Collatz “aplati” : deux courbes pliées, un pont de longueur 1

Résumé. On projette la dynamique impaire compressée du Collatz sur deux suites très clairsemées :
la branche positive (décalage −1 puis un impair sur deux) et la branche négative (décalage +1 puis un impair sur trois).
Ces deux sous-dynamiques s’identifient aux triangulaires
\( T(n)=\frac{n(n+1)}{2}\;\) et \(T(n)-1\),
se superposent après normalisation par “blocs d’impairs”, et sont reliées par un pont (vertical) de longueur 1.
On en déduit une géométrie simple : aucun cycle ne peut vivre intégralement sur l’une des branches,
et toute boucle non triviale devrait alterner (+/−), donc “quitter le squelette” à chaque tour — ce qui fournit un levier d’exclusion.

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1) Aplatissement par décalage et sous-échantillonnage

On travaille sur la dynamique impaire compressée \( y\mapsto T(y)=\frac{3y+1}{2^{k(y)}}\;\) (avec \(k(y)=v_2(3y+1)\)).
On aplanit selon deux règles conjuguées :

• Branche + : on décale \(x\mapsto x-1\) puis on ne regarde qu’un impair sur deux.
  L’index aplati suit \(J_{m+1}=J_m+(m+1)\), d’où \(J_m=J_0+T(m)\).
  Les “distances positives” parcourables sont donc \(P=\{T(0),T(1),T(2),\dots\}=\{0,1,3,6,10,15,21,28,\dots\}\).
• Branche − : on décale \(x\mapsto x+1\) puis on ne regarde qu’un impair sur trois.
  L’index aplati suit \(K_{m+1}=K_m-(m+1)\), d’où \(K_m=K_0-T(m)\).
  Les “distances négatives” parcourables sont \(N=\{T(n)-1:n\ge0\}=\{-1,0,2,5,9,14,20,27,35,\dots\}\).

Tests rapides (Gauss) :
\(x\in P\iff 8x+1\;\) est un carré parfait ;
\(x\in N\iff 8x+9\;\) est un carré parfait.

Figure 1. Courbes pliées : \(y_+(x)=T\!\left(\frac{x}{2}\right)\) (blocs de 2 impairs) et
\(y_-(x)=T\!\left(\frac{x}{3}\right)\) (blocs de 3 impairs).

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2) Normaliser par blocs : le reflet autour de \(T(n)-\frac12\)

On synchronise les “horloges” en remplaçant l’abscisse “nombre d’impairs consommés” par l’index de bloc \(n\) :
un bloc vaut 2 impairs pour la branche +, 3 impairs pour la branche −.
Après normalisation, on observe :

\(y_+(n)=T(n),\qquad y_-(n)=T(n)-1.\)

Les deux courbes ne diffèrent plus que d’un décalage vertical constant de 1,
et la droite médiane \(y=T(n)-\frac12\) est un axe de reflet (branche − ↔ branche +).

Figure 2. Pliage normalisé (par blocs \(n\)) et reflet vertical.

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3) Le “pont” (+/−) : longueur 1

Pour chaque \(n\), les points \(T(n)-1\) (branche −) et \(T(n)\) (branche +)
sont reliés par un segment vertical de longueur 1 : c’est exactement le “décalage \(\pm1\)”.

Figure 3. Ponts entre branches (segments \(T(n)-1\leftrightarrow T(n)\)).

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4) Conséquences structurelles

4.1. Monotonicités fortes ⇒ pas de cycle “pur”

• Branche + : \(T(n)\) croît strictement ; on diverge (\(\sim \frac{n^2}{2}\) après normalisation, \(\sim \frac{x^2}{8}\) en impairs).
  Un cycle ne peut pas rester confiné ici.
• Branche − : \(T(n)-1\) décroît en remontant le sens des liens (trajets du type \(14\to9\to5\to2\to0\to(-1)\)).
  Là non plus, pas de cycle autonome.

Conclusion : tout cycle non trivial devrait alterner (+/−), donc emprunter le pont (décalage ±1) et quitter le squelette (les suites \(P\cup N\) sont de densité 0).
Cette alternance impose des bilans impossibles si l’on reste dans un régime “dominant” (trop de blocs 2-impairs ou trop de blocs 3-impairs).

4.2. “Pentes” quadratiques et balance 2/3

En abscisse “impairs”, on a les équivalents :
\(y_+(x)\sim \frac{x^2}{8}\) et \(y_-(x)\sim \frac{x^2}{18}\).
Le rapport d’échelle \(\frac{18}{8}\approx2.25\) encode la dissymétrie 2-impairs vs 3-impairs.
Dans un certificat min–moyenne (poids \(k=v_2(3y+1)-\log_2 3\)),
cette dissymétrie se traduit par une domination de \(\mu_{\min}\) au-dessus (branche +) ou en-dessous (branche −) de \(\log_2 3\),
et l’impossibilité d’équilibrer une boucle sans “payer” des violations de squelette.

4.3. Petit tableau de référence

n	T(n)−1 (branche −)	T(n) (branche +)
0	-1	0
1	0	1
2	2	3
3	5	6
4	9	10
5	14	15
6	20	21
7	27	28
8	35	36
9	44	45
10	54	55
11	65	66
12	77	78
13	90	91
14	104	105
15	119	120

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5) Intégration pratique (scripts & certificats)

5.1. Marquer “sur squelette / hors squelette”

Pour chaque impair \(y\) de ta trajectoire compressée :

1. Calculer l’indice aplati candidat côté + et côté − (via les décalages \(\pm1\)).
2. Tester l’appartenance :
   \(y\in P\iff 8y+1\) carré ; \(y\in N\iff 8y+9\) carré.
3. Logger les passages (+), (−), et les “sorties” (ni P ni N).

5.2. Critère d’exclusion pour les CFC

Sur une composante fortement connexe (CFC) de ton NFA/DFA, dénombrer :

• \(b_2\) = nombre de blocs “2-impairs” réellement suivis (branche +),
• \(b_3\) = nombre de blocs “3-impairs” (branche −),
• et le cumul des poids \(\sum(k-\log_2 3)\).

Une boucle fermerait nécessairement avec un bilan combinant
les pas \((+1,+2,+3,\dots)\) et \((-1,-2,-3,\dots)\) ;
si l’on prouve que toutes les CFC imposent un signe strict (par ex. \(\mu_{\min}>\log_2 3\)
ou bien une inégalité stricte sur \(b_2,b_3\)), la boucle est exclue.

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6) Annexe : snippets utiles

6.1. Tests d’appartenance (Python)

import math

def is_square(n): 
    r = int(math.isqrt(n))
    return r*r == n

def in_P(x):  # triangulaires
    return is_square(8*x + 1)

def in_N(x):  # un de moins que triangulaire
    return is_square(8*x + 9)

6.2. Rappels asymptotiques

En abscisse “impairs” : \(y_+(x)\sim \frac{x^2}{8}\) et \(y_-(x)\sim \frac{x^2}{18}\),
donc la branche + “monte” plus vite.
Après normalisation par blocs : \(y_+(n)=T(n)\) et \(y_-(n)=T(n)-1\) (pont de longueur 1).

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Remerciements. Cette “vue pliée” fait écho aux tables MCC/MRC et aux familles universelles \(F_m\) :
elle fournit un squelette très parcimonieux (densité nulle) et un pont de compensation \(\pm1\).
C’est un support visuel/arithmétique robuste pour les certificats min–moyenne (\(\mu_{\min}\))
et le contrôle des alternances (+/−) dans les CFC.