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1) Règle et ossature Collatz

Règle étudiée (entiers ≥ 0) : \(f(x)=\begin{cases}\frac{x-1}{4},& x\equiv 1\pmod 4,\\[4pt] 2x-1,& \text{sinon.}\end{cases}\)

On garde la géométrie compressée : \(L_{r,n}=\frac{(3r+1)4^n-1}{3}\) pour \(n\ge1\). Chaque paire « racine ↔ lien » se code par une distance \(D\in\mathbb N\) : \(\ r_-=2D-1,\ Y_-=3D-1,\ \mathrm{med}=3D,\ Y_+=3D+1,\ r_+=4D+1\). Lectures rapides : \(D=\frac{r_-+1}{2}=\frac{Y_-+1}{3}=\frac{\mathrm{med}}{3}=\frac{Y_+-1}{3}=\frac{r_+-1}{4}\). On a toujours \(r_+\equiv1\pmod 4\).

5) Pont vers Collatz : segments r+→r+ et poids \(\Delta D\)

Dans Collatz impaire accéléré, \(T(y)=\frac{3y+1}{2^{\,k}}\) avec \(k=\nu_2(3y+1)\). En échantillonnant seulement les retours \(r_+\to r_+\), on définit \(\Delta D=D_{\text{arrivée}}-D_{\text{départ}}\le -1\). Version « bonus » : lire \(k_0=\nu_2(3r_++1)\) au premier pas et poser \(\Delta D_{\text{bonus}}=1-k_0\ (\le -1)\).

Idée-preuve. Par le lemme \(R_+\), tout cycle impair se découpe en ces segments. Si la somme des \(\Delta D\) sur un tour est strictement négative, alors aucun cycle n’est possible.

6) Expériences numériques (b = 7, 8, 9)

Protocole : export du graphe odd-only cohérent, contraction \(r_+\to r_+\), puis analyse (Karp, CFC). On observe un DAG côté super-graphe \(r_+\mid\Delta D\) (aucun cycle), avec histogramme invariant des poids \(\Delta D\in\{-10,-8,-6,-4,-2\}\) (multiplié par \(3^b\)).

7) Vue « odd-only » en deux blocs affines

• Bloc 1-pas (descente forte) : si \(y\equiv1\pmod 4\), alors \(y\mapsto\frac{y-1}{4}\).
• Bloc 3-pas (montée modérée) : si \(y\equiv3\pmod 4\), alors \(y\to 3y-1\to 9y-2\ (\equiv1\!\!\pmod 4)\to \frac{9y-3}{4}\), i.e. \(y\mapsto \frac94\,y-\frac34\).

Un tour de cycle impair avec \(s\) blocs 1-pas et \(t\) blocs 3-pas composerait en \(y\mapsto Ay+B\) avec \(A=\frac{9^t}{4^{s+t}}\). La contrainte \(y=Ay+B\) donne \(y=\frac{B\,4^{s+t}}{\,4^{s+t}-9^t\,}\), à concilier avec l’intégralité et les congruences (mod 3, mod 4) : restrictions fortes (les valuations 2-adiques étant figées).

8) Résidus utiles et « lectures rapides »

• \(r_-\equiv1,3,5,7\pmod 8\) selon \(D\).
• \(Y_-\equiv2\pmod 3\), \(\mathrm{med}\equiv0\pmod 3\), \(Y_+\equiv1\pmod 3\).
• \(r_+\equiv1\pmod 4\) ⇒ \(D=\frac{r_+-1}{4}\) immédiatement.

Mnémo : \(D=\frac{r_-+1}{2}=\frac{Y_-+1}{3}=\frac{\mathrm{med}}{3}=\frac{Y_+-1}{3}=\frac{r_+-1}{4}\).

Annexe A — Tableau distances et \(j=\nu_2(3D+1)\) (extrait)

Pour chaque \(D\), on liste \((r_-,Y_-,\mathrm{med},Y_+,r_+)\) et \(j=\nu_2(3D+1)\) (ainsi \(\nu_2(3r_++1)=2+j\)). Extrait \(D=1\ldots 16\) :

Annexe B — Générateur minimal (Python)

  def ligne_D(D:int): 
    r_m = 2*D - 1 
    Y_m = 3*D - 1 
    med = 3*D 
    Y_p = 3*D + 1 
    r_p = 4*D + 1 
    
    # v2(3D+1) j = (Y_p & -Y_p).bit_length() - 1 
    
    return (D, r_m, Y_m, med, Y_p, r_p, j, 2 + j)

for D in range(1, 21):
print(ligne_D(D))