligne avec l’intuition « cône/barrière » du compressé classique.

8) Contraintes algébriques sur d’éventuels cycles

Notons \(s\) le nombre de blocs 1-pas et \(t\) le nombre de blocs 3-pas sur un tour de cycle impairs. La composition est une affine \(y\mapsto Ay+B\) avec \(\displaystyle A=\frac{9^t}{4^{\,s+t}}\) (et \(B\) combinaison entière des constantes \(-\frac14\) et \(-\frac34\) transportées par les facteurs \(\frac14\) et \(\frac94\)).

La condition de cycle \(y=Ay+B\) impose \(\displaystyle y=\frac{B}{1-A}=\frac{B\cdot 4^{\,s+t}}{\,4^{\,s+t}-9^{\,t}\,}\). Ainsi le dénominateur \(4^{\,s+t}-9^{\,t}\) doit diviser \(B\cdot 4^{\,s+t}\), avec en plus les contraintes de résidus (retomber sur les bonnes classes \(\bmod 4\) et \(\bmod 3\) aux positions adéquates).

Conséquence : sauf choix très particuliers de \((s,t)\), on a \(A<1[/latex] et un dénominateur grand [latex]\Rightarrow[/latex] l’intégralité et les congruences deviennent fortement restrictives. Cette stratégie « compte des blocs & affine globale » est l’analogue direct de la méthode classique dans l’ossature Collatz, mais ici les valuations 2-adiques étant figées, elle est souvent plus lisible.

9) Lien et différences avec Collatz compressé

• Ossature identique : colonnes [latex]L_{r,n}\), fratries, diagonales, paires racine↔lien et distance \(D\) coïncident.
• Différence clé : au lieu de \(v_2(3y+1)\) variable (classique), on a ici une division fixée par 4 chaque fois que l’on revient en \(1\ (\mathrm{mod}\ 4)\). Les raisonnements « par distance » et « par cône/barrière » se transportent donc au cordeau.
• Lecture rapide : grâce à \(r_+=4D+1\), on lit \(D\) immédiatement via \(D=\frac{r_+-1}{4}\), comme dans ton tableau « raccourci ».

Annexe : générateur de la table des distances

def ligne_D(D:int):
    r_m = 2*D - 1
    Y_m = 3*D - 1
    med = 3*D
    Y_p = 3*D + 1
    r_p = 4*D + 1
    return (D, r_m, Y_m, med, Y_p, r_p)

for D in range(1, 21):
    print(ligne_D(D))

1) Version compressée « impairs » : deux blocs

• Bloc 1-pas (descente) : si \(y\equiv1\ (\mathrm{mod}\ 4)\), \(\ y\mapsto \frac{y-1}{4}\).
• Bloc 3-pas (montée modérée) : si \(y\equiv3\ (\mathrm{mod}\ 4)\), \(y\ \xrightarrow{3y-1}\ \text{pair}\ \xrightarrow{3x+1}\ 9y-2\ (\equiv1\bmod4)\ \xrightarrow{(x-1)/4}\ \frac{9y-3}{4}\).

2) Paramètre distance \(D\) et ossature racine ↔ lien

3) Distances et divisions cachées : \(j=\nu_2(3D+1)\)

Pour chaque \(D\), on affiche la quintuple $(r_-,Y_-,\mathrm{med},Y_+,r_+)$ et le nombre de « \(\div2\) supplémentaires » côté classique : \(j=\nu_2(3D+1)\) (ainsi \(\nu_2(3r_+{+}1)=2+j\)).

4) Colonnes compressées et diagonales (géométrie partagée)

La géométrie est celle du compressé Collatz : \(\displaystyle L_{r,n}=\frac{(3r+1)4^n-1}{3}\) pour \(n\ge1\). Elle dépend de \(r\) et du facteur \(4^n\) (mêmes « fratries », mêmes diagonales NE/SE). La différence avec Collatz tient uniquement à la valeur fixée de la division par 2 : dès que l’on atteint \(\equiv1\ (\mathrm{mod}\ 4)\) on divise par 4 (au lieu de \(\div 2^{\nu_2(3y+1)}\) variable).

5) Exemples de trajectoires (complet & compressé)

Depuis 17 : impairs visités (compressé) 17 → 13 → 3 → 25 → 19 → 127 → 285 → 71 → 159 → 89 → …

Depuis 19 : premiers blocs 19 --(3-pas)→ 42 --(1-pas)→ 10 --(pair…)→ 127 --(3-pas)→ 285 --(1-pas)→ 71 …

6) Contraintes algébriques sur d’éventuels cycles

Si un tour de cycle impairs comporte \(s\) blocs 1-pas et \(t\) blocs 3-pas, la composition vaut \(\ y\mapsto Ay+B\) avec \(\ A=\frac{9^t}{4^{\,s+t}}\). La condition \(y=Ay+B\) force \(\ y=\dfrac{B}{1-A}=\dfrac{B\cdot 4^{\,s+t}}{\,4^{\,s+t}-9^{\,t}\,}\), à concilier avec l’intégralité et les congruences (mod 3, mod 4) — fortes restrictions, d’autant que les valuations 2-adiques sont ici figées.

Annexe : générer la table

def ligne_D(D:int):
    r_m = 2*D - 1
    Y_m = 3*D - 1
    med = 3*D
    Y_p = 3*D + 1
    r_p = 4*D + 1
    j   = (Y_p & -Y_p).bit_length() - 1  # v2(3D+1)
    return (D, r_m, Y_m, med, Y_p, r_p, j, 2 + j)

for D in range(1, 21):
    print(ligne_D(D))